Sistemas de Fuerza - Caso de estudio - 2023

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UI: Sistemas de Fuerza. Caso de Estudio 
 
Autor: Rossi Mauricio Página 1 de 7 
 
SISTEMAS DE FUERZAS 
 
CASO DE ESTUDIO. 
Dado el tren de engranajes, analizaremos las fuerzas sobre el eje b. Tenemos un 
engrane de acoplamiento (3) y un engrane impulsor (4) que mueve la rueda 
dentada (5). Para realizar el estudio mencionamos a título informativo que se 
realizó un diagrama de cuerpo libre (se verá más en profundidad a lo largo del 
año) del eje b con las fuerzas actuantes sobre un diente de ambos engranes 
helicoidales. La fuerza �⃗� 2 corresponde a la fuerza ejercida por el engrane (2) sobre 
el engrane (3) y la fuerza �⃗� 1 se corresponde con la fuerza que ejerce la rueda 
dentada (5) contra el engrane impulsor (4). 
 
Enfocándonos en el diagrama del sistema de fuerzas, se pide: 
 
1- Reducir el sistema de fuerzas al origen de coordenadas O. 
2- Plantear y calcular el equilibrio. 
3- Calcular invariantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
Z 
Y 
X 
�⃗� 1 
�⃗� 2 
 b 
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Sobre el diagrama de cuerpo libre trabajamos y será nuestro sistema de fuerzas a 
analizar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La fuerza �⃗� 1 tiene una magnitud de 2188,4 lb y sus ángulos directores son: 
 
𝛼 = −155,22° 
𝛽 = 75,93° 
𝛾 = 109,95° 
 
Además, conocemos un punto de la recta de acción, que es: 𝐴1 = (0; 5,5; 1,55) 
 
Con los ángulos, puedo determinar los cosenos directores y luego, teniendo el 
módulo como dato, determinar cada una de las componentes x, y y z de dicha 
fuerza: 
 
𝑃𝑥 = |�⃗� |. cos 𝛼 = 2188,4 . cos(−155,22°) = −1987 
𝑃𝑦 = |�⃗� |. cos 𝛽 = 2188,4 . cos(75,93°) = 532 
𝑃𝑧 = |�⃗� |. cos 𝛾 = 2188,4 . cos(109,95°) = −747 
 
Entonces �⃗� 1 queda definida de la siguiente manera: 
 
�⃗� 1 = −1987𝑖 + 532𝑗 − 747𝑘 
 
 
 
�⃗� 1 
�⃗� 2 
O 
Z 
Y 
X 
𝐴1 𝐴2 
5,5 
2,6 
1,55 
2 
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La fuerza �⃗� 2, actúa sobre una recta de acción cuyo punto es 𝐴2 y tiene las 
siguientes componentes: 
 
�⃗� 2 = −1188𝑖 − 686𝑗 + 500𝑘 
 
De esta manera, con las componentes de las fuerzas, podemos esbozar el 
siguiente diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: dado que el ejemplo fue extraído de un libro en inglés, las unidades de fuerza están en 𝑙𝑏⃗⃗ ⃗ y las 
distancias están medidas en pulgadas (“). Por comodidad las unidades se colocarán en los resultados 
finales. 
 
 
 
1- Reducción de las fuerzas al origen de coordenadas, 
 
Planteamos las ecuaciones de reducción de un sistema de fuerzas: 
 
�⃗� = ∑ �⃗� 𝑖 → Hacemos la sumatoria vectorial de todas las fuerzas dadas y 
�⃗� = �⃗� 1 + �⃗� 2 
�⃗� = (−1987𝑖 + 532𝑗 − 747𝑘) + (−1188𝑖 − 686𝑗 + 500𝑘) = 
�⃗� = −3175𝑖 − 154𝑗 − 247𝑘 
 
 
𝐴2 = (0; 2;−2,6) 
 
 
𝑃1𝑧 
𝑃1𝑦 
𝑃1𝑥 
�⃗� 1 
�⃗� 2 
O 
Z 
Y 
X 
𝐴1 
𝐴2 
5,5 
2,6 
1,55 
2 
𝑃2𝑥 
𝑃2𝑧 
𝑃2𝑦 
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�⃗⃗� 𝑅𝑜 = ∑ �⃗� 𝑖 × (𝑂 − 𝐴𝑖) + ∑ �⃗⃗� 𝑖 →Hacemos la sumatoria del producto vectorial de 
cada fuerza por el vector posición que resulta ser entre O, que es el centro de 
reducción y A𝑖 que es un punto de la recta de acción de cada fuerza �⃗� . En este 
caso, no hay ningún vector momento, con lo cual→ ∑ �⃗⃗� 𝑖 = 0⃗ 
 
 
�⃗⃗� 𝑅𝑜 = ∑�⃗� 𝑖 × (𝑂 − 𝐴𝑖) + ∑�⃗⃗� 𝑖 
 
�⃗⃗� 𝑅𝑜 = �⃗� 1 × (𝑂 − 𝐴1) + �⃗� 2 × (𝑂 − 𝐴2) + 0⃗ 
 
�⃗⃗� 𝑅𝑜 = (−1987𝑖 + 532𝑗 − 747𝑘) × [(0; 0; 0) − (0; 5,5; 1,55)] 
+ (−1188𝑖 − 686𝑗 + 500𝑘) × [(0; 0; 0) − (0; 2;−2,6)] = 
 
 
Resolviendo los productos vectoriales: 
 
