Diferenciales y gradiente Ejercicios

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Ejercicios de la guía de diferenciabilidad 
 
En resumen tenemos una condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad : 
lim
→
∆ 
 = 0 que nos sirve para encarar los ejercicios: 
Si f(x, y) es diferenciable en (xo, yo)  lim
→
∆ 
 = 0 
Si f(x, y) es diferenciable en (xo, yo)  Admite plano tangente en (xo, yo, zo) 
Si f(x, y) es diferenciable en (xo, yo) => es continua en ese punto (la reciproca no es cierta) 
 
Desarrollaremos el ejercicio 14, en forma simbólica en lugar de hacerlo en el punto (3; 3) 
desde el arranque, para obtener algunas conclusiones interesantes: 
 
 
14) Dada la función 𝑧 = 𝑥 + 2 𝑥 𝑦 − 𝑦 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 ∆𝑧 𝑦 𝑑𝑧. Evalúelos en (xo, yo) = (3; 3) 
con ∆𝑥 = 0,1 ; ∆𝑦 = 0,2 ; finalmente calcule aproximadamente z(2,5; 3,1) y compare 
con su valor exacto. 
Esta función: 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 𝐷 = ℝ 
∆𝑧 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥; 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
 = (𝑥 + ∆𝑥) + 2 (𝑥 + ∆𝑥)(𝑦 + ∆𝑦) − (𝑦 + ∆𝑦) − 𝑥 − 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 = 
= 𝑥 + 2 𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥 + 2 𝑥 𝑦 + 2 𝑥 ∆𝑦 + 2 𝑦 ∆𝑥 + 2 ∆𝑥 ∆𝑦 − 𝑦 − 2 𝑦 ∆𝑦 − ∆𝑦
− 𝑥 − 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 = 
= 2 𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥 + 2 𝑥 ∆𝑦 + 2 𝑦 ∆𝑥 + 2 ∆𝑥 ∆𝑦 −2 𝑦 ∆𝑦 − ∆𝑦 
Ordenando convenientemente: 
∆𝑧 = (2 𝑥 + 2 𝑦) ∆𝑥 + (2 𝑥 − 2 𝑦) ∆𝑦 + ∆𝑥 + 2 ∆𝑥 ∆𝑦 − ∆𝑦 
𝑑𝑧 = 𝑧′ ∆𝑥 + 𝑧′ ∆𝑦 
𝑑𝑧 = (2 𝑥 + 2 𝑦) ∆𝑥 + (2 𝑥 − 2 𝑦) ∆𝑦 podemos observar la similitud entre los dos 
cálculos 
Aplicando la condición necesaria y suficiente de continuidad: 
lim
→
∆ 
 = lim
→
 (∆𝑥 + 2 ∆𝑥 ∆𝑦 − ∆𝑦 ) = lim
→
(𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 2 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑 −
𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜑) = 0 => f(x, y) es diferenciable en todo su dominio. 
Evaluando en (𝑥, 𝑦, ∆𝑥, ∆𝑦) = (3; 3; 0.1; 0.2): ∆𝑧 = 1.21 ; 𝑑𝑧 = 1.2 
Observamos que en un entorno: 𝐸(𝑥 ; 𝑦 ); ∆𝑧 ≅ 𝑑𝑧 al aproximar la función con el 
plano tangente (es la aproximación lineal, la más sencilla) 
Para: z(2,5; 3,1): seguimos considerando: 
 (𝑥 , 𝑦 ) = (3; 3) 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 ∆𝑥 = − 0.5; ∆𝑦 = 0.1 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥 ; 𝑦 ) + ∆𝑧 ; 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓(𝑥, 𝑦) ≅ 𝑓(𝑥 ; 𝑦 ) + 𝑑𝑧 
𝑓(2.5; 3.1) = 12.14 y 𝑓(2.5; 3.1) ≅ 18 − 6 => 𝑧 ≈ 12 
 
