TAREA 3_ No Paramétricas - Arreglo Factorial DCA

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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
FACULTAD DE ECONOMÍA Y PLANIFICACIÓN
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
CURSO: MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA INVESTIGACIÓN
TAREA 3: No Paramétricas - Arreglo Factorial DCA
Profesora: Ing. Denise Rosalyn Chalan Llajaruna
Integrantes:
- Custodio Jaimes, Rosa María 20181002
- Omonte Vargas, Jhon Antony 20190180
- Rojas Espinoza, José Miguel 20181022
- Ruiz Anchelia, Fernanda Elizabeth 20190188
- Ruiz Rodriguez, Jesus Omar 20190137
Grupo: 7
Ciclo: 2021-I
La Molina, 2021
Ejercicio 1. Con el objetivo de verificar el contenido de alquitrán, se prueban
muestras aleatorias de cuatro marcas de cigarros. Las cifras de la tabla 1,
corresponden, en miligramos, al alquitrán encontrado en los 16 cigarros probados.
Tabla 1. Niveles de alquitrán
Marcas
A B C D
14 16 16 17
10 18 15 20
11 14 14 19
13 15 12 21
a. Utilice la prueba estadística no paramétrica adecuada, en el nivel de significación
de 0.05, para probar si existe una diferencia significativa en el contenido de alquitrán
entre las cuatro marcas de cigarro.
Usando la Prueba de Kruskal-Wallis
Marcas
A B C D
6 10.5 10.5 12
1 13 8.5 15
2 6 6 14
4 8.5 3 16
Rango A: 13 Rango B: 38 Rango C: 28 Rango D: 57
Prom.RA: 3.25 Prom.RB: 9.5 Prom.RC: 7 Prom.RD: 14.25
P1) Planteamiento de la hipótesis
Ho: El contenido de alquitrán es el mismo en las cuatro marcas de cigarrillo.
H1: El contenido de alquitrán NO es el mismo en las cuatro marcas de cigarrillo.
P2) Nivel de significancia:∝ = 0.05
P3) Cálculo del estadístico de prueba
[( ]𝑆 2 = 116−1 6
2 + 1 2 +... + 14 2 + 16 2) − 16(16+1)
2
4
= 22.4667𝑆 2
H = [ - ]1
𝑆 2
(13 2+38 2+28+57 2)
4
16(16+1) 2
4
H = [ - ]122.4667
(13 2+38 2+28+57 2)
4
16(16+1) 2
4
H= 11.372
P4) Criterio de decisión
 𝑋
𝑐
2 = 𝑋
(0.95;3)
2
= 7. 815
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑋
(0.95;3)
2 < 𝐻 = 11. 372; 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻
0
P5) Conclusión
A un nivel de significación de 0.05, existe evidencia suficiente para afirmar que la
cantidad de alquitrán en los cigarrillos de distintas marcas no es la misma.
b. Realice la prueba de comparación correspondiente
Prueba de Comparación
P1) Planteamiento de las hipótesis
Ho: El contenido de alquitrán son los mismo para los cigarros A y B
H1: El contenido de alquitrán NO son los mismo para los cigarros A y B
Ho: El contenido de alquitrán son los mismo para los cigarros A y C
H1: El contenido de alquitrán NO son los mismo para los cigarros A y C
Ho: El contenido de alquitrán son los mismo para los cigarros A y D
H1: El contenido de alquitrán NO son los mismo para los cigarros A y D
Ho: El contenido de alquitrán son los mismo para los cigarros B y C
H1: El contenido de alquitrán NO son los mismo para los cigarros B y C
Ho: El contenido de alquitrán son los mismo para los cigarros B y D
H1: El contenido de alquitrán NO son los mismo para los cigarros B y D
Ho: El contenido de alquitrán son los mismo para los cigarros C y D
H1: El contenido de alquitrán NO son los mismo para los cigarros C y D
P2) Nivel de significancia:∝ = 0.05
P3) Cálculo y Criterio de Decisión
ALS(K-W)= ]𝑡
(1−0.025;16−4)
[ 𝑆
2(16−1−𝐻)
16−4 (
1
4 +
1
4 )
ALS(K-W)= ]𝑡
(0.975;12)
[ 22.4667(16−1−11.372)12 (
1
2 )
ALS(K-W)= 2.179* ] [ 22.4667(16−1−11.372)12 (
1
2 )
ALS(K-W)= 4.015
Si: 𝑅𝑖𝑛𝑖 −
𝑅𝑗
𝑛𝑗
|| ||
> 𝐴𝐿𝑆(𝐾 − 𝑊); 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻0; 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.
