Semana 11 y 12 Experimentos Factoriales

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA 
LA INVESTIGACIÓN I
Profesores del curso
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Facultad de Economía y Planificación
Departamento de Estadística e Informática
Semana X:Experimentos Factoriales: 
DCA
2020-II
OBJETIVOS
Planear un diseño experimental con dos o más factores en forma simultánea
Medir los efectos: simples, principales e interacción
Probar la hipótesis de interacción entre los factores
Probar la hipótesis de los efectos principales y simples
Aplicar pruebas de comparaciones específicas de tratamientos
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
INTRODUCCIÓN
 En los experimentos simples conducidos en DCA, DBCA y
DCL se estudia un solo factor.
 Los experimentos factoriales involucran en el estudio de dos o
más factores. Donde los tratamientos son las combinaciones
de los niveles de estos factores
 Los arreglos factoriales permiten evaluar los efectos
principales, de interacción y los simples.
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VENTAJAS Y DESVENTAJAS
VENTAJAS
- Obtener información sobre varios factores en forma
simultánea.
- El incremento de grados de libertad para el error
experimental disminuye la variancia del error experimental.
- Amplía la base de la inferencia en relación a un factor.
DESVENTAJAS
- Requiere un mayor número de unidades experimentales.
- Algunas combinaciones de niveles no serán de interés del
investigador.
- El análisis estadístico es más complicado.
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TIPOS DE EFECTOS
Efectos Principales
Efectos Simples
Efecto de Interacción
Abj
Bai
Miden los cambios en los niveles de un factor (Letra
Mayúscula) manteniendo constante un nivel del otro
(Letra minúscula)
Miden los cambios entre los efectos simples de 
un factor a diferentes niveles del otro factor. AB
Miden los cambios en los niveles de un factor sin 
considerar el otro. A
B
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APLICACIÓN I
 Un ingeniero en Industrias Alimentarias está interesado en determinar los efectos
de la temperatura y la humedad en el almacenamiento de manzanas. De una
producción de manzanas de características muy homogéneas se formaron 4 grupos
de 5 unidades experimentales cada uno, donde cada unidad experimental estuvo
formada por 200 manzanas, la variable respuesta que se consideró fue el número de
manzanas malogradas por unidad experimental, después del almacenamiento. El
ingeniero tiene interés en los siguientes niveles del factor temperatura (𝐴): 𝑎1 =
50∘𝐹, 𝑎2 = 70
∘𝐹 y del factor humedad (𝐵): 𝑏1 = 10%, 𝑏2 = 50%. A continuación
se dan los promedios de manzanas malogradas:
Factor temperatura (A) Factor Humedad (B) Medias del 
factor A𝒃𝟏 = 𝟏𝟎%, 𝒃𝟐 = 𝟓𝟎%
𝒂𝟏 = 𝟓𝟎
∘𝐅 8 5 6.5
𝒂𝟐 = 𝟕𝟎
∘𝐅 11 7 9.0
Medias del factor B 9.5 6.0
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APLICACIÓN I
Efectos simples
 𝐿1 = 𝐸𝑆 𝐴(𝑏1) = 11 − 8 = 3
 𝐿2 = 𝐸𝑆 𝐴(𝑏2) = 7 − 5 = 2
 𝐿3 = 𝐸𝑆 𝐵(𝑎1) = 5 − 8 = −3
 𝐿4 = 𝐸𝑆 𝐵(𝑎2) = 7 − 11 = −4
Efectos principales
 𝐿5 = 𝐸𝑃 𝐴(𝐵) = 9 − 6.5 = 2.5
 𝐿6 = 𝐸𝑃 𝐵(𝐴) = 6 − 9.5 = −3.5
Con una humedad de 10%,
al pasar de una temperatura
de 70°F a 50°F, el número
promedio de manzanas
malogradas disminuye en 3
Considerando todos los
niveles de humedad, al pasar
de una temperatura de 70°F
a 50°F, el número promedio
de manzanas malogradas
disminuye en 2.5
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APLICACIÓN I
Efectos de interacción
 𝐿7 = 𝐸𝐼 (𝐴𝐵) = 𝐿2 − 𝐿1 = 2 − 3 = −1
 𝐿8 = 𝐸𝐼 (𝐴𝐵) = 𝐿4 − 𝐿3 = −4 − (−3) = −1
Al pasar de una temperatura de
70°C a 50°C, el número promedio
de manzanas malogradas, cuando se
tiene una humedad de 10%, supera al
obtenido con una humedad de 50%
en 1 unidad.
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APLICACIÓN I
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MODELO ADITIVO LINEAL
 
