Sesión 11- PFA

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EC: MATEMÁTICA III
SESIÓN N°11:Ecuaciones Diferenciales.
Dr. Huaman Camillo Javier
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
PFA
En el estudio de las ciencias e ingeniería se
desarrollan modelos matemáticos para ayudar
a comprender fenómenos físicos. Estos
modelos a menudo dan lugar a una ecuación
que contiene ciertas derivadas de una función
incógnita. A una ecuación de este tipo se le
denomina ecuación diferencial.
Dada la ED:
• ¿De qué tipo es?
• ¿De qué orden
es?
• ¿Cuál es su
grado?
• ¿Es lineal?
5
3
3
3
3
3
818 





+=





+
dx
yd
x
dx
yd
dx
dy
¿Qué es una ecuación diferencial?
yx
dx
dy
= 2.0 
variable dependiente
variable independiente
Una ecuación diferencial es una ecuación
matemática que relaciona una función con
sus derivadas.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales
lesdiferencia tiene 0x)dy-(y-y)dx(x
 parcialesderivadas tiene 
derivadastiene 
222
=+
=


+


+


+=
0
yx
u
y
u
x
u
1x5
dx
dy
22
Notación
La notación a utilizarse en la escritura de
ecuaciones diferenciales es en base a las
derivadas y diferenciales, pueden ser de
acuerdo a:
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación Prima: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton: 
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
...,,,
......
xxx
NOTACIONES IMPORTANTES
Recordemos que las derivadas ordinarias según Leibniz
se denotan con:
2 3 4
2 3 4
, , , ,.....
dy d y d y d y
dx dx dx dx
(Muestra las dos variables)
En notación prima: y´, y´´, y´´´, y(4), y(5),….
(No se muestra las variables independientes)
Notación punto (Newton): y, y, y, y,....
Por 
ejemplo:
2
32
d s
dt
= − será 32s = −
Notación subíndice:
Ejemplo:
2 2
2 2
2
u u u
x t t
  
= −
  
será: 2xx tt tu u u= −
Traducir leyes y principios en ecuaciones 
diferenciales 
Clasificación de las 
Ecuaciones Diferenciales
Tipo La LinealidadEl Orden
Ecuación 
Diferencial 
ordinaria 
(EDO)
Ecuación 
Diferencial 
Parcial 
(EDP)
Cuando la 
función 
desconocida 
depende 
solamente de 
una variable 
independiente.
Es el orden 
de la más alta 
derivada 
presente en la 
ecuación.
Lineal o no lineal
Cuando la 
función 
desconocida 
depende de 2 o 
mas variables 
independientes.
3
2
1.
primer grad
5( ) 2
y
( ) 5
o
2.
segundo
Una ecuac
0
ión DiferencialOrdinaria de
Una ecuación DiferencialOrdi
g
n
segundoorden
aria de
primer y ra ode dor n
y y y x
y xy
 + − =
 − =
Grado de una ecuación diferencial
Ecuaciones Lineales
Se dice que una EDO de orden n (en la forma general)
)()()()()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n =++++ −
−
− 
Si una ecuación no cumple ambas condiciones, se 
dice que es NO LINEAL.
Es lineal, si cumple con dos condiciones:
i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer
grado, es decir:
y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado (exponente 1).
ii) Los Coeficientes a0, a1, …,an dependen solo de la variable
independiente x o son constantes.
Clasificación
I. Determinar si las siguientes EDOs son
Lineales o no lineales y el orden:
1)
2)
3)
4)
5)
2y)cos(y)(sen =−
xcosy5yx4y)x1( =+−−
( ) 0y6ytyt 345 =+−
2
2
2
dx
dy
1
dx
yd






+=
xcosy5yx4y)x1( =+−−
Lineal, segundo 
orden
Lineal, cuarto orden
No lineal, segundo 
orden
Lineal, tercer orden
Lineal, segundo 
orden
II. Determinar el grado y orden de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
7x3
dx
dy
dx
yd
5
dx
yd 2
5
2
2
2
4
4
+=





+







−







3
2
2
2
6
2
2
dx
yd
x
dx
dy
x7
dx
yd








+=





+
NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio,
que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que
eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
1x7
dx
dy 2 += 3
2
2
dx
dy
x
dx
yd
=+
Orden 4
Grado 2
Orden 2
Grado 3
Orden 1
Grado 1
Orden 2
Grado 3
TRABAJO. N: 11
Ejercicios 1:
Determinar el orden y grado de las siguientes
ecuaciones diferenciales:
a)
b)
c)
d)
y
dx
dy
x
dx
yd
53
3
3
+





=
5
3
3
3
3
3
818 





+=





+
dx
yd
x
dx
yd
dx
dy






=−
dx
dy
x
dx
yd
85
3
3
5
3
3
2
2
3
dx
yd
x
dx
yd
=+
2 54 2
2
4 2
) 5 3 7
d y d y dy
a x
dx dx dx
     
− + = +     
    
362 2
2
2 2
) 7
d y dy d y
b x x
dx dx dx
  
+ = +   
   
2) 7 1
dy
c x
dx
= +
2
3
2
)
d y dy
d x
dx dx
+ =
Ejercicios 2:
Determinar el orden y el grado de las siguientes
ecuaciones:
3
5) 7 8
dy
e xy x
dx
 
= − 
 
Ejercicios 3:
Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales
son ¿Lineales o no lineales?
3 2 2' ( ) 1y x y sen x y x+ + = −5)
2'' (1 ) ' 0y y y y− − + =6)
( ) 1 1
( ) ( )1) s
dv t
v t V t
dt RC RC
+ =
( )2) a
dT
k T T
dt
= −
03) ml kl mgsen  + + =
2 2
4)
x x ydy
dx y
−  +
=