Vista previa del material en texto
Escuela profesional de Ingeniería Mecánica Curso: Mecánica de Fluidos II Tema: Ovalo de Rankine Docente: Dr. Luis Julca Verástegui Alumnos: Oribe Pretel Miguel Jordy Castro Aranda Omar Fernando Gutiérrez Guerrero Angel Rafal Vásquez Vásquez Cesar Orlando Carranza Bermúdez Roger Carlos Ciclo: VII Trujillo – Perú 2020 Índice 1 Universidad Nacional de Trujillo 0 0 RESUMEN 1 1. GENERALIDADES 2 1.1 INTRODUCCIÓN 3 1.2 IMPORTANCIA Y/O JUSTIFICACION________________________4 1.3 OBJETIVOS 5 1.4 DESCRIPCION__________________________________________6 2. MARCO TEÓRICO 7 2.1 ANTECEDENTES 8 2.2 FUNDAMENTO TEÓRICO 9 3. PROCEDIMIENTO 10 3.1 HIPÓTESIS. 11 3.2 PROCESO DESIMULACIÓN_______________________________12 4. PRESENTACIÓN Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS________________13 4.1 IMÁGENES DE LA SIMULACIÓN EN EL SOFTWARE___________14 4.2 GRÁFICOS FUNCIONALES________________________________15 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES________________________16 5.1 CONCLUSIONES_________________________________________17 5.2 RECOMENDACIONES_____________________________________18 6. BIBLIOGRAFÍA______________________________________________19 1. GENERALIDADES 2 0 0 1.1. INTRODUCCIÓN En mecánica de fluidos, flujo potencial describe el campo de velocidad como el gradiente de una función escalar: el potencial de velocidad. Como resultado, un flujo potencial se caracteriza por un campo de velocidades ir rotacional, que es una aproximación válida para varias aplicaciones. La irracionalidad de un flujo potencial es debido a la curvatura de un gradiente de estar siempre igual acero. Dentro del estudio del flujo potencial encontramos los modelos de flujo simple estudiados, pueden usarse como bloques constructivos que por simple suma permiten estudiar combinaciones más complejas, estas superposiciones como veremos pueden separar las regiones de flujo utilizando simulaciones en solidworks por ejemplo, un objeto sólido como el ovalo de Rankine. Fuente y Sumidero de igual intensidad, conjugados, más corriente uniforme desde izquierda. Este modelo es denominado Ovalo de Rankin, el cual se forma con una fuente y un sumidero, de igual intensidad, que se colocan a distancia + a y – a del origen (según se indica en la figura) a estas singularidades se superpone además un flujo uniforme desde izquierda. 1.2. IMPORTANCIA Y/O JUSTIFICACION Flujo potencial es importante en muchas ramas de la mecánica de fluidos. En particular, simples flujos potenciales, tales como el vórtice libre y el punto de origen poseen soluciones analíticas preparadas. Estas soluciones de mecánica fluidos pueden superponerse para crear flujos más complejos que satisfacen una variedad de condiciones de contorno. Estos flujos se corresponden estrechamente con las corrientes de la vida real sobre el conjunto de la mecánica de fluidos y, además, surgen muchas ideas valiosas al 3 0 0 considerar la desviación entre el caudal observado y el flujo potencial correspondiente. Flujo potencial encuentra muchas aplicaciones en campos como el diseño de aeronaves. Por ejemplo, en la dinámica de fluidos computacional, es una técnica para acoplar una solución de flujo potencial. 