ij
ijk i j ijkij
Y

        
1, ,
1, ,
1, , ij
i p
j q
k r



El modelo aditivo lineal para un Diseño Completamente al
Azar es el siguiente:
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ESTIMACIÓN DE LOS EFECTOS
El método de mínimos cuadrados tiene por objetivo minimizar:
bajo las siguientes condiciones
Encontrando finalmente que:
 
2
2
1 1 1 1 1 1
ij ijr rp q p q
ijk ijk i j ij
i j k i j k
Q Y    
     
      
  
   
1 1 1 1
0, 0, 0, 0
p q p q
i j ij ij
i j i j
   
   
      
... . .. . . ...
.. ... .
. . ... .
ˆˆˆ 
ˆ ˆ 
ˆ ˆ 
ij ij i j
i i ij ij
j j ijk ijk ij
Y Y Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y Y
 
 
 
    
  
   
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PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Modelo I:
Para el efecto de la interacción AB:
Para el efecto principal A: Para el efecto principal B:
0
1
: 0 , 
: 0 , para al menos algún 
i
i
H i
H i


 

0
1
: 0 , 
: 0 , para al menos algún 
j
j
H j
H j


 

 
 
0
1
: 0 , ,
: 0 , para al menos algún ,
ij
ij
H i j
H i j


 

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ANÁLISIS DE VARIANZA (ANVA)
Variabilidad(Total) = Variabilidad(Tratamientos) + Variabilidad(Error) 
Variabilidad(Tratamientos) = Var(A) + Var(B) + Var(AB) 
F.V. GL SC CM Fc
A p-1 SC(A) CM(A) CM(A)/CM(Error)
B q-1 SC(B) CM(B) CM(B)/CM(Error)
AB (p-1)(q-1) SC(AB) CM(AB) CM(AB)/CM(Error)
Error Exp. pq(r-1) SC(Error) CM(Error)
Total pqr-1 SC(Total)
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ANVA DE EFECTOS SIMPLES
Cuadro ANVA
F.V. GL SC CM Fc
Abj p-1 SC(Abj) CM(Abj) CM(Abj)/CM(Error)
… … … … …
Bai q-1 SC(Bai) CM(Bai) CM(Bai)/CM(Error)
… … … … …
Error Exp. pq(r-1) SC(Error) CM(Error)
Total pqr-1 SC(Total)
Pruebas de hipótesis
Para el efecto Abj: Para el efecto Bai:
0 1 2
1
: ...
: Al menos un es i=1,2,...,p
j j pj
ij
H
H
  

  
 
0 1 2
1
: ...
: Al menos un es =1,2,...,q
i i iq
ij
H
H j
  

  
 
