Sesión 1- PFA

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EC: MATEMÁTICA III
SESIÓN N°01: Funciones de Varias Variables: 
Definición, dominio y gráfica
Dr. Huaman Camillo Javier
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
PFA
Circunferencia
x2 + y2 = R2
ecuación:
PARA RECORDAR:
R
x
3
2
1
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
Elipse
3
2
1
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
a
b
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
ecuación:
Parábolas con vértice V(0,0)
y
x0
y2 =x
x
y
0
y2 = -x
0
y
x
y = x2
0
y = - x2
x
y
Funciones de Varias Variables: 
Funciones de Varias Variables: 
Ejemplos: 
Función de dos Variables: 
Definición: 
Es decir, sea D contenido en R2.
Una función f:D R
(x,y) z=f (x,y)
es una correspondencia que asocia a cada par (x,y)
un único número real denotado por z=f (x,y)
El criterio (fórmula) que define a f puede ser explícito o implícito. Para hablar de una función de dos
variables se escribe: z=f(x, y) o F(x,y,z)=0.
Dominio e imagen 
DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para el 
cual tiene sentido la regla que define a f.
Ejemplo (1):
Solución:
b) El dominio de f son todos los pares ordenados (x,y): x2-y2≥0 o (x+y)(x-y)≥0. O sea son los
puntos sobre las rectas y=x y y=-x y en la región sombreada entre ellas.
Gráfica del 
dominio
de:
2 2( , ) 4f x y x y= + −
Gráfica de la 
función:
2 2( , ) 4f x y x y= + −
Grafica 
Ejemplo (2):
Solución:
Halle dominio de la función: 
2 2 9
( , )
x y
f x y
x
+ −
=
La función f está definida 
para todo (x,y) / x≠0 y 
x2 + y2 ≥ 9 .
Es decir, el dominio es el
conjunto de todos los
puntos que están en la
circunferencia x2 + y2 = 9
y su exterior, a excepción
de los puntos en el eje y.
2 2 9
( , )
x y
f x y
x
+ −
=Gráfica de la función:
Ejemplo (3):
Solución:
Halle dominio de la función: y 
evalúe f(3,2).
1
( , )
1
x y
f x y
x
+ +
=
−
Se entiende que (x-1)≠0, 
es decir x≠1. Además el 
subradical (x+y+1)≥0.
Luego:
Dom{(x,y)/x+y+1≥0, x≠1}
y ≥-x-1 son los puntos de 
y=-x-1 o por arriba de ella, 
excluyendo a los puntos 
sobre x≠1.
Ademas: f(3,2)=
3+2+1
3−1
=
6
2
1
( , )
1
x y
f x y
x
+ +
=
−
Gráfica de:
Ejemplo (4):
Solución:
Halle dominio de la función: y 
esboce el gráfico de f.
2 2( , ) ln( )f x y x y= −
Se entiende que:
x2 - y2 >0
(x+y)(x-y)>0
( + ) ( + )
( - ) ( - )
y>-x y y<x
o y<-x y y>x
Luego:
Dom{(x,y)/(y>-x y y<x) o 
(y<-x y y>x)}
Gráfica de f(x,y)=ln(x2-y2)
Ejemplo (5):
Solución:
¿Cuál es el rango de . 
Describir la gráfica de f.
2 2( , ) 16 4f x y x y= − −
El dominio está dado por: 16-4x2-y2≥0. El cual representa
todos los puntos que pertenecen o son interiores a la
elipse:
(elipse en el plano xy)
2 2
1
4 16
x y
+ =
El rango de f, son los valores z=f(x,y) tales que:
0 16. 0 4z O sea z   
Nota: Un punto (x,y,z) está en la gráfica si: 
2 2 2 2 2 216 4 4 16z x y x y z= − − + + =
2 2 2
1; 0 4
4 16 16
x y z
z+ + =  
2 2( , ) 16 4f x y x y= − −Gráfica de: 
PARABOLOIDE
Ejemplo (6):
Solución:
Halle el dominio de: 
2 2( , )f x y x y= +
Se observa que la regla de correspondencia no tiene restricciones, por tanto las variables
independientes “x” , “y” toman cualquier valor real; es decir Dom(f)=R2.
Además, es claro que el dominio de una función f(x;y) será la PROYECCIÓN QUE TENGA SU
GRÁFICA EN EL PLANO xy. Recuerde que z=x2+y2 es un paraboloide.
Dom(f)
Ejemplo (7):
Halle el dominio de 
2 2( , ) 9= − −f x y x y
Solución:
2 29 0− − =x y 2 2 9+ =x y (Circunferencia)
Si elegimos el punto (0,0): 2 29 0 0 0− − 
El Dominio estará dado por la circunferencia y su 
círculo interior.
Es decir: Dom(f)={(x,y) / x2+y2 ≤ 9}
La correspondencia tiene sentido cuando: 9-x2-y2≥0
Gráfica de f(x,y):
Rango (f): 
Ejemplo (8):
Halle el dominio de: ( , ) 1= − +f x y x y
Solución:
La correspondencia tiene sentido si: x≥1 y, y ≥0
Es decir: Dom(f)={(x,y) / x ≥ 1; y ≥0}
Dom(f)
TRABAJO. N: 01
Hallar el dominio y graficar en cada caso:
Curvas de Nivel
Las curvas de nivel de una función de dos variables son
las curvas cuya ecuación f(x,y)=K, donde k es una
constante en el rango de f. Se acostumbra llamarlos
traza o cortes.
(Aplicación en la topografía)