1.3. OBJETIVOS Modelar y simular un flujo potencial sobre un ovalo de rankine, para determinar el campo de velocidades, campo de presiones utilizando el programa solidworks. Analizar el comportamiento de flujo constante al estar en contacto con un sólido en forma de ovalo de rankine utilizando solidworks flow. 1.4. DESCRIPCION Flujo potencial se describe por medio de un potencial de velocidad f, que es una función del espacio y el tiempo. La velocidad de flujo v es un campo vectorial igual al gradiente, del potencial de velocidad f: A veces, también la definición v = - f, con signo negativo, se utiliza. Pero aquí vamos a utilizar la definición anterior, sin el signo menos. De cálculo vectorial se sabe, que el enrollamiento de un gradiente es igual a cero: y en consecuencia, la vorticidad, el rizo del campo de velocidad v, es igual a cero: Esto implica que un potencial de flujo es un flujo Ir rotacional. Fluido utilizado: Agua a 20ºC a una densidad de 998Kg/m3 con viscosidad igual a 1,Cuerpo: Un sólido de paredes lisas con la geometría del ovalo de Rankine. Se analizó un flujo de agua a 20ºC con Re=1000 sobre un ovalo de Rankine de lisas, además es bidimensional y bidireccional en estado permanente. Sin considerar efectos gravitatorios, Como condición inicial asumimos la velocidad del flujo U=2.9013e-3 y a presión atmosférica. Además, el flujo es laminar. Como condiciones de contorno despreciamos los efectos gravitatorios. 2. MARCO TEÓRICO 2.1. ANTECEDENTES 4 0 0 Cuando una fuente y un sumidero se alinean en la dirección de una corriente uniforme y un sumidero se alinean en la dirección de una corriente, se obtiene una forma elíptica denominada ovalo Rankine, de longitud mayor a su anchura El conocimiento del flujo en dos o tres dimensiones de un fluido incompresible, no viscoso ofrece una visión más amplia de muchas situaciones reales del flujo. Para que el fluido se considere ideal debe de cumplirse que éste sea: - Incompresible (ρ = constante). - No viscoso (μ = 0). - Irrotacional 2.1.1. FLUJO IDEAL Un fluido se considera ideal cuando se cumple que es incompresible, irrotacional y tiene baja viscosidad. En la capa límite existen esfuerzos que no permiten la suposición de fluido no viscoso, sin embargo, si el flujo de un fluido ideal sobre un cuerpo se origina de un flujo irrotacional, como el caso de una corriente libre uniforme, el Teorema de Kelvin asegura que el flujo se mantendrá irrotacional aún cerca del propio cuerpo. Esto es, el vector vorticidad será cero en cualquier punto del fluido. En situaciones de flujo incompresible, en donde la capa límite es muy delgada, los resultados del “fluido ideal” pueden ser aplicados al caso de un flujo de fluido real, obteniéndose un grado de aproximación excelente. 2.1.2. POTENCIAL DE VELOCIDADES Si un flujo es irrotacional existe una función escalar ∅ que depende del espacio y tiempo tal que su derivada en una dirección cualquiera es la componente de la velocidad en esa dirección. Matemáticamente en un flujo bidimensional se expresa: u= ∂ϕ ∂ x , v= ∂ϕ ∂ y La función ∅ se llama velocidad potencial y los campos de flujo que son 5 0 0 irrotacionales se les llaman flujos potenciales. Un requisito fundamental del flujo irrotacional es que los flujos potenciales deben cumplir con la ecuación de Laplace: ∇ 2 ⋅∅=0 Tenemos que la línea definida por cualquier función ϕ( x , y )=ctⅇ , se le llama línea equipotencial. 2.1.3. LA FUNCION DE CORRIENTE Dado que se debe cumplir la condición de irrotacional e incompresibilidad, entonces se puede definir una función Ψ tal que satisfaga la ecuación de continuidad. U= ∂Ψ∂ y , V= −∂Ψ ∂ x ∂ ∂ x ( ∂Ψ ∂ y )+ ∂∂ y (−∂Ψ∂ x )=0 A la línea Ψ (x, y )=ctⅇ , se le conoce como línea de corriente y es en todos los puntos tangentes al vector velocidad. Las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales, es Decir, se cortan entre sí en ángulos rectos, excepto en los puntos singulares. 