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Pruebas de comparación
Pruebas de comparación de medias de efectos principales
Pruebas de comparación de medias de efectos simples
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APLICACIÓN II
El departamento de nutrición humana y alimentos de una
reconocida universidad realizó un estudio sobre la estabilidad de la
vitamina C en el concentrado del jugo de naranja congelado
reconstituido, que se almacena en un refrigerador durante un
periodo de hasta una semana. Se probaron dos marcas de
concentrados de jugo de naranja congelado reconstituido con tres
períodos distintos, los cuales se refieren al número de días desde
que se mezcló el jugo hasta que se probó (0 días, 3 días y 7 días). Se
registraron los resultados, en miligramos de ácido ascórbico por
litro. Se decidió usar un Diseño Completamente al Azar (DCA) con
4 repeticiones para cada uno de los tratamientos.
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APLICACIÓN II
Periodo (días)
𝒃𝟏(𝟎) 𝒃𝟐(𝟑) 𝒃𝟑(𝟕)
Marca
Marca 𝒂𝟏
54.6 49.4 42.7
51.8 42.8 40.4
56.2 49.2 48.8
48.5 53.2 47.6
Marca 𝒂𝟐
56 48.8 55.2
49.6 44 48
48 44 50
48.4 42.4 49.2
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APLICACIÓN II
a) Presente el modelo aditivo lineal
 𝑌𝑖𝑗𝑘 = Cantidad de ácido ascórbico obtenida con la i-ésima marca de
concentrado de jugo y el j-ésimo período en la k-ésima repetición.
 𝜇 = Media general.
 𝛼𝑖 = Efecto de la i-ésima marca.
 𝛽𝑗 = Efecto del j-ésimo periodo.
 (𝛼𝛽)𝑖𝑗 = Efecto de la interacción entre la i-ésima marca y el j-ésimo
periodo.
 𝜖𝑖𝑗𝑘 = Efecto del error experimental obtenida con la i-ésima marca de
concentrado de jugo y el j-ésimo período en la k-ésima repetición.
൧𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝜷𝒋 + (𝜶𝜷)𝒊𝒋 + 𝝐𝒊𝒋𝒌 𝒊 = 𝟏, . . . , 𝒑[𝒑 = 𝟐];𝒋 = 𝟏, . . . , 𝒒[𝒒 = 𝟑]; 𝒌 = 𝟏, . . . , 𝒓𝒊𝒋[𝒓𝒊𝒋 = 𝒓 = 𝟒
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APLICACIÓN II
Tabla de Totales
Tabla de Promedios
𝒀𝒊𝒋.
𝒀𝒊..
𝒃𝟏(𝟎) 𝒃𝟐(𝟑) 𝒃𝟑(𝟕)
𝒂𝟏 211.1 194.6 179.5 585.20 
𝒂𝟐 202.0 179.2 202.4 583.6 
𝒀.𝒋. 413.1 373.8 381.9 𝑌... =1168.8 
𝑌𝑖𝑗.
𝑌𝑖..
𝑏1(0) 𝑏2(3) 𝑏3(7)
𝒂𝟏 52.775 48.650 44.875 48.767
𝒂𝟐 50.500 44.800 50.600 48.633
𝑌.𝑗. 51.6375 46.725 47.7375 𝑌... = 48.7
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APLICACIÓN II
b) Estime:
 Efecto del primer nivel del factor A
 Efecto del segundo nivel del factor B
 Efecto de interacción entre el nivel 2 del factor A y el nivel 1
del factor B
�̰�1 = 𝑌1.. − 𝑌... = 48.767 − 48.7 = 0.067
�̰�2 = 𝑌.2. − 𝑌... = 46.725 − 48.7 = −1.975
�̰� �̰�12 = 𝑌21. − 𝑌2.. − 𝑌.1. + 𝑌... = 50.5 − 48.633 − 51.6375 + 48.7 = −1.0705
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APLICACIÓN II
c) Interprete el siguiente gráfico de interacción
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APLICACIÓN II
𝑇𝐶 =
σ
𝑖=1
𝑝 σ
𝑗=1
𝑞 σ
𝑘=1
𝑟
𝑌𝑖𝑗𝑘
2
𝑝𝑞𝑟
=
𝑌...
2
𝑝𝑞𝑟
=
1168.82
2x3x4
= 56920.56
𝑆𝐶 Total = ෍
𝑖=1
𝑝
෍
𝑗=1
𝑞
෍
𝑘=1
𝑟
𝑌𝑖𝑗𝑘 − 𝑌...
2
= ෍
𝑖=1
𝑝
෍
𝑗=1
𝑞
෍
𝑘=1
𝑟
(𝑌𝑖𝑗𝑘2 − 𝑇𝐶)
𝑆𝐶(Total) =෍
𝑖=1
𝑝
෍
𝑗=1
𝑞
෍
𝑘=1
𝑟
𝑌𝑖𝑗𝑘
2 − 𝑇𝐶 = 54.62 + 49.42+. . . +49.22 − 𝑇𝐶 = 445.86
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APLICACIÓN II
𝑆𝐶(Combinado AB)෍
𝑖=1
𝑝
෍
𝑗=1
𝑞
𝑌𝑖𝑗
2
𝑟
− 𝑇𝐶
=
211.12 + 194.6 + 179.52 + 2022 + 179.22 + 202.42
4
− 𝑇𝐶 = 212.195
𝑆𝐶(𝐴) =෍
𝑖=1
𝑝
𝑌𝑖..
2
𝑞𝑟
− 𝑇𝐶 =
585.22 + 583.62
3x4
− 𝑇𝐶 = 0.1067