�⃗� 1 × (𝑂 − 𝐴1) = |
𝑖 𝑗 𝑘
−1987 532 −747
0 −5,5 −1,55
| = 
 
�⃗� 1 × (𝑂 − 𝐴1) = [532. (−1,55) − (5,5 . 747)]𝑖 − [1987 . 1,55]𝑗 + [1987 . 5,5]𝑘 
 
�⃗� 1 × (𝑂 − 𝐴1) = −4933𝑖 − 3080𝑗 + 10928𝑘 
 
 
�⃗� 2 × (𝑂 − 𝐴2) = |
𝑖 𝑗 𝑘
−1188 −686 500
0 −2 2,6
| = 
 
�⃗� 2 × (𝑂 − 𝐴2) = [−686 . 2,6 − (−2 . 500)]𝑖 − [−1188 . 2,6]𝑗 + [−1188 . (− 2)]𝑘 
 
�⃗� 2 × (𝑂 − 𝐴2) = −784𝑖 + 3089𝑗 + 2376𝑘 
 
�⃗⃗� 𝑅𝑜 = (−4933𝑖 − 3080𝑗 + 10928𝑘) + (−784𝑖 + 3089𝑗 + 2376𝑘) = 
 
�⃗⃗� 𝑅𝑜 = −5717𝑖 + 9𝑗 + 13304𝑘 
 
Nota: el valor de momento respecto al eje y (versor j) tiene que ser nulo. Debido a 
errores de “redondeo” esto no es así. Dicha la aclaración, entonces el momento 
resultante nos queda de la siguiente manera: 
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�⃗⃗� 𝑅𝑜 
O 
Z 
Y 
X 
�⃗� 
 
�⃗⃗� 𝑅𝑜 = −5717𝑖 + 13304𝑘 
 
El sistema de fuerzas quedó reducido al origen: 
 
�⃗� = −3175𝑖 − 154𝑗 − 247𝑘 
�⃗⃗� 𝑅𝑜 = −5717𝑖 + 13304𝑘 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Planteamos un sistema equilibrante y resolvemos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicamente no estamos planteando el equilibrio ya que el eje tiene posibilidad 
de giro. Es por ello que no calculamos una equilibrante 𝑋 6, ya que el sistema 
quedaría fijo de esta forma, sin posibilidad de movimiento. Sí es válido utilizar las 
expresiones de equilibrio vistas. Con lo cual: 
𝐶 
�⃗� 1 
�⃗� 2 
O 
Z 
Y 
X 
𝐴1 
𝐴2 
5,5 
2,6 
1,55 
2 
8,5 𝑋 1 
𝑋 2 
𝑋 4 
𝑋 5 
𝑋 3 
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�⃗� + ∑𝑋 𝑖 = 0⃗ (1) 
�⃗⃗� 𝑅 + ∑𝑋 𝑖 × (𝑂 − 𝐴𝑖) = 0⃗ (2) 
Para la ecuación (1), tendremos: 
 
−3175𝑖 − 154𝑗 − 247𝑘 + 𝑋1𝑖 + 𝑋4𝑖 + 𝑋3𝑗 + 𝑋5𝑘 + 𝑋2𝑘 = 0⃗ 
 
Armamos el sistema de tres ecuaciones: 
 
−3175 + 𝑋1 + 𝑋4 = 0 
 
−154 + 𝑋3 = 0 
 
−247 + 𝑋5 + 𝑋2 = 0 
 
Luego a partir de la ecuación (2): 
 
−5717𝑖 + 13304𝑘 + [(−8,5𝑋1𝑘) + (8,5𝑋2𝑖)] = 0⃗ 
 
 
Armamos el sistema de ecuaciones. 
 
 
−5717 + (8,5𝑋2) = 0 
 
𝑋2 = 672 𝑙𝑏 
 
13304𝑘 + −8,5𝑋1𝑘 = 0 
 
𝑋1 = 1565 𝑙𝑏 
 
Reemplazando en el sistema de ecuaciones obtenido a partir de (1): 
 
−3175 + 1565 + 𝑋4 = 0 → 𝑋4 = 1610 𝑙𝑏 
 
−154 + 𝑋3 = 0 → 𝑋3 = 154 𝑙𝑏 
 
−247 + 𝑋5 + 672 = 0 → 𝑋5 = −425 𝑙𝑏 
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El sistema queda de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Haber “equilibrado” el sistema, para este caso particular, significó determinar los 
esfuerzos que deben soportar cada uno de los rodamientos del eje. Uno de los 
rodamientos soporta todo el esfuerzo de empuje mientras que el otro rodamiento 
sólo soporta las cargas radiales. 
 
3- Invariantes. 
 
El invariante vectorial es: 
 
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = �⃗� = 𝐼𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐼𝑉 = −3175𝑖 − 154𝑗 − 247𝑘 
 
El invariante escalar es: 
 
𝐼𝑒 = 𝑀𝑅𝑜⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ �⃗� = (−5717𝑖 + 13304𝑘) ∗ (−3175𝑖 − 154𝑗 − 247𝑘) = 
 
𝐼𝑒 = 14.865.387 
 
Queda para el lector verificar el invariante, reduciendo el sistema de fuerzas al 
punto C. 
 
𝐶 
�⃗� 1 
�⃗� 2 
O 
Z 
Y 
X 
𝐴1 
𝐴2 
5,5 
2,6 
1,55 
2 
8,5 𝑋 1 
𝑋 2 
𝑋 4 
𝑋 5 
𝑋 3