Comparaciones | (𝑅𝑖)𝑛𝑖 −
(𝑅𝑗)
𝑛𝑗 |
ALS(K-W) Significancia
A-B 6.25 4.015 *
A-C 3.75 4.015 n.s
A-D 11 4.015 *
B-C 2.5 4.015 n.s
B-D 4.75 4.015 *
C-D 7.25 4.015 *
P5) Conclusión
A un nivel de significación de 0.05, al analizar la cantidad de alquitrán de las distintas
marcas de cigarrillo se puede afirmar que:
- Existen diferencias significativas al comparar la marca de cigarrillo A con las marcas
B y D.
- Existen diferencias significativas al comparar la marca de cigarrillo D con las marcas
B y C.
- No existen diferencias significativas al comparar la marca de cigarrillo C con las
marcas A y B.
Ejercicio 2. Dieciséis individuos con sobrepeso participaron en un análisis para comparar
cuatro dietas para reducción de peso. Los individuos formaron grupos de acuerdo con el
peso inicial y a cada uno de los cuatros sujetos se le asignó, al azar, una de las cuatro
dietas de reducción de peso. Al terminar el periodo se consideró la pérdida de peso en
libras. Los datos, que se muestran en la tabla 2. No se cumple el supuesto de normalidad
en los datos.
Tabla 2. Reducción de peso en libras.
Peso inicial (libras)
Régimen
A RiA B RiB C RiC D RiD
0 - 174 12 1 26 4 24 3 23 2
5 - 199 15 1 29 4 23 2 25 3
0 - 225 15 1 27 4 25 3 24 2
Más de 225 18 1 38 4 33 3 31 2
Total 60 4 120 16 105 11 103 9
a. ¿Proporcionan suficiente evidencia para indicar una diferencia en los efectos de la
dieta?
Usando la Prueba de Friedman
P1) Planteamiento de hipótesis:
H0: Los tipos de dieta en estudio tienen igual efecto en los grupos de individuos.
H1: Los tipos de dieta en estudio tienen distinto efecto en los grupos de individuos.
P2) Nivel de significación: α = 0. 05
P3) Cálculo del estadístico de prueba.
𝑆 =
(𝐾−1)[𝑏𝐵−
𝑏2𝑘(𝑘+1)2
4 ]
𝐴− 𝑏𝑘(𝑘+1)
2
4
𝐴 =
𝑖=1
𝑘
∑
𝑗=1
𝑏
∑ [𝑅(𝑋𝑖𝑗)]2 𝐵 = 1𝑏
𝑖=1
𝑘
∑ 𝑅𝑖2
𝐴 = 12 + 1 2 +... + 22 + 2 2 = 120 
𝐵 = 4
2+162+112+9 2
4 = 118. 5
𝑆 =
(4−1)[4(118.5)−
42(4)(4+1)2
4 ]
120− 4(4)(4+1)
2
4
= 11. 1
P4) Criterio de decisión
𝑋
𝑐
2 = 𝑋
(0.95;3)
2
= 7. 81
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑋
(0.95;3)
2 < 𝑆 = 11. 1; 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻
0
P5) Conclusión
A un nivel de significación de 0.05 se puede afirmar que los tipos de dieta en estudio
tienen distinto efecto en los grupos de individuos.
b. Realice la prueba de comparación correspondiente.
Prueba de Comparación
P1) Planteamiento de las hipótesis
H0: La reducción de peso con el régimen A es similar a la del régimen B.
H1: La reducción de peso con el régimen A no es similar a la del régimen B.
H0: La reducción de peso con el régimen A es similar a la del régimen C.
H1: La reducción de peso con el régimen A no es similar a la del régimen C.
H0: La reducción de peso con el régimen A es similar a la del régimen D.