𝑆𝐶(𝐵) = ෍
𝑗=1
𝑞
𝑌.𝑗.
2
𝑝𝑟
− 𝑇𝐶 =
413.12 + 373.82 + 381.92
2x4
− 𝑇𝐶 = 107.6475
𝑆𝐶 𝐴𝐵 = 𝑆𝐶 Combinado 𝐴𝐵 − 𝑆𝐶 𝐴 − 𝑆𝐶 𝐵
= 213.195 − 0.1067 − 107.6475 = 105.4408
𝑆𝐶 Error = 𝑆𝐶 Total − 𝑆𝐶 Combinado AB = 445.86 − 213665 = 232.665
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APLICACIÓN II
ANVA
El coeficiente de variabilidad para este experimento es:
F.V. GL SC CM 𝐹𝑐
A p-1=1 0.1067 0.1067 0.0083
B q-1=2 107.6475 53.8238 4.1641
AB (p-1)(q-1)=2 105.4408 52.7204 4.0787(*)
Error Exp. pq(r-1)=18 232.665 12.9258
Total pqr-1=23 445.86
𝑐𝑣 =
𝐶𝑀𝐸
𝑌...
=
12.9258
48.7
x100 = 7.3824%
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APLICACIÓN II
Reporte Minitab
Análisis de varianza de Cantidad
Fuente GL SC MC F P
MARCA 1 0.107 0.1067 0.01 0.929
PERIODO 2 107.648 53.8238 4.16 0.033
MARCA*PERIODO 2 105.441 52.7204 4.08 0.035
Error 18 232.665 12.9258
Total 23 445.860
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APLICACIÓN II
d) Pruebe la hipótesis del efecto de interacción. Use α=0.05
 P1) Planteamiento de hipótesis:
𝐻0: (𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0 , 𝑖 = 1,2; 𝑗 = 1,2,3
𝐻1: (𝛼𝛽)𝑖𝑗 ≠ 0 , para al menos algún i, j
 P2) Nivel de significación α = 0.05
 P3) Cálculo del estadístico de Prueba – Fórmula
Para el efecto de interacción AB:
𝐹𝑐 =
𝐶𝑀(𝐴𝐵)
𝐶𝑀(Error)
= 4.0787 ∼ 𝐹[2,18]
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APLICACIÓN II
 P4) Criterio de decisión
Como 𝐹𝑐=4.0787 es mayor a F(0.95,2,18)=3.55 entonces se
rechaza 𝐻0.
 P5) Conclusión
A un nivel de significación del 5% existe evidencia estadística
para rechazar 𝐻0. Luego se puede afirmar que existe interacción
entre la marca de concentrado de jugo de naranja y el período
de almacenamiento.
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APLICACIÓN II
e) Realice el análisis de efectos simples. Use α=0.05
 P1) Planteamiento de hipótesis:
𝐴 en 𝑏1: 𝐻0: 𝜇11. = 𝜇21. 𝐴 en 𝑏2: 𝐻0: 𝜇12. = 𝜇22.
𝐻1: 𝜇11. ≠ 𝜇21. 𝐻1: 𝜇12. ≠ 𝜇22.
𝐴 en 𝑏3: 𝐻0: 𝜇13. = 𝜇23.
𝐻1: 𝜇13. ≠ 𝜇23.
𝐵 en 𝑎1: 𝐻0 : 𝜇11. = 𝜇12. = 𝜇13. 𝐵 en 𝑎2: 𝐻0: 𝜇21. = 𝜇22. = 𝜇23.
𝐻1: Al menos un 𝜇1𝑗. es ≠ 𝐻1: Al menos un 𝜇2𝑗. es ≠
Para todo j=1,2,3 Para todo j=1,2,3
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APLICACIÓN II
 P2) Nivel de significación α = 0.05
 P3) Cálculo del estadístico de Prueba
𝑆𝐶(𝐴𝑏𝑗) = ෍
𝑖=1
𝑝
𝑌𝑖𝑗.
2
𝑟
−
𝑌.𝑗.
2
𝑝𝑟
𝑆𝐶(𝐴𝑏1) = ෍
𝑖=1
𝑝
𝑌𝑖2.
2
𝑟
−
𝑌.1.
2
𝑝𝑟
=
211.12 + 2022
4
−
413.12
2x4
= 10.35125
𝑆𝐶(𝐴𝑏2) = ෍
𝑖=1
𝑝
𝑌𝑖2.
2
𝑟
−
𝑌.2.
2
𝑝𝑟
=
194.62 + 179.22
4
−
373.82
2x4
= 29.645
𝑆𝐶(𝐴𝑏3) = ෍
𝑖=1
𝑝
𝑌𝑖3.
2
𝑟
−
𝑌.3.
2
𝑝𝑟
=
179.52 + 202.42
4
−
381.92
2x4
= 65.55125
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APLICACIÓN II
𝑆𝐶(𝐵𝑎𝑖) =෍
𝑗=1
𝑞
𝑌𝑖𝑗.
2
𝑟
−
𝑌𝑖..
2
𝑞𝑟
𝑆𝐶(𝐵𝑎1) = ෍
𝑗=1
𝑞
𝑌1𝑗.
2
𝑟
−
𝑌1..
2
𝑞𝑟
=
211.12 + 194.62 + 179.52
4
−
585.22
3x4
= 124.90167
𝑆𝐶(𝐵𝑎2) = ෍
𝑗=1
𝑞
𝑌1𝑗.
2
𝑟
−
𝑌1..
2
𝑞𝑟
=
2022 + 179.22 + 202.42
4
−
583.62
3x4
= 88.18667
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APLICACIÓN II
Cuadro ANVA de efectos simples
F.V. GL SC CM 𝐹𝑐 𝐹𝑡𝑎𝑏
𝐴𝑏1 p-1=1 10.35125 10.35125 0.8008(n.s.) F(0.95,1.18)=4.41
𝐴𝑏2 p-1=1 29.64500 29.64500 2.2935(n.s.) F(0.95,1.18)=4.41
𝐴𝑏3 p-1=1 65.55125 65.55125 5.0713 (*) F(0.95,1.18)=4.41
𝐵𝑎1 q-1=2 124.90167 62.45084 4.8315(*) F(0.95,2.18)=3.55
𝐵𝑎2 q-1=2 88.18667 44.09334 3.4113(n.s.) F(0.95,2.18)=3.55
Error Exp. pq(r-1)=18 232.665 12.9258