2.1.4. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES POTENCIAL Y DE CORRIENTE a) Corriente uniforme. Una corriente de velocidad constante (U∞ = cte.) tiene derivadas nulas y, por tanto, satisface la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supóngase primero que el flujo es unidireccional en la dirección del eje x; las funciones φ y ψ resultantes son u=U ∞= ∂Ψ ∂ y = ∂ϕ ∂ x =const v=0= −∂Ψ ∂x = ∂ϕ ∂ y 6 0 0 Integrando, se obtiene ϕ=U∞ x+C1 Ψ=U ∞ y+C 2 Las constantes de integración C1 y C2 no afectan ni a las velocidades ni a las presiones, por tanto, se pueden ignorar. Estas funciones se han representado en la figura 1 siguiente y consisten en una malla de líneas de corriente rectas, perpendiculares a líneas equipotenciales, también rectas. Es costumbre poner flechas en las líneas de corriente mostrando la dirección del flujo. Figura 1: Esquema de un flujo potencial. Corriente libre. a) Corriente horizontal. b) Inclinación con un ángulo α. Se puede generalizar la corriente uniforme de tal forma que forme un ángulo α con el eje x, como en la figura b. De esta forma se tiene que: u=U ∞ .cos α= ∂Ψ ∂ y = ∂ϕ ∂ x =const u=U ∞ sin α= −∂Ψ ∂x = ∂ϕ ∂ y Integrando, para la corriente uniforme a un ángulo α se tiene ϕ=U∞(x . cosα+ y . sin α ) Ψ=U ∞( y . cosα−x . sin α) lo que es útil para problemas de perfiles con ángulos de ataque. b) Fuentes o sumideros. Supóngase ahora un tubo delgado situado en el eje z, que estuviese perforado y emitiese transversalmente un caudal uniforme a lo largo de su longitud. Mirando a lo largo del eje z, se vería un flujo radial como se muestra esquemáticamente en la figura 2. En flujo estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie cilíndrica, de radio r cualquiera y longitud b, es constante: 7 0 0 Q=V r (2 πrb )=const=2πrbm Donde, V r= m r m es una constante y se le conoce como “intensidad” de la fuente o del sumidero. Si m es positivo se tiene una línea de fuente bidimensional, y si m es negativo un sumidero bidimensional. Obviamente las líneas de corriente (Ψ) de las fuentes apuntan hacia fuera como en la figura 2, con una velocidad tangencial (vθ) cero. En el caso de que la intensidad “m” fuera negativa, las líneas de corriente apuntarían hacia adentro. Figura 2: Esquema de un flujo producido por una fuente. a) líneas de corriente. b) líneas equipotenciales. Por simplicidad, se obtener Ψ y Φ en coordenadas polares V r= m r = 1 r ∂Ψ ∂θ = ∂θ ∂ r V θ=0= −∂Ψ ∂ r = 1 r ∂ϕ ∂θ Integrando, se obtienen las funciones de corriente y potencial para las fuentes (+m), o los sumideros (-m) ϕ=mlnr Ψ=mθ Éstas se han representado esquemáticamente en la figura 2 Su forma en cartesianas sería: 8 0 0 x y 2+ 2 ¿ ¿ ϕ=m. ln ¿ Ψ=m.arctg( y x ) Es posible comprobar, por simple sustitución, que Ψ y Φ satisfacen la ecuación de Laplace en cualquier sistema de coordenadas. c) Doblete Un doblete se define como el resultado de la suma de una fuente y un sumidero de igual intensidad, cuando se aproximan el uno al otro, de tal forma que el producto de sus intensidades y la distancia entre ellos es la constante 2πλ. A λ se le llama intensidad del doblete. Figura 3: Notación para la derivación de un doblete bidimensional. Si una fuente se encuentra en (a, 0) y un sumidero de igual intensidad se encuentra en (-a, 0), el potencial de velocidad para ambos, en