Sesión 7- PFA

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EC: MATEMÁTICA III
SESIÓN N°07: Máximos y Mínimos de Funciones 
de Varias Variables.
Dr. Huaman Camillo Javier
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
PFA
Al terminar la clase el
alumno será capaz de
calcular los puntos
máximos y mínimos de
una FVV en situaciones de
contexto real sin dificultad.
LOGROS DE SESIÓN
3
 
EJEMPLO Determine los puntos donde ( ) 2 2 2 6 14f x, y x y x y .= + − − + alcanza su 
máximo o mínimo 
Las derivadas parciales son ( ) ( )2 2 y 2 6x yf x, y x f x, y y ,= − = − 
Estas derivadas parciales son iguales a 0 cuando 1 y 3x y ,= = de modo que el único punto crítico 
es (1,3). Al completar el cuadrado, se encuentra que 
( ) ( ) ( )
2 2
4 1 3f x, y x y .= + − + − 
Puesto que ( ) ( )
2 2
1 0 y 3 0x y ,−  −  tiene que ( ) 4f x, y  para todos los valores de yx y. Por 
lo tanto, ( )1 3 4f , = es un mínimo relativo, y, en efecto, es el mínimo absoluto de f . Se puede 
confirmar lo anterior en forma geometría a partir de la gráfica de f , la cual es el paraboloide 
elíptico con vértice (1,3,4) . 
MOTIVACIÓN 
5
En esta sección aprenderemos como usar las
derivadas parciales para localizar los máximos y
mínimo de funciones de dos variables. Por
ejemplo si tenemos un negocio lo natural es
hacerse las preguntas ¿Cómo maximizo mis
ganancias? ¿Cómo minimizo costos? Saquemos
algunas conclusiones de la grafica
MOTIVACIÓN 
6
7
i) Un número f(a;b) es un máximo relativo de una
función z=f(x;y) si f(x;y) ≤ f(a;b) para todo (x;y) en
algún disco abierto que contenga a (a;b).
ii) Un número f(a;b) es un mínimo relativo de una
función z=f(x;y) si f(x;y) ≥ f(a;b) para todo (x;y) en
algún disco abierto que contenga a (a;b).
EXTREMOS RELATIVOS
TEOREMA (Extremos relativos)
Si una función z=f(x;y) tiene un extremo relativo en
el punto (a;b) y si las primeras derivadas parciales
existen en este punto, entonces:
fx(a;b) = 0 y fy (a;b) = 0.
Puntos Críticos
Un punto crítico de una función z=f(x;y) es un
punto (a;b) en el dominio de f para el cual
fx(a;b)=0 y fy(a;b)=0, o si una de sus derivadas
parciales no existe en el punto.
Ejemplo (1): Determine los puntos críticos 
de la función: f(x;y)=x2+y2-4y+9.
Solución:
Usando, fx(x;y)=0 y fy(x;y)=0; se 
tiene:
2 0 2 4 0x yf x y f y= = = − =
Luego el único punto crítico 
resulta : (0;2)
Calculando las primeras derivadas parciales, se 
tiene:
( ; ) 2 ( ; ) 2 4x yf x y x y f x y y= = −
Luego: Z=f(0;2)=02+22-4(2)+9 = 5
Punto espacial resulta: (0; 2; 5)
Las primeras derivadas parciales son:
2 2( ; ) 3 27 ( ; ) 3 12x yf x y x y f x y y= − = −
2
2
9 3
4 2
x x
y y
=  = 
=  = 
Entonces los puntos críticos son
(3; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2)
Usando, fx(x;y)=0 y fy(x;y)=0; se tiene:
Ejemplo (2):
Encuentre todos los puntos críticos para
f(x;y)=x3+y3-27x-12y.
Solución:
Los puntos espaciales son: (3;2;-70), (3;-2;-38), 
(-3;2;38), (-3;-2;70)
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARCIAL
Sea (a;b) un punto crítico de z=f(x;y) y suponga que fxx
y fyy y fxy son continuas en un disco centrado en (a;b). 
Considere que:
D(x;y)=fxx(x;y).fyy(x;y)-[fxy(x;y)]
2
i) Si D(a;b)>0 y fxx(a;b)>0, entonces f(a;b) es un mínimo
relativo.
ii) Si D(a;b)>0 y fxx(a;b)<0, entonces f(a;b) es un máximo
relativo.
iii) Si D(a;b)<0 entonces (a;b;f(a;b)) es un punto de silla.
iii) Si D(a;b)=0 entonces no se llega a ninguna conclusión.
Hessiano (H(x;y))
Un recurso conveniente para recordar D(x;y) en las
segundas derivadas parciales es el determinante
2x2 llamado Hessiano.
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
xx xy
yx yy
f a b f a b
D x y H x y
f a b f a b
= =
Si la función w=f(x;y;z) tiene derivadas parciales de
segundo orden, entonces:
( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; )
( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; )
( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; )
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
f x y z f x y z f x y z
H x y z f x y z f x y z f x y z
f x y z f x y z f x y z
=
Ejemplo (3): Determine los valores 
extremos locales de la función: . 
Solución:
2 2f(x;y) = x + y - 2x - 6y +14
De las primeras derivadas parciales iguales a cero.
fx= 2x-2=0; fy=2y-6=0 se tiene: x=1 y y=3
Aplicamos la prueba de la segunda derivada:
D(x;y)=fxx(x;y).fyy(x;y)-[fxy(x;y)]
2=(2)(2)-(0)2=4
Entonces (1; 3) es un punto crítico donde puede haber un
extremo. Calculando las segundas derivadas: fxx=2 >0; fyy=2;
fxy=0
Como D>0 y fxx>0 existe un mínimo local
en (1; 3). f(1; 3)= (1)2+(3)2-2(1)-6(3)+14=4
Ejemplo (4): Determine los valores 
extremos locales de la función: . 
Solución:
2 2f(x;y) = xy - x - y - 2x - 2y + 4
De las primeras derivadas parciales iguales a cero.
fx=y-2x-2=0; fy=x-2y-2=0 se tiene:
Aplicamos la prueba de la segunda derivada:
D(x;y)=fxx(x;y).fyy(x;y)-[fxy(x;y)]
2=(-2)(-2)-(1)2=3
2 2 4 2 4
2 2
2 2 2 2
x y x y
x y
x y x y
− + = − + = 
= −  = − 
− = − = 
Entonces (-2;-2) es un punto crítico donde puede haber un
extremo. Calculando las segundas derivadas: fxx= -2 <0;
fyy= -2; fxy=1
Como D>0 y fxx<0 existe un máximo local en (-2;-2)
f(-2;-2)=(-2)(-2)-(-2)2-(-2)2-2(-2)-2(-2)+4=8
Ejemplo (5): Determine los valores 
extremos locales de la función: . 
Solución:
2 2f(x;y) = y - x
De las primeras derivadas parciales iguales a cero.
fx= -2x=0; fy=2y=0 se tiene: x=0 y y=0
Aplicamos la prueba de la segunda derivada:
D(x;y)=fxx(x;y).fyy(x;y)-[fxy(x;y)]
2=(-2)(2)-(0)2= -4
Entonces (0; 0) es un punto crítico donde es posible que
exista un extremo. Calculando las segundas derivadas:
fxx=-2 <0; fyy=2; fxy=0
Como D<0 entonces en el punto (0;0) no hay
un extremo. (0;0;f(0;0))=(0;0;0) es un punto de silla.
TRABAJO. N: 06