La ecuación del plano tangente será el siguiente 
𝑧 − 𝑧 = 12 (𝑥 − 𝑥 ) + 12 (𝑦 − 𝑦 ) 
𝑧 − 18 = 12 (𝑥 − 3) + 12 (𝑦 − 3) 
𝑧 = 12𝑥 − 36 + 12𝑦 − 36 + 18 
𝑧 = 12𝑥 + 12𝑦 − 52 
https://www.geogebra.org/calculator/zhpzf39s 
16 a) 
𝑧 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 1 
𝑧′ = 3𝑥 𝑦 + 2𝑥 𝑦 
𝑧′ = 𝑥 + 2𝑥 𝑦 
𝑑𝑧 = (3𝑥 𝑦 + 2𝑥 𝑦 ) ∆𝑥 + (𝑥 + 2𝑥 𝑦) ∆𝑦 
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0,0,1)𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑎 
𝑧 (0,0) = 0 
𝑧 (0,0) = 0 
𝑧 − 𝑧 = 𝑧 ∆𝑥 + 𝑧 ∆𝑦 
𝑧 − 𝑧 = 𝑧 (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑧 (𝑦 − 𝑦 ) 
𝑧 − 1 = 0 (𝑥 − 0) + 0 (𝑦 − 0) 
𝑧 = 1 
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,1,3)𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑎 
𝑧 (1,1) = 5 
𝑧 (1,1) = 3 
𝑧 − 𝑧 = 𝑧 ∆𝑥 + 𝑧 ∆𝑦 
𝑧 − 𝑧 = 𝑧 (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑧 (𝑦 − 𝑦 ) 
𝑧 − 3 = 5 (𝑥 − 1) + 3 (𝑦 − 1) 
𝑧 = 5𝑥 + 3𝑦 − 5 
https://www.geogebra.org/calculator/jweyncha 
16 b) 
𝑧 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑦) 
𝑧′ = 2𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦) 
𝑧′ = 𝑥 cos (𝑦) 
𝑑𝑧 = (2𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦)) ∆𝑥 + (𝑥 cos (𝑦)) ∆𝑦 
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1,
𝜋
2
, 1 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑎 
𝑧 (1,
𝜋
2
) = 2 
𝑧 (1,
𝜋
2
) = 0 
𝑧 − 𝑧 = 𝑧 ∆𝑥 + 𝑧 ∆𝑦 
𝑧 − 𝑧 = 𝑧 (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑧 (𝑦 − 𝑦 ) 
𝑧 − 1 = 2 (𝑥 − 1) + 0 (𝑦 −
𝜋
2
) 
𝑧 = 2𝑥 − 1 
https://www.geogebra.org/calculator/qk8ybptf 
16 c) 
𝑢 = 𝑙𝑛 (𝑥𝑦𝑧 ) 
𝑢′ =
1
𝑥𝑦𝑧
 𝑦𝑧 =
1
𝑥
 
𝑢′ =
1
𝑥𝑦𝑧
 𝑥𝑧 =
1
𝑦
 
𝑢′ =
1
𝑥𝑦𝑧
 2𝑥𝑦𝑧 =
2
𝑧
 
17) 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 − 3𝑥 + 4𝑦 − 5 
𝑧′ = 6𝑥 − 3 = 0 
𝑧′ = 4𝑦 + 4 = 0 
𝑥 = ˄ 𝑦 = −1 
El plano tangente a la superficie será un plano horizontal en el vértice del paraboloide 
𝑒𝑛 
1
2
, −1, 𝑧(
1
2
. −1) = (
1
2
, −1, −
31
4
) 
𝑧 − 𝑧 = 𝑧 ∆𝑥 + 𝑧 ∆𝑦 
𝑧 +
31
4
 = 0 (𝑥 −
1
2
) + 0 (𝑦 + 1) 
𝑧 = −
31
4
 
Expreso el paraboloide en forma canónica 
𝑧 = 3 𝑥 −
1
2
+ 2(𝑦 + 1) −
31
4
 
𝑧 − 𝑧 = 𝑎(𝑥 − 𝑥 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦 ) 
Siendo las coordenadas del vértice 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ), siendo a y b los coeficientes del 
los términos cuadráticos 
Si x=0  estoy en el plano yz, la traza queda representada por 
𝑧 = 2(𝑦 + 1) −
28
4
 
Si y=0  estoy en el plano xz, la traza queda representada por 
𝑧 = 3 𝑥 −
1
2
−
23
4
 
https://www.geogebra.org/calculator/xqjp4b35 
 
18) Analice la diferenciabilidad de las siguientes funciones en (xo, yo) = (0; 0) 
 
𝑎) 𝑧 =
 
 
 ∀ (𝑥, 𝑦) ≠ (0; 0)
0 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0; 0)
 
Directamente aplicamos la condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad: 
lim
→
∆ 
 = 0 
∆𝑧 =
∆ ∆
∆ ∆
 =
 
Siempre se puede derivar aplicando métodos y formulas, pero no en este caso que nos 
quedara cero en el denominador, así que directamente derivamos por definición 
𝑧′ = lim
∆ → ∆
 