H1: La reducción de peso con el régimen A no es similar a la del régimen D.
H0: La reducción de peso con el régimen B es similar a la del régimen C.
H1: La reducción de peso con el régimen B no es similar a la del régimen C.
H0: La reducción de peso con el régimen B es similar a la del régimen D.
H1: La reducción de peso con el régimen B no es similar a la del régimen D.
H0: La reducción de peso con el régimen C es similar a la del régimen D.
H1: La reducción de peso con el régimen C no es similar a la del régimen D.
P2) Nivel de significación: α = 0. 05
P3) Cálculo y Criterio de decisión
𝐴𝐿𝑆(𝐹𝑟) = 𝑡
(1−α/2; (𝑏−1)(𝑘−1))
2(𝑏)(𝐴−𝐵)
(𝑏−1)(𝑘−1)
𝐴𝐿𝑆(𝐹𝑟) = 𝑡
(0.975; (4−1)(4−1))
2(4)(120−118.5)
(4−1)(4−1)
𝐴𝐿𝑆(𝐹𝑟) = 2. 26 * 1. 155 = 2. 6103
Si: 𝑅𝑖 − 𝑅𝑗| | > 𝐴𝐿𝑆(𝐹𝑟); 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻0; 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.
Comparaciones |𝑅𝑖 − 𝑅𝑗| ALS(Fr) Significancia
A-B 12 2.6103 *
A-C 7 2.6103 *
A-D 5 2.6103 *
B-C 5 2.6103 *
B-D 7 2.6103 *
C-D 2 2.6103 n.s
P4) Conclusión.
A un nivel de significación de 0.05, al analizar la reducción de peso según los distintos
regímenes alimenticios, se puede afirmar:
La reducción de peso con el régimen de dieta A es distinta a la de los regímenes de
dieta B, C y D.
La reducción de peso con el régimen de dieta B es distinta a la de los regímenes de
dieta C y D.
La reducción de peso con el régimen de dieta C es similar a la del régimen D.
Ordenando de menor a mayor los rangos, obtenemos gráficamente:
__________________
Régimen A Régimen D Régimen C Régimen B
Por lo tanto, se puede afirmar que el régimen de dieta B es el más efectivo para la
reducción de peso.
Ejercicio 3. Dentro de los microorganismos, los hongos filamentosos como el Aspergillus
niger constituyen uno de losgrupos más utilizados en la producción de enzimas industriales,
principalmente por sus altos niveles de secreción de proteínas, y su estatus GRAS
(Generalmente Reconocidos Como Seguros) (Ward et al., 2006). Por ello, se propone un
proceso alternativo para la producción de la enzima tanasa a partir de Aspergillus niger
ATCC 10864 mediante un sistema de Fermentación por Adhesión a Superficie (FAS).
Teniendo en cuenta lo anterior mencionado se estudió tres concentraciones de ácido tánico
(3, 5 y 7%) durante 96 horas de fermentación (0, 24, 48,72 y 96), los resultados se
analizaron estadísticamente en un DCA con arreglo factorial de 3x5 con tres repeticiones.
Para cada tratamiento se midió la actividad enzimática extracelular en mg/ml de ácido gálico
(U/L), biomasa del sistema (g/L), producción de proteína soluble extracelular (g/L),
absorción específica de biomasa (g/g), porcentaje de ácido tánico residual (%), rendimiento
de biomasa por consumo de ácido tánico y la actividad enzimática específica (UI/mg) como
principales parámetros de comparación.