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APLICACIÓN II
 P4) Criterio de decisión
Si 𝐹𝑐 > 𝐹𝑡𝑎𝑏 , entonces se rechaza 𝐻0.
 P5) Conclusión
- No existen diferencias significativas entre las marcas de concentrado de jugo
de naranja tanto a los 0 como a los 3 días de almacenamiento, pero que sí
existe diferencia significativa entre las marcas a los 7 días, respecto al contenido
medio de ácido ascórbico.
- Al utilizar la marca 1 de concentrado de jugo de naranja, al menos uno de los
períodos de almacenamiento presenta diferencias significativas con los demás,
pero al utilizar la marca 2 no se presentaron diferencias significativas entre los
períodos de almacenamiento, respecto al contenido medio de ácido ascórbico.
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APLICACIÓN II
f) Realice la prueba de Tukey para el efecto simple Ba1. Use α=0.05
 P1) Planteamiento de hipótesis:
𝐻0: 𝜇11. = 𝜇12. 𝐻0: 𝜇11. = 𝜇13.
𝐻1: 𝜇11. ≠ 𝜇12. 𝐻1: 𝜇11. ≠ 𝜇13.
𝐻0: 𝜇12. = 𝜇13.
𝐻1: 𝜇12. ≠ 𝜇13.
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APLICACIÓN II
 P2) Nivel de significación α = 0.05
 P3) Cálculo del estadístico de Prueba y Criterios de
decisión
El valor tabular con un nivel de significación de 5%, p = 3 tratamientos
y 18 grados de libertad del error experimental es AES(T) = 3.61. La
amplitud límite significativa de Tukey será igual a:
𝐴𝐿𝑆(𝑇) = 𝐴𝐸𝑆(𝑇)
𝐶𝑀𝐸
𝑟
= 3.61
12.9258
4
= 6.4894
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APLICACIÓN II
En la siguiente tabla se presentan las tres comparaciones:
P5) Conclusión
A un nivel de significación del 5% se puede afirmar que al analizar el contenido
medio de ácido ascórbico en el concentrado de jugo de naranja de la marca 1,
existe diferencia significativa entre un período de almacenamiento de 0 días
con uno de 7 días, pero no existen diferencias significativas entre un período
de almacenamiento de 3 días con los períodos de 0 días y 7 días.
Niveles de B con 
la marca 1 
𝑌1𝑖. − 𝑌𝑖𝑗. Significancia
1 vs 2 4.125 n.s.
1 vs 3 7.900 *
2 vs 3 3.775 n.s.
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN II
g) Verifique si hay evidencias estadísticas para afirmar que con el periodo de 0
días se obtiene un promedio de ácido ascórbico que excede en más de 2.5
miligramos por litro al promedio que se obtiene durante el periodo de 7 días
considerando la marca 1 en el concentrado de jugo de naranja. Use α=0.05
 P1) Planteamiento de hipótesis:
𝐻0: 𝜇11. − 𝜇13. = 2.5
𝐻1: 𝜇11. − 𝜇13. > 2.5
 P2) Nivel de significación α = 0.05
 P3) Estadístico de Prueba 
𝑡𝑐 =
𝑌11. − 𝑌13. − 𝑘
2𝐶𝑀𝐸
𝑟
∼𝑡 18 →
52.775 − 44.875 − 2.5
2x12.9258
4
= 2.1241
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APLICACIÓN II
 P4) Criterio de decisión 
Como 𝑡𝑐 = 2.1241 es mayor a 𝑡0.95,18 = 1.734 entonces se rechaza 𝐻0.
 P5) Conclusión
A un nivel de significación del 5% existe evidencia estadística para rechazar
𝐻0. Luego se puede afirmar que con el periodo de 0 días se obtiene un
promedio de ácido ascórbico que excede en más de 2.5 mg por litro al que se
obtiene durante el periodo de 7 días, considerando la marca 1 en el
concentrado de jugo de naranja.
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PROBLEMA PROPUESTO 1
Se realizó un experimento en piñas de variedad Hawaiana donde se
estudiaron 3 dosis de nitrógeno y dos tipos de manejo en parcelas