√∆
 = lim
∆ →
 0 = 0 
Análogamente 
𝑧′ = lim
∆ → ∆
 
∆
 = lim
∆ →
 0 = 0 
Entonces: 𝑑𝑧 = 𝑧′ ∆𝑥 + 𝑧′ ∆𝑦 = 0 ∆𝑥 + 0 ∆𝑦 = 0 
 
lim
→
∆ 
 = lim
→
 
 
 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜑 ≠ 0 => la función z(x, y) no es 
diferenciable en (0; 0) 
 
 
 
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
 ∀ (𝑥, 𝑦) ≠ (0; 0)
0 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0; 0)
 
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 (0, 0) < => lim
 →
∆𝑧 − 𝑑𝑧
𝜌
 = 0 
∆𝑧 =
∆ ∆
∆ ∆
 =
 ; 𝑑𝑧 = 0 
lim
→
∆ 
 = lim
→
 
 
 = 0 => f(x, y) es diferenciable en (0; 0) 
 
 
 
𝑑) 𝑧 = 
 ∀ (𝑥, 𝑦) ≠ (0; 0)
0 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0; 0)
 
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 (0, 0) < => lim
 →
∆𝑧 − 𝑑𝑧
𝜌
 = 0 
 
∆𝑧 =
∆ ∆
∆ ∆
 =
 ( ) 
 
𝑧′ = lim
∆ → ∆
 
∆
∆
 = lim
∆ →
 1 = 1 
𝑧′ = lim
∆ → ∆
 
 ∆
∆
 = lim
∆ →
 (−1 ) = −1 
 
𝑑𝑧 = = 𝑧′ ∆𝑥 + 𝑧′ ∆𝑦 = ∆𝑥 − ∆𝑦 
lim
→
∆ 
 = lim
→
 
 ( )
 − 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 − 𝑠𝑒𝑛 𝜑 −
 − 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑠𝑒𝑛 𝜑 ≠ 0 => la función z(x, y) no es diferenciable en (0, 0) 
 
 
 
19) Derivada direccional por formula. Gradiente y verificar propiedad. 
𝑎) 𝑧 = 3 𝑥 − 𝑥 𝑦 + 𝑦 ; 𝑒𝑛 (𝑥, 𝑦) = (1; 2); 𝑐𝑜𝑛 𝜑 = 45° → 𝜑 = 
𝑧′ = 12 𝑥 − 𝑦 ; => 𝑧′ (1; 2) = 10 
𝑧′ = −𝑥 + 3 𝑦 ; => 𝑧′ (1; 2) = 11 
𝑧′ (1; 2) = 𝑧′ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑧′ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 = 10 
√
 + 11 
√
 = 21 
√
 ≅ 14.85 
 
𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� = 10 𝚤̆ + 11 𝚥̆ = (10; 11) 
 
Verificando la propiedad que los relaciona: 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 = 47.726° 
Llamamos 𝜔 = 𝛼 − 𝜑 
𝑧′ (1; 2) = 𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� 𝑐𝑜𝑠 𝜔 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − 𝜑) = √10 + 11 𝑐𝑜𝑠 2.726° 
𝑧′ (1; 2) ≅ 14.85 vemos que verifica la propiedad 
https://www.geogebra.org/calculator/ey3targn 
 
 
 
𝑏) 𝑧 = 𝑦 𝑙𝑛 (𝑥) + 𝑦 ; 𝑒𝑛 (𝑥, 𝑦) = (1; 1) Según la dirección y sentido del vector 𝑟 =
 3 𝚤̆ − 4 𝚥̆ 
Al versor lo determinamos: �̆� = ⃗
| ⃗|
 = (3; − 4) = ; − como sabemos del 
algebra sus componentes son los cosenos directores. En nuestro caso: {𝑐𝑜𝑠 𝜑; 𝑠𝑒𝑛 𝜑} 
respectivamente. 
𝑧′ = + 𝑦 𝑙𝑛 𝑦 ; => 𝑧′ (1; 1) = 1 
𝑧′ = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥 𝑦 ; => 𝑧′ (1; 1) = 1 
𝑧′ ̆ (1; 1) = 𝑧′ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑧′ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 = 1 + 1 − = − = − 0.2 
 
𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� = (1; 1) 
 
 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −4 5 = − 53.13° ; 
𝛼 = 45° => 𝜔 = 𝛼 − 𝜑 = 45 − (−53.13) = 98.13° 
𝑧′ ̆ (1; 1) = 𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� 𝑐𝑜𝑠 𝜔 = √2 𝑐𝑜𝑠 98.13 ≅ − 0.2 verifica la propiedad 
https://www.geogebra.org/calculator/zrxs3bgw 
 