Concentración
ácido tánico %
Horas de fermentación (h)
0 h 24 h 48 h 72 h 96 h
3%
0,002 0,033 0,072 0,119 0,128
0,002 0,036 0,073 0,117 0,126
0,003 0,034 0,073 0,119 0,124
5%
0,002 0,037 0,041 0,091 0,097
0,002 0,037 0,045 0,088 0,093
0,003 0,04 0,049 0,093 0,102
7%
0,002 0,021 0,044 0,056 0,094
0,002 0,021 0,038 0,058 0,088
0,003 0,023 0,042 0,056 0,092
Tabla de totales:
Concentración
ácido tánico
(A)
Horas de fermentación (B)
b1 b2 b3 b4 b5 Total
a1 0,007 0,103 0,218 0,355 0,378 1,061
a2 0,007 0,114 0,135 0,272 0,292 0,82
a3 0,007 0,065 0,124 0,17 0,274 0,64
Total 0,021 0,282 0,477 0,797 0,944 2,521
Tabla de promedios:
Concentración
ácido tánico %
B(Periodo en días)
b1 b2 b3 b4 b5 Promedio
a1 0,0023 0,0343 0,0727 0,1183 0,1260 0,0707
a2 0,0023 0,0380 0,0450 0,0907 0,0973 0,0547
a3 0,0023 0,0217 0,0413 0,0567 0,0913 0,0427
Promedio 0,0023 0,0313 0,0530 0,0886 0,1049 0,0560
a) Modelo aditivo lineal
i=1,2,3; j=1,2,3,4,5; k=1,2,3
Yijk:La actividad enzimática extracelular con la i-ésima concentración de ácido tánico, la
j-ésima hora de fermentación (cada 24 horas), en la k-ésima repetición.
μ: El promedio de la actividad enzimática extracelular.
αi: El efecto de la i-ésima concentración de ácido tánico.
βj: El efecto de la j-esima hora de fermentación (cada 24 horas).
(αβ)ij: El efecto de la interacción de la i-esima concentración de ácido tánico y la j-esima
hora de fermentación (cada 24 horas).
εijk: El efecto del error con la i-esima concentración de ácido tánico, la j-esima hora de
fermentación (cada 24 horas), en la k-esima repetición.
● Supuesto I: Normalidad de errores
Hipótesis:
Ho: Los errores se distribuyen normalmente. Donde: εijk = Yijk - Y...
Hi: Los errores no se distribuyen normalmente.
Nivel de significancia: α = 0.05
Estadístico de prueba: p-valor = 0.013
Conclusión: A un nivel de significación de 0.05 existe evidencia estadística para
rechazar Ho. Por lo tanto se puede afirmar que los errores no se distribuyen
normalmente. No se cumple el supuesto de normalidad de errores.
● Supuesto II: Homogeneidad de varianzas
Hipótesis:
Ho: Todas las varianzas son iguales.
Hi: Por lo menos una varianza es diferente.
Nivel de significancia: α = 0.05
Estadístico de prueba: p-valor = 0.439
Conclusión: A un nivel de significación de 0.05, no existe evidencia estadística
para rechazar Ho. Por lo tanto no se puede afirmar que las varianzas de los
tratamientos sean heterogéneas. Se cumple el supuesto de homogeneidad de
varianzas.
b) Interacción entre las Horas de fermentación y la Concentración Ácido Tánico.
P1) Planteamiento de hipótesis:
Ho: (αβ)ij = 0 i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5
Hi: (αβ)ij ≠ 0 para al menos algún i, j
P2) Nivel de significancia: α =0.05
P3) Cálculo estadístico prueba
p = 3 TC = 0.1412
q = 5 SC (Comb. AB) =0.0725
r = 3
F.V. GL SC CM Fcal Ftab Sig.
A 2 0,0059 0,0030 587,1096 3,3158 *
B 4 0,0625 0,0156 3.085,2566 2,6896 *
AB 8 0,0040 0,0005 99,5658 2,2662 *
Error Exp. 30 0,0002 0,00001
Total 44 0,0727
P4) Criterio de decisión
Fcal = 99.5658
Ftab = 2.2662
Como Fcal > Ftab; se rechaza Ho.
P5) Conclusión
A un nivel de significación de 0.05 existe evidencia estadística para rechazar 𝐻o. Luego se
puede afirmar que existe interacción entre la concentración de ácido tánico y las horas de
fermentación.
c) Análisis de efectos simples.
Sí se debe realizar el análisis de efectos simples, debido a que la interacción salió
significativa.
P1) Planteamiento de hipótesis:
A en b1 A en b2
Ho: u11. = u21. = u31. = 41. = u51. Ho: u12. = u22. = u32. = 42. = u52.