de 30 mts². El interés fue evaluar el porcentaje de grados brix.
Donde:
 A: Abonamiento nitrogenado (50, 80 y 100 kgs. De N. por Ha.)
 B: manejos (Convencional y orgánico)
Los datos registrados se presentan en la siguiente tabla:
a1 a2 a3
b1 b2 b1 b2 b1 b2
23.4 23.1 22.2 18.4 19.6 23.4
22.4 20.9 24.4 17.5 19 20.8
24.4 18.1 26.5 22.1 18 21.5
23.4 20.7 24.4 19.3 18.9 21.9
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PROBLEMA PROPUESTO 1
Luego de verificar los supuestos básicos se obtuvo la siguiente
salida en Minitab:
a) Presente el modelo aditivo lineal e interprete cada uno de
sus componentes en términos el enunciado.
b) Interprete el gráfico de interacción. Ver Anexo
c) Pruebe si existe interacción entre el manejo y el abono. Use
un α=0.05
Fuente GL SC Ajust. MC Ajust. Valor F Valor p
Manejo 1 14.73 14.727 6.53 0.020
Abono 2 13.25 6.625 2.94 0.079
Manejo*Abono 2 68.92 34.462 15.27 0.000
Error 18 40.62 2.257
Total 23 137.52
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PROBLEMA PROPUESTO 1
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PROBLEMA PROPUESTO 1
d) Use lo obtenido en c para realizar el análisis
correspondiente. Use un α=0.05
e) ¿Se puede afirmar que cuando las piñas reciben una dosis
de nitrógeno de 80 Kg, el porcentaje medio de grados brix
con el manejo convencional es mayor que el del manejo
orgánico en más de 2%? Use un α=0.05
f) Según especialistas se recomienda el manejo orgánico.
Sugiera las condiciones de abono nitrogenado bajo las
cuales se maximiza el porcentaje de grados brix. Realice la
prueba estadística más adecuada con un α=0.05
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
Experimento factorial pxq con dos 
factores en DBCA
 APLICACIÓN III
 En un experimento se deseaba determinar 
el efecto de cuatro variedades de lechuga 
(a1,a2,a3 y a4) y de dos tipos de siembra (b1
y b2) sobre el rendimiento de lechugas (en 
Kg/parcela). Para ello se estableció un 
experimento factorial conducido en DBCA. 
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN III
 Los datos se presentan a continuación:
Bloques
a1 a2 a3 a4
Y..kb1 b2 b1 b2 b1 b2 b1 b2
I 158 152 144 154 154 150 140 145 1197
II 151 148 145 132 132 135 125 130 1098
III 163 156 142 154 160 162 150 138 1225
IV 154 163 152 155 151 140 140 139 1194
Yij. 626 619 583 595 597 587 555 552 4714
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APLICACIÓN III
 Presente el modelo aditivo lineal e interprete cada
uno de sus componentes en términos del
problema.
Modelo Aditivo Lineal
En el problema p=4, q=2, b=4 
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN III
Cuadro de Totales
a1 a2 a3 a4 Total
b1 626 583 597 555 2361
b2 619 595 587 552 2353
Total 1245 1178 1184 1107 4714
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APLICACIÓN III
 Halle los efectos estimados del rendimiento medio
de lechuga, variedades, tipos de siembra, (αβ)32 y
bloques ε214.
Estimación de los efectos
Estimación del rendimiento medio de lechuga
Ƹ𝜇 = ത𝑌… =
𝑌…
𝑝𝑞𝑏
=
4714
4𝑥2𝑥4
= 174.3125
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APLICACIÓN III
Estimación de los niveles del factor A
1 1.. ...
2 2.. ...
3 3.. ...
4 4.. ...
1245
ˆ 147.3125 8.3125
8
1178
ˆ 147.3125 0.0625
8
1184
ˆ 147.3125 0.6875
8
1107
ˆ 147.3125 8.9375
8
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y