algún punto P, es: ϕ=−m. ln r 1 +m . ln r 2 con r1 y r2 las distancias desde la fuente y el sumidero respecto al punto P. Por tanto 2πμ es la intensidad del sumidero y de la fuente. Para poder tomar el límite a medida que se aproxima a cero para 2am=λ es necesario alterar la forma de la expresión para Φ. Los términos r1 y r2 pueden ser expresados en coordenadas polares (r,θ) según la ley de cosenos. Después de manipular las ecuaciones, y tomando el límite cuando a se aproxima a cero, se llega a ϕ= λ cosθ r Esta ecuación representa al potencial de velocidad para un doblete bidimensional en el origen con el eje en la dirección “+ x”. Para obtener la función de corriente, se emplean las relaciones en coordenadas cilíndricas, con lo que: 9 0 0 Ψ= −λ sin θ r Las ecuaciones en coordenadas cartesianas son: ϕ= λ x x y 2+ 2 Ψ= −λ y x y 2+ 2 Las líneas de corriente constante son círculos tangentes al eje x y pasan por el origen; las líneas de equipotenciales son círculos que pasan por el origen tangentes al eje y. En el origen, la velocidad es infinita y por tanto se le considera un punto singular. Figura 4 : Líneas equipotenciales y líneas de corriente para un doblete bidimensional. d)Óvalo de Rankine 10 0 0 Cuando una fuente y un sumidero se alinean en la dirección de una corriente uniforme, como en la figura 5a, se obtiene una forma elíptica denominada óvalo de Rankine, de longitud mayor a su anchura. La función de corriente del conjunto es: Ψ=U ∞ y−m. tg −1( 2ayx2+ y2−a2 )= −U∞ r sinθ+m(θ1 θ2) Figura 5: Flujo de Rankine. a) Corriente uniforme y una fuente, c) corriente uniforme y un sumidero. Cuando se dibujan las líneas de corriente, Ψ constante, a partir de la ecuación anterior, se obtiene un cuerpo de forma oval como el de la . La semilongitud (L) y la figura 6 semianchura (h) del óvalo dependen de la intensidad relativa de la fuente y de la corriente uniforme, esto es, de la relación m/U∞a, que en la es igual a 1. Las líneas de corriente circulatorias enfigura 6b el interior del óvalo no son interesantes y normalmente no se muestran. La línea oval corresponde a Ψ = 0. 11 0 0 Hay puntos de remanso en la parte frontal y posterior del óvalo (x = ± L, y = 0), y puntos de velocidad máxima y presión mínima en (x = 0, y = ± h). Todos estos valores son funciones de parámetro adimensional básico m/U∞a, y se pueden determinar de las ecuaciones: h a =cot( h a 2m U∞a ) 1+ 2m U∞a ¿ L a =(¿¿ 1 2 ) U max U∞ =1+ 2m U∞a 1+ h 2 a 2 Figura 6: Óvalo de Rankine. Resultado de sumar una fuente y un sumidero a una corriente libre. 12 0 0 Cuando aumentamos m/U∞a desde cero hasta valores grandes, la forma del óvalo aumenta de tamaño y espesor desde una placa plana de longitud 2a a un cilindro enorme casi circular. Esto se muestra en la siguiente tabla 1. En el límite m/U∞a→∞, L/h→1 y umax/u∞→2, se tiene el flujo alrededor de un cilindro circular. Tabla 1: Relaciones para determinar el efecto en el Óvalo de Rankine. 3. PROCEDIMIENTO DE MODELAMIENTO Y SIMULACION 3.1. Selección de parámetros y mediciones realizadas del sistema fluidodinámico 0 0 Dado que ya teníamos la relación h/a = 1.307. Luego asumimos un valor conveniente de a=100mm. Entonces h será 130.7 y L será 173.2 lo cual es suficiente para definir la geometría de del Ovalo de Rankine. Figura 7: Dimensionamiento de la geometría del Ovalo de Rankine 3.2. Descripción de los materiales e insumos utilizados Fluido utilizado: Agua a 20ºC a una densidad de 998Kg/m3 con viscosidad igual a 1. Cuerpo: Un sólido