1 8 EDO Bernoulli

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8. 𝑎) + = 𝑦 ; (1) 
Multiplico m a m por 𝑦 
 𝑦 𝑦 + 
𝑦
𝑥
= 1 
Realizo la sustitución 𝑧 = 𝑦 ; 𝑧 = − 𝑦 𝑦′ 
Entonces: −𝑧 + 𝑧 = 1 ; (2) ; es una EDO lineal de 1er Orden, completa con incógnita: 
𝑧(𝑥) 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es : −𝑧 + 𝑧 = 0 ; (3) 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑧 
𝑥
 → 
𝑑𝑧
𝑧
 = 
𝑑𝑥
𝑥
 → 𝑙𝑛 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶 → 𝑧 = 𝐶 𝑥 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (3) 
2° paso: proponemos: 𝑧 = 𝑢 𝑥 (4), como solución de (2) ; 𝑧′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 
3° paso: reemplazamos (4)𝑒𝑛 (2) : − 𝑢 𝑥 − 𝑢 + 𝑢 𝑥 = 1 
−𝑢 𝑥 = 1 → 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 = −
1
𝑥
 → 𝑑𝑢 = −
𝑑𝑥
𝑥
 
𝑢 = − ln 𝑥 + 𝑐 
𝑧 = [− ln 𝑥 + 𝑐] 𝑥 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (2) 
𝑦 = [− ln 𝑥 + 𝑐] 𝑥 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (1) 
 
8. 𝑏) − = 𝑦 ln 𝑥 ; (1) 
Multiplico m a m por 4 
 𝑦 𝑦 − 
𝑦
3𝑥
= ln 𝑥 
Realizo la sustitución 𝑧 = 𝑦 ; 𝑧 = −3 𝑦 𝑦 ; 𝑦 𝑦 = − 
Entonces: − − 𝑧 = ln 𝑥 ; (2) ; es una EDO lineal de 1er Orden, completa con incógnita: 
𝑧(𝑥) 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es : − − 𝑧 = 0 ; (3) 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= −
𝑧 
𝑥
 → 
𝑑𝑧
𝑧
 = −
𝑑𝑥
𝑥
 → 𝑙𝑛 𝑧 = −ln 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶 → 𝑧 = 𝐶 
1
𝑥
 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (3) 
2° paso: proponemos: 𝑧 = 𝑢 (4), como solución de (2); 𝑧 = 𝑢 − 𝑢 
3° paso: reemplazamos (4)𝑒𝑛 (2) : − 𝑢 − 𝑢 − = ln 𝑥 
−𝑢
1
3𝑥
 = ln 𝑥 → 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 = −3𝑥 ln 𝑥 → 𝑑𝑢 = −3 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = −3
𝑥
2
ln 𝑥 −
1
2
+ 𝑐 
𝑧 = −3
𝑥
2
ln 𝑥 −
1
2
+ 𝑐 
1
𝑥
 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (2) 
𝑦 = −3
𝑥
2
ln 𝑥 −
1
2
+ 𝑐 
1
𝑥
 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (1) 
 
8. 𝑐) 3 𝑦 𝑦′ − 𝑎 𝑦 − 𝑥 − 1 = 0 ; (1) 
Es decir: 3 𝑦 𝑦′ − 𝑎 𝑦 = 𝑥 + 1 ; se hace evidente la sustitución 𝑧 = 𝑦 ; 𝑧′ = 3 𝑦 𝑦′ 
Entonces: 𝑧′ − 𝑎 𝑧 = 𝑥 + 1 ; (2) ; es una EDO lineal de 1er Orden, completa con 
incógnita: 𝑧(𝑥) 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es : 𝑧′ − 𝑎 𝑧 = 0 ; (3) 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑎 𝑧 → 
𝑑𝑧
𝑧
 = 𝑎 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛 𝑧 = 𝑎 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶 → 𝑧 = 𝐶 𝑒 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (3) 
2° paso: proponemos: 𝑧 = 𝑢 𝑒 (4), como solución de (2) ; 𝑧′ = 𝑢′ 𝑒 + 𝑎 𝑢 𝑒 
3° paso: reemplazamos (4) 𝑒𝑛 (2): 𝑢′ 𝑒 + 𝑎 𝑢 𝑒 − 𝑎 𝑢 𝑒 = 𝑥 + 1 
𝑢′ = (𝑥 + 1) 𝑒 → 𝑑𝑢 = (𝑥 + 1) 𝑒 𝑑𝑥 → 𝑢 = − 
𝑒 
𝑎
1
𝑎
 + 𝑥 + 1 + 𝐶 
𝑧 = − 
𝑒 
𝑎
1
𝑎
 + 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑒 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (2) 
 
𝑦 = − 
𝑒 
𝑎
1
𝑎
 + 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑒 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (1) 
𝑦 = − 
1 + 𝑎 𝑥 + 𝑎
𝑎
 + 𝐶 𝑒 
⁄
 
 
Calculo auxiliar: 
𝑤 𝑑𝑣 = 𝑤 𝑣 − 𝑣 𝑑𝑤 = (𝑥 + 1) 𝑒 𝑑𝑥 = − 
𝑒 
𝑎
 
1
𝑎
 + 𝑥 + 1 + 𝐶 
𝑤 = (𝑥 + 1) 𝑑𝑤 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑑𝑥 𝑣 = − 
𝑒 
𝑎
 
(𝑥 + 1) 𝑒 𝑑𝑥 = −
𝑒 
𝑎
 (𝑥 + 1) −
1
𝑎
 𝑒 𝑑𝑥 = −
𝑒 
𝑎
 (𝑥 + 1) −
1
𝑎
 𝑒 
 
 
 
 
8. 𝑑) 𝑦′ + 𝑦 𝑡𝑔 𝑥 = 
 
 ; 𝑦(0) = 1 , (1) 
Multiplicamos miembro a miembro por: 𝑦 
𝑦 𝑦′ + 𝑦 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
Reemplazamos: 𝑧 = 𝑦 => 𝑧′ = 2 𝑦 𝑦′ ; nos queda: 
 𝑧′ + 𝑧 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 , (2) ; es una EDO lineal de 1er Orden, completa con incógnita: 𝑧(𝑥) 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es : 𝑧′ + 𝑧 𝑡𝑔 𝑥 = 0 ; (3) 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= −2 𝑧 𝑡𝑔 𝑥 → 
𝑑𝑧
𝑧
 = −2 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛 𝑧 = 2 𝑙𝑛 (𝑐𝑜𝑠 𝑥) + 𝑙𝑛 𝐶 
𝑧 = 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
2° paso: proponemos: 𝑧 = 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (4), como solución de (2) ; 
𝑧′ = 𝑢′ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
3° paso: reemplazamos (4) 𝑒𝑛 (2): 
1
2
 (𝑢′ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 => 𝑢′ = 2 → 𝑢 = 2 𝑥 + 𝐶 
 
𝑧 = (2 𝑥 + 𝐶) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (2) 
 
𝑦 = (2 𝑥 + 𝐶) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (1) 
1 = (2 . 0 + 𝐶) 𝑐𝑜𝑠 0 => 𝐶 = 1 
 
𝑦 = (2 𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑦 = (2 𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ; 𝑆𝑃 𝑑𝑒 (1)