20) Calcular las derivadas direccionales en los puntos indicados 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑒 ; 𝑒𝑛 ( −3; 3) , 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎. 
 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑥 + 3 , 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜. 
𝑓′ = 𝑒 + 𝑥 𝑒 => 𝑓′ (−3; 3) = − 2 
𝑓′ = 𝑥 𝑒 => 𝑓 (−3; 3) = − 3 
𝑦′ = 2 𝑥 + 3 => 𝑚 = 𝑦′(−3; 3) = − 3 => 𝑚 = − = 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 3 = 18.435° ; 
𝑓′ (−3; 3) = 𝑓′ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑓′ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 = − 2.846 
𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� = (− 2; − 3) 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −3 −2 = 56.31° ; como corresponde al 3er cuadrante: => 𝛼 = 236.31° 
𝜔 = 𝛼 − 𝜑 = 236.31 − 18.435 = 217.875° 
𝑓′ (−3; 3) = √2 + 3 𝑐𝑜𝑠 217.875° = - 2.846 verifica la propiedad 
 
Otra forma de calcular la derivada direccional en la dirección del versor, es realizar el 
producto escalar entre el vector gradiente y el versor 
El versor lo obtenemos del grafico 𝑣 = (
√
;
√
) 
𝑓 (−3; 3) = 𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� ∗ 𝑣 = 𝑓 ; 𝑓 ∗ (𝑎, 𝑏) = (−2, −3) ∗
3
√10
 ,
1
√10
= −
6
√10
−
3
√10
= −
9
√10
≅ −2,846 
https://www.geogebra.org/calculator/mmcvzacz 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = 
 
 ; en (-1; 1; 3) ; en la dirección del vector que dirige la recta: 
𝑥 = −1 − 2 𝑡
𝑦 = 1 + 𝑡
𝑧 = 3 + 2 𝑡
 
Dirección: 𝑟 = (−2; 1; 2) => �̆� = (−2; 1; 2) = − ; ; es el versor que me 
indica la dirección, recordemos que sus componentes son los cosenos directores. |�̆�| = 1 
 
𝑓′ =
 
( )
 => 𝑓′ (−1; 1; 3) = 
𝑓′ =
 
( )
 => 𝑓′ (−1; 1; 3) = − 
𝑓′ = 
 
 => 𝑓′ (−1; 1; 3) = 
La fórmula en el espacio de 3 dimensiones, sale del producto escalar: 
𝑓′ ̆ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 . �̆� 
 
𝑓′ ̆ = − − ∗ + ∗ = − ≅ − 1.1667 
En este caso necesitaría 3 datos y no uno como en el plano si quisieran darme una 
dirección determinada: 
{𝜑 ; 𝜑 ; 𝜑 } 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 {𝑥; 𝑦; 𝑧} => 
La fórmula sería: 𝑓′ ̆ = 𝑓′ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑓′ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑓′ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ; dónde los cosenos son 
los cosenos directores componentes del versor que me indica la dirección. 
 
21) Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒 , halle la dirección en la cual la derivada es máxima en el 
punto (0,3) y el valor de dicha derivada 
𝑓′ = 𝑦𝑒 => 𝑓′ (0; 3) = 3 
𝑓′ = 𝑒 => 𝑓 (0; 3) = 1 
La dirección de la máxima derivada será la dirección del gradiente 
𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� = (3; 1) 
Y el valor de dicha derivada es el módulo del gradiente 
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 3 + 1 = √10 
 
22) Halle la derivada direccional de: 𝑢 = 2 𝑥 𝑦 − 𝑧 ; según la dirección y sentido del 
vector que une los puntos 𝑃 (2; −1; 1) 𝑦 𝑃 (3; 1; −1) Halle el gradiente en P1 y 
verifique la propiedad que lo relaciona con la derivada direccional. Por último, en qué 
dirección es máxima la derivada direccional en P1 y cual es dicho valor. 
La dirección y sentido están dadas por el vector: 
 𝑃 𝑃⃗ = (3 − 2; 1 − (−1); −1 − 1) = (1; 2; −2) => �̆� = ; ; − 
𝑢′ = 2 𝑦 => 𝑢′ (2; −1; 1) = − 2 
𝑢′ = 2 𝑥 => 𝑢′ (2; −1; 1) = 4 
𝑢′ = −1 => 𝑢′ (2; −1; 1) = − 1 
 
𝑢′ ̆ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� . �̆� = −2 + 4 − 1 − = 
La dirección de la derivada direccional máxima es la dirección del gradiente y su valor el 
modulo del gradiente, lo denotamos para la respuesta de este problema: dirección 𝑡 y 
valor máximo 𝑢′ 
�̆� = 
𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗�
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢
 = 
1
√21
 (−2; 4; −1) = −
2
√21
 ; 
4
√21
 ; −
1
√21
 
 𝑢′ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜔 = √21 𝑐𝑜𝑠 0° = √21