    
     
    
     
Estimación de los niveles del factor B
1 .1. ...
2 .2. ...
2361ˆ 147.3125 0.25
16
2353ˆ 147.3125 0.25
16
Y Y
Y Y


    
     
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APLICACIÓN III
 Estimación de la interacción del nivel 3 del factor
A con el nivel 2 del factor B
Estimación de los efectos
32 32. 3.. .2. ...
587 1184 2353ˆˆ 147.3125 1
4 8 16
Y Y Y Y          
Estimación de los efectos de los bloques:
..1 ...1
..2 ...2
..3 ...3
..4 ...4
1197
147.3125 2.3125
8
1098
147.3125 10.0625
8
1225
147.3125 5.8125
8
1194
147.3125 1.9375
8
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y




    
     
    
    
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214
214 214 21. ..4 ...
583 1194 4714
ˆ 152 4.3125
4 8 32
Y Y Y Y         
Estimación del error
APLICACIÓN III
APLICACIÓN III
Fuente GL
SC 
Ajust.
MC 
Ajust.
Valor 
F
Valor 
p
Variedad 3 1195.63 398.542 10.72 0.000
Siembra 1 2.00 2.000 0.05 0.819
Variedad*Siembra 3 35.75 11.917 0.32 0.810
Bloque 3 1153.12 384.375 10.34 0.000
Error 21 780.37 37.161
Total 31 3166.88
Reporte del programa Minitab 17: 
Análisis de Varianza
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APLICACIÓN III
0.05 
0 1.. 2..
1 1.. 2..
:
:
H
H
 
 


0 1.. 3..
1 1.. 3..
:
:
H
H
 
 


0 1.. 4..
1 1.. 4..
:
:
H
H
 
 


0 2.. 3..
1 2.. 3..
:
:
H
H
 
 


0 2.. 4..
1 2.. 4..
:
:
H
H
 
 


0 3.. 4..
1 3.. 4..
:
:
H
H
 
 


Use la prueba de Tukey para evaluar si existen
diferencias significativas entre las variedades de
lechuga. Use
0.05 
   
37.161
3.96 8.535
2 4
CME
ALS T AES T
qb
   

Con , p= 4 niveles del factor medicamento 
y GLEE=21 : AES(T)=3.96
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APLICACIÓN III
A un nivel de significación del 5% no existe evidencia estadística para
rechazar H0. Luego se puede afirmar que al analizar el rendimiento medio
de lechuga existen diferencias significativas entre la variedad 4 con las
variedades 1, 2 y 3, pero no existen diferencias significativas entre la
variedad 3 con las variedades 1 y 2, ni entre la variedad 1 con la variedad 2
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