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1 6 EDO Homogeneas
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Ecuaciones Diferenciales Homogeneas 6. 𝑎) (𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑦 𝑦 − 𝑥 𝑦′ = 𝑦 𝑥 − 𝑦 En el segundo miembro observamos el cociente de dos funciones homogéneas del mismo grado, reemplazando por 𝑧 = => 𝑦 = 𝑧 𝑥 ; 𝑦′ = 𝑧′ 𝑥 + 𝑧 , nos queda: 𝑧′ 𝑥 + 𝑧 = 𝑧𝑥 𝑥 − 𝑧𝑥 𝑧′ 𝑥 + 𝑧 = 𝑧 1 − 𝑧 𝑧′ 𝑥 + 𝑧 = 𝑧 1 − 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑧 1 − 𝑧 → 1 − 𝑧 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 → 1 − 𝑧 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑧 − 1 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑦 − ln 𝑦 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐 − 𝑥 𝑦 − ln 𝑦 + ln 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 𝑥 𝑦 + ln 𝑦 = 𝐶 6. 𝑏) (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 = 2 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 𝑦 → 𝑦′ = 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 𝑦 En el segundo miembro observamos el cociente de dos funciones homogéneas del mismo grado, reemplazando por 𝑧 = => 𝑦 = 𝑧 𝑥 ; 𝑦′ = 𝑧′ 𝑥 + 𝑧 , nos queda: 𝑧′ 𝑥 + 𝑧 = 1 + 𝑧 2 𝑧 → 𝑧′ 𝑥 = 1 + 𝑧 2 𝑧 − 𝑧 → 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑥 = 1 − 𝑧 2 𝑧 2 𝑧 1 − 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 → 2 𝑧 1 − 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 => − 𝑙𝑛 (1 − 𝑧 ) = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶 (1 − 𝑧 ) = 𝐶 𝑥 → 1 − 𝑦 𝑥 = 𝐶 𝑥 → 𝑥 𝑥 − 𝑦 = 𝐶 6. 𝑐) 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑥 − 𝑥 𝑥 cos 𝑧 ( 𝑧′ 𝑥 + 𝑧) = 𝑧𝑥 cos 𝑧 − 𝑥 𝑧′ 𝑥 + 𝑧 = 𝑧𝑥 cos 𝑧 − 𝑥 𝑥 cos 𝑧 𝑧 𝑥 = 𝑧 cos 𝑧 − 1 cos 𝑧 − 𝑧 𝑧 𝑥 = 𝑧 cos 𝑧 − 1 − 𝑧 cos 𝑧 cos 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑥 = − 1 cos 𝑧 − cos 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑐 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐 6. 𝑑) 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 𝑧 𝑥 + 𝑧 = √𝑥 − 𝑧 𝑥 + 𝑧𝑥 𝑥 𝑧 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 √1 − 𝑧 + 𝑧𝑥 𝑥 𝑧 𝑥 = 1 − 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑥 = 1 − 𝑧 1 √1 − 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 𝐴𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑐 𝐴𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝑦 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐 6. 𝑒) 𝑥 𝑒 ⁄ + 𝑦 𝑒 ⁄ + 𝑥 − 𝑥 𝑒 ⁄ 𝑦′ = 0 ; 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑦(1) = 0 Despejando 𝑦′ ; nos queda: 𝑦′ = 𝑥 𝑒 ⁄ + 𝑦 𝑒 ⁄ + 𝑥 𝑥 𝑒 ⁄ La 𝑓(𝑥, 𝑦) del segundo miembro es un cociente de dos funciones homogéneas de grado 1, entonces reemplazando 𝑦 = 𝑧 𝑥 ; llegamos a: 𝑧′ 𝑥 + 𝑧 = 𝑒 + 𝑧 𝑒 + 1 𝑒 → 𝑧′ 𝑥 = 𝑒 + 𝑧 𝑒 + 1 𝑒 − 𝑧 → 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑒 + 1 𝑒 𝑒 𝑒 + 1 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 → 𝑒 𝑒 + 1 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 → 𝑙𝑛 ( 𝑒 + 1) = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶 𝑒 + 1 = 𝐶 𝑥 => 𝑒 ⁄ + 1 = 𝐶 𝑥 ; 𝑆𝐺 𝑒 ⁄ + 1 = 𝐶 . 1 → 𝐶 = 2 => 𝑒 ⁄ + 1 = 2 𝑥 ; 𝑆𝑃
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