U7 Ejercicios Circulacion

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8_Siendo 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3 𝑥 + 6 𝑦; − 14 𝑦 𝑧; 20 𝑥 𝑧 ), calcule la circulación a lo largo de la curva C 
dada por: 
 
𝑎) 𝐶
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 𝑡
 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 1; en el sentido que va desde el punto (0, 0, 0) al (1, 1, 1) 
 
Ver Grafica  https://www.geogebra.org/m/xrdeq4tt 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧)) ⋀ 𝑑𝑠 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) 
 
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
𝑑𝑦 = 2 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑧 = 3 𝑡 𝑑𝑡
 
 
𝑉. 𝑑�⃗� = 𝑉 𝑑𝑥 + 𝑉 𝑑𝑦 + 𝑉 𝑑𝑧 = (3 𝑥 + 6 𝑦)𝑑𝑥 + (− 14 𝑦 𝑧)𝑑𝑦 + (20 𝑥 𝑧 )𝑑𝑧 
= (9 𝑡 − 2 ∗ 14 𝑡 + 3 ∗ 20 𝑡 ) 𝑑𝑡 = 
 
= 3 𝑡 − 4 𝑡 + 6 𝑡 = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑏) 𝐶: intersección de los planos: 
𝑧 = 𝑥 + 𝑦
𝑧 + 𝑦 = 4
 ; en el 1° octante en el sentido positivo del eje x. 
Para parametrizar tomo 𝑥 = 𝑡 
Luego reemplazo z en la segunda ecuación, queda 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 = 4 
Despejando “y” y reemplazando z queda 𝑦 = 
Reemplazando “x” e “y” en la primera ecuación queda 𝑧 = 𝑡 − 𝑡 + 2 = 𝑡 + 2 
Parametrizando: 
𝑥 = 𝑡
𝑦 = − 𝑡 + 2 
𝑧 = 𝑡 + 2
 
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
𝑑𝑦 = − 𝑑𝑡
𝑑𝑧 = 𝑑𝑡
 0 ≤ 𝑡 ≤ 4 
Ver grafica  https://www.geogebra.org/m/gunykxbz 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3 𝑥 + 6 𝑦; − 14 𝑦 𝑧; 20 𝑥 𝑧 ) 
𝑉. 𝑑�⃗� = 𝑉 𝑑𝑥 + 𝑉 𝑑𝑦 + 𝑉 𝑑𝑧 = 
 
= ∫ 3 𝑡 + 6 (− 𝑡 + 2) 𝑑𝑡 + −14(− 𝑡 + 2)( 𝑡 + 2) − 𝑑𝑡 + 20 𝑡 𝑡 + 2 𝑑𝑡 = 
 
= 3 𝑡 − 3 𝑡 + 12 + 7 4 −
𝑡
4
 + 10 𝑡 
𝑡
4
+ 2 𝑡 + 4 𝑑𝑡 = 
= 3 𝑡 − 3 𝑡 + 12 + 28 − 
7
4
 𝑡 +
5
2
 𝑡 + 20 𝑡 + 40 𝑡 𝑑𝑡 = 
= 40 + 37 𝑡 + 
85
4
 𝑡 +
5
2
 𝑡 𝑑𝑡 =
3208
3
 ≅ 1069,33 
 
 
 
 
 
 
 
 
9_Halle el trabajo necesario para desplazar una partícula de un campo de fuerzas dado por: �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
 (3 𝑥 𝑦; −5 𝑧; 10 𝑧), a lo largo de la curva intersección entre: 
𝑧 = 𝑥 + 𝑦
𝑧 + 𝑥 = 1
1° 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
 ; desde el punto de intersección de la curva con el plano 𝑦 = 0 al punto (0, 1, 1) 
 
Para parametrizar tomo 𝑥 = 𝑡 
Reemplazo “x” en la ecuación 𝑧 + 𝑥 = 1 , queda 𝑧 = 1 − 𝑡 
Reemplazo “x” y “z” en la ecuación 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , queda 𝑦 = √1 − 𝑡 − 𝑡 
Parametrizando: 
𝑥 = 𝑡
𝑦 = √1 − 𝑡 − 𝑡 
𝑧 = 1 − 𝑡 
 
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
𝑑𝑦 = − 
 
√
 𝑑𝑡
𝑑𝑧 = − 𝑑𝑡
 0 ≤ 𝑡 ≤ 0.618 
 𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0 → 0 = √1 − 𝑡 − 𝑡 
𝑡 ≅ 0,618q 
0 = 1 − 𝑡 − 𝑡 
𝑡 ≅ −1,618 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 1𝑒𝑟 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Ver grafica  https://www.geogebra.org/m/rft7tx9x 
�⃗�. 𝑑�⃗� = 𝐹 𝑑𝑥 + 𝐹 𝑑𝑦 + 𝐹 𝑑𝑧 = 3 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 − 5 𝑧 𝑑𝑦 + 10 𝑧 𝑑𝑧 = 
= 3 𝑡 1 − 𝑡 − 𝑡 𝑑𝑡 + [−5 (1 − 𝑡)] −
1 + 2 𝑡
2√1 − 𝑡 − 𝑡
𝑑𝑡 + [10(1 − 𝑡)] 
.
[−𝑑𝑡] = 
= ∫ 3 𝑡 √1 − 𝑡 − 𝑡 +
 
√
− 10 + 10 𝑡 
.
𝑑𝑡 = 1.143