Hi: Al menos un ui1. es ≠∀i=1,...,5 Hi: Al menos un ui2. es ≠
∀i=1,...,5
A en b3 A en b4
Ho: u13. = u23. = u33. = 43. = u53. Ho: u14. = u24. = u34. = 44. = u54.
Hi: Al menos un ui3. es ≠∀i=1,...,5 Hi: Al menos un ui4. es ≠
∀i=1,...,5
A en b5 B en a1
Ho: u15. = u25. = u35. = 45. = u55. Ho: u11. = u12. = u13.
Hi: Al menos un ui5. es ≠∀i=1,...,5 Hi: Al menos un u1j. es ≠
∀i=1,...,3
B en a2 B en a3
Ho: u21. = u22. = u23. Ho: u31. = u32. = u33
Hi: Al menos un u2j. es ≠∀i=1,...,3 Hi: Al menos un u3j. es ≠
∀i=1,...,3
P2) Nivel de significancia:
α = 0.05
P3) Cálculo estadístico prueba
p = 3
q = 5
r = 3
F.V. GL SC CM Fcal Ftab Sig.
Ab1 2 0,0000 0,0000 0,0000 3,3158 n.s.
Ab2 2 0,0004 0,0002 43,4868 3,3158 *
Ab3 2 0,0018 0,0009 173,7500 3,3158 *
Ab4 2 0,0057 0,0029 564,8904 3,3158 *
Ab5 2 0,0021 0,0010 203,2456 3,3158 *
Ba1 4 0,0340 0,0085 1.676,7566 2,6896 *
Ba2 4 0,0187 0,0047 921,6776 2,6896 *
Ba3 4 0,0139 0,0035 685,9539 2,6896 *
Error Exp. 30 0,0002 0,00001
P4) Criterio de decisión
Si Fcal es mayor a Ftab; se rechaza Ho.
P5) Conclusión
No existen diferencias significativas entre las concentraciones de ácido tánico a los 0 horas
de fermentación, pero sí existe diferencia significativa entre las concentraciones de ácido
tánico a las 24, 48, 72 y 96 horas, respecto a la actividad enzimática extracelular media.
Existen diferencias significativas entre las horas de fermentación, y todas las
concentraciones de ácido tánico, respecto a la actividad enzimática extracelular media.
d) Prueba de Tukey para comparar B en a1
P1) Planteamiento de hipótesis:
Ho: u11. = u12. Ho: u11. = u13. Ho: u11. = u14. Ho: u11. = u15. Ho: u12. = u13.
Hi: u11. ≠ u12. Hi: u11. ≠ u13. Hi: u11. ≠ u14. Hi: u11. ≠ u15. Hi: u12. ≠ u13.
Ho: u12. = u14. Ho: u12. = u15. Ho: u13. = u14. Ho: u13. = u15. Ho: u14. = u15.
Hi: u12. ≠ u14. Hi: u12. ≠ u15. Hi: u13. ≠ u14. Hi: u13. ≠ u15. Hi: u14. ≠ u15.
P2) Nivel de significancia:
α =0.05
P3) Cálculo estadístico prueba
AES (t) = 4.1
Sd = 0.0013
ALS (t) = 0.0053
Comparación |𝑌1i.−𝑌i𝑗.| ALS (t) Sig.
b1 - b2 0,0320 0,0053 *
b1 - b3 0,0703 0,0053 *
b1 - b4 0,1160 0,0053 *
b1 - b5 0,1237 0,0053 *
b2 - b3 0,0383 0,0053 *
b2 - b4 0,0840 0,0053 *
b2 - b5 0,0917 0,0053 *
b3 - b4 0,0457 0,0053 *
b3 - b5 0,0533 0,0053 *
b4 - b5 0,0077 0,0053 *
P4) Criterio de decisión
Si ALS (t) es mayor a |𝑌1𝑖.−𝑌𝑖𝑗.|; se rechaza Ho.
P5) Conclusión
A un nivel de significación de 0.05 se puede afirmar que al analizar la actividad enzimática
extracelular promedio con la concentración de 3% de ácido tánico existe diferencia
significativa entre todas las horas de fermentación.
Se sugiere para maximizar la producción de proteína soluble extracelular, utilizar 96h de
fermentación.