de paredes lisas con la geometría del ovalo de Rankine 3.3. Descripción de procesos de simulación del análisis fluidodinámico: Se analizo un flujo de agua a 20ºC con Re=1000 sobre un ovalo de Rankine de paredes lisas, además es bidimensional y bidireccional en estado permanente. Sin considerar efectos gravitatorios. Como condición inicial asumimos la velocidad del flujo U=2.9013e-3 y a presión atmosférica. Además, el flujo es laminar. Como condiciones de contorno despreciamos los efectos gravitatorios.Los objetivos de análisis son: Fuerza de Arrastre Fuerza de Sustentación La Presión estática Velocidad Resultante Velocidad en (X) Velocidad en (Y) Velocidad en (Z) Velocidad de la Circunferencia Resultante Esfuerzo cortante 14 0 0 Esfuerzo cortante (X) Esfuerzo cortante (Y) Esfuerzo cortante (z) 4. PRESENTACIÓN Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS 4.1. IMÁGENES DE LA SIMULACIÓN EN EL SOFTWARE Con las condiciones iniciales, contorno y todas nuestras hipótesis ya establecidas empezamos con la simulación. 15 0 0 Grafica 1: Iteraciones que ha calculado el complemento de Flow Sumulation Grafica 2: Distribución de las líneas de corriente del flujo potencial al impactar con el Ovalo de Rankine 16 0 0 4.2. GRÁFICO FUNCIONAL Iteraciones para el coeficente de sustentacion Coeficiente de arrastre 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0 0 0 0 0 0 Pieza1.SLDPRT [ANALISIS DE FLUJO EXTERNO [Ovalo de Rankine LD346,4 Re1000]] Coeficiente de Arrastre Iterations [ ] Eq u at io n G o a l [ ] 17 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pieza1.SLDPRT [ANALISIS DE FLUJO EXTERNO [Ovalo de Rankine LD346,4 Re1000]] Coeficiente de Sustentacion CL Iterations [ ] Eq u at io n G o a l [ ] 0 0 Velocidad en el eje y 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0 0 0 0 0 Pieza1.SLDPRT [ANALISIS DE FLUJO EXTERNO [Ovalo de Rankine LD346,4 Re1000]] SG Average Velocity (Y) 4 Iterations [ ] V e lo ci ty ( Y ) [m /s ] Velocidad en el x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pieza1.SLDPRT [ANALISIS DE FLUJO EXTERNO [Ovalo de Rankine LD346,4 Re1000]] SG Average Velocity (X) 3 Iterations [ ] V e lo ci ty ( X ) [m /s ] 18 0 0 Fuerza de sustentación 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0 0 0 0 0 0 0 Pieza1.SLDPRT [ANALISIS DE FLUJO EXTERNO [Ovalo de Rankine LD346,4 Re1000]] FL Sustentacion Iterations [ ] Fo rc e ( Y ) [N ] Fuerza de arrastre 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pieza1.SLDPRT [ANALISIS DE FLUJO EXTERNO [Ovalo de Rankine LD346,4 Re1000]] FD Arrastre Iterations [ ] Fo rc e ( X ) [N ] 19 0 0 Resultados concluidos por el Software fueron con 160 interacciones y con 21 intervalos de análisis. 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1. CONCLUSIONES En esta sesión, analizamos como se comporta un fluido de flujo constante al estar en contacto con un sólido en forma de ovalo de Rankine utilizando SolidWorks Flow Simulación. Aprendimos a configurar y ejecutar un análisis de flujo. También aprendimos técnicas adecuadas para encontrar nuestros resultados. 6. BIBLIOGRAFIA CENGEL, CIMBALA. Mecánica de fluidos: Fundamentos y Aplicaciones. Mc Graw Hill. Primera edición. ISBN 970-10-5612-4. México DF. México: pág.: 129- 132, 148-153,172-175. WHITE, Frank. Mecánica de fluidos. Mc Graw-Hill. Quinta edición. ISBN: 0-07-240217-2. México DF. México. pág:129-155. SHAMES, IRVING H.; Mecánica de Fluidos, 4ta Edición. Mc Graw – Hill, Santa Fe de Bogotá. Colombia. 1995. 20 0 0
