fase 5

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Fase 5 – 	Estadística y probabilidad
 
 
 
Alumnos:
Nikolas Daniel Lugo
 
 
Grupo: 16
 
 
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Estadística y probabilidad
Mayo 2013 
Reglas de Conteo
En muchos fenómenos se puede identificar claramente cuántos resultados son posibles al realizar un experimento y cuántos son favorables a cierto evento A , y con dichos valores calcular la probabilidad del evento utilizando la definición clásica. Sin embargo, la tarea al realizar el conteo de casos favorables y casos posibles puede resultar sumamente ardua.
Por ejemplo, consideremos la probabilidad de que al sacar tres cartas de una baraja francesa, dos de ellas sean negras. Para ello, deberíamos contar cuántas combinaciones posibles hay al sacar tres cartas de una baraja francesa, y luego contar cuántas de ellas son favorables al evento “dos son negras”. Esta tarea sería muy engorrosa si no se utilizan las reglas de conteo que se exponen en esta sección.
Al momento de trabajar con reglas de conteo, un factor importante a considerar es la relevancia del orden en el cual suceden las observaciones. De esta manera, dependiendo de si el orden altera o no el resultado del experimento se estará trabajando con reglas distintas. Básicamente, las reglas de conteo son las variaciones, permutaciones y combinaciones. Antes de abordar el detalle de cada una de ellas, debe tenerse en cuenta las diferencias principales entre las mismas: en las combinaciones el orden es irrelevante y el resultado depende de los elementos que conformen la observación; en las variaciones, por el contrario, dos observaciones representan resultados distintos a pesar de tener los mismos elementos si el orden en el cual los mismos se presentan varía. Finalmente, al trabajar con permutaciones se evalúan las distintas alternativas para ordenar un grupo de elementos.
Variaciones y Permutaciones
Consideremos dos lanzamientos consecutivos de una moneda. Los resultados posibles, considerando el orden en que ocurren, son cuatro:
Consideremos ahora tres lanzamientos consecutivos, entonces hay ocho resultados posibles:
Consideremos 5 lanzamientos, o 10 lanzamientos, o, más aún, 20 lanzamientos. La tarea de contar uno por uno todos los posibles resultados sería muy complicada ¿no? Para contar la cantidad de resultados posibles en estos casos se utilizan las variaciones.
Cuando un fenómeno puede ocurrir de n maneras distintas (hay n resultados posibles), y el mismo se repite r veces, la cantidad total de resultados distintos que se pueden obtener (considerando el orden en que ocurre el resultado de cada ensayo) es una variación de n elementos tomados de r en r :
EJEMPLO:
Si lanzamos una moneda al aire hay dos resultados posibles ( n 2 ), cara o ceca Si lanzamos 2 veces consecutivas una moneda ( r 2 ), los resultados posibles son V2;2 22 4 .
Si se lanzan 3 veces, entonces hay V2;3 23 8 resultados posibles.
Si se realizan 20 lanzamientos, habrá V2;20 2 20 1.048.576 posibles resultados (teniendo en cuenta el orden en que ocurren las caras y las cecas obtenidas).
En ocasiones se presentan casos en los cuales el orden pierde importancia, por ejemplo si queremos saber solamente la suma de los dados, o la cantidad de cecas que salen. En estos casos las reglas de conteo cambian, de acuerdo a lo que se verá en el siguiente apartado.
Combinatorias
Según hemos hecho referencia en el párrafo anterior, hay casos en los cuales no resulta relevante el orden en el cual se dan los resultados, sino cuáles son esos resultados en sí. Por ejemplo, en el caso en que lancemos un dado dos veces de manera tal que avancemos en un juego tantos casilleros como indica la suma de ellos, el orden de los resultados no resultará relevante: si obtenemos un 5 y luego un 2 significará lo mismo que obtener un 2 y luego un 5; en ambos casos avanzaremos 7 casilleros. Cuando trabajamos con variaciones o permutaciones, el orden resulta relevante: por ejemplo, en el caso en que en el juego en cuestión deban cumplirse las "prendas" relativas al casillero al cual nos lleve el primer dado.
Cuando se trabaja con combinatorias lo que se busca calcular es la cantidad de grupos distintos de r elementos que pueden formarse con los n elementos que conforman un conjunto.
Si se extraen r elementos de un conjunto de n , la cantidad de muestras distintas que pueden obtenerse (sin importar el orden) es la combinatoria de n elementos tomados de a r :
La combinatoria de n tomados de a r suele escribirse como:
EJEMPLO:
Si se considera el Ejemplo 30, con la combinatoria puede calcularse cuántos grupos de deportistas distintos realizarían la prueba el primer día de la competición. En esta situación no resulta relevante el orden en el que participarán los tres deportistas seleccionados sino cuáles son los mismos. La cantidad de grupos distintos que deberán realizar la prueba el primer día es la combinatoria de cinco elementos tomados de a 3:
Es decir, que hay diez grupos distintos de tres deportistas que debieran realizar la prueba el primer día.