1 7 EDO Lineal

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7 a) 
𝑦 + 2 𝑦 = 𝑒 (1) 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es 
𝑦 + 2 𝑦 = 0 (2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = −2𝑦 
𝑑𝑦
𝑦
= −2 𝑑𝑥 
ln 𝑦 = −2𝑥 + 𝑐 
𝑦 = 𝑐 𝑒 SG de (2) 
2° paso: proponemos 𝑦 = 𝑢 𝑒 (3), como solución de (1) y derivamos 
la expresión 
𝑦 = 𝑢 𝑒 − 2 𝑢 𝑒 
3° paso: reemplazamos (3) 𝑒𝑛 (1): 
𝑢 𝑒 − 2 𝑢 𝑒 + 2 𝑢 𝑒 = 𝑒 
𝑢 𝑒 = 𝑒 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 = 𝑒 
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒 + 𝑐 (4) 
4° paso: reemplazamos (4) 𝑒𝑛 (3): 
𝑦 = (𝑒 + 𝑐) 𝑒 
𝑦 = 𝑒 + 𝑐 𝑒 SG de (1) 
 
7 b) 
𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 
𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑥 
𝑦 + = 𝑥 (1) 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es 
𝑦 + = 0 (2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = −
𝑦
𝑥
 
𝑑𝑦
𝑦
= −
𝑑𝑥
𝑥
 
ln 𝑦 = − ln 𝑥 + 𝑐 
𝑦 = 𝑐 SG de (2) 
2° paso: proponemos 𝑦 = 𝑢 (3), como solución de (1) y derivamos la 
expresión 
𝑦 = 𝑢 
1
𝑥
+ 𝑢 −
1
𝑥
 
3° paso: reemplazamos (3) 𝑒𝑛 (1): 
𝑢 
1
𝑥
− 𝑢 
1
𝑥
+ 𝑢 
1
𝑥
= 𝑥 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = + 𝑐 (4) 
4° paso: reemplazamos (4) 𝑒𝑛 (3): 
𝑦 = + 𝑐 SG de (1) 
 
7 c) 
𝑥 𝑦 + (3𝑥 + 1)𝑦 = 𝑒 
𝑦 +
( )
𝑦 = (1) 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es 
𝑦 +
( )
𝑦 = 0 (2) 
𝑑𝑦
𝑦
 = −
(3𝑥 + 1)
𝑥
 𝑑𝑥 
𝑑𝑦
𝑦
= −
(3𝑥 + 1)
𝑥
 𝑑𝑥 
ln 𝑦 = −3𝑥 − ln 𝑥 + 𝑐 
𝑒 = 𝑒 
𝑦 = 𝑐 𝑒 𝑥 
𝑦 =
 
 SG de (2) 
2° paso: proponemos 𝑦 = 𝑢 (3), como solución de (1) y derivamos 
la expresión 
𝑦 = 𝑢 
𝑒
𝑥
+ 𝑢 
−3𝑒 𝑥 − 𝑒
𝑥
 
3° paso: reemplazamos (3) 𝑒𝑛 (1): 
𝑢 
𝑒
𝑥
+ 𝑢 
−3𝑒 𝑥 − 𝑒
𝑥
+ (3𝑥 + 1) 𝑢 
𝑒
𝑥
= 
𝑒
𝑥
 
𝑢 = 1 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 = 1 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 + 𝑐 (4) 
4° paso: reemplazamos (4) 𝑒𝑛 (3): 
𝑦 = (𝑥 + 𝑐 ) SG de (1) 
 
7 e) 
𝑦 − 𝑦 = −1 (1) 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es 
𝑦 − 𝑦 = 0 (2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 =
2
𝑥
𝑦 
𝑑𝑦
𝑦
= 2
𝑑𝑥
𝑥
 
ln 𝑦 = 2 ln 𝑥 + 𝑐 
𝑦 = 𝑐 𝑥 SG de (2) 
2° paso: proponemos 𝑦 = 𝑢 𝑥 (3), como solución de (1) y derivamos la 
expresión 
𝑦 = 𝑢 𝑥 + 2 𝑢 𝑥 
3° paso: reemplazamos (3) 𝑒𝑛 (1): 
𝑢 𝑥 + 2 𝑢 𝑥 −
2
𝑥
 𝑢 𝑥 = −1 
𝑢 = 
−1
𝑥
 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 = 
−1
𝑥
 
𝑑𝑢 = −
1
𝑥
 𝑑𝑥 
𝑢 = + 𝑐 (4) 
4° paso: reemplazamos (4) 𝑒𝑛 (3): 
𝑦 = (
1
𝑥
+ 𝑐) 𝑥 
𝑦 = 𝑥 + 𝑐 𝑥 SG de (1) 
−1 = 1 + 𝑐 
−2 = 𝑐 
𝑦 = 𝑥 − 2 𝑥 SP de (1) 
 
Ejercicio 7.f) 
Está en las resoluciones perfectamente desarrollado, pero vale una 
aclaración: 
7. 𝑓) 𝑦′ − 2 𝑥 𝑦 = 2 ; 𝑦(0) = 1 (1) 
 
Resolución: 
1° paso: la homogénea asociada es : 𝑦′ − 2 𝑥 𝑦 = 0 ; (2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 𝑥 𝑦 → 
𝑑𝑦
𝑦
 = 2 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶 → 𝑦 
= 𝐶 𝑒 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (2) 
2° paso: proponemos: 𝑦 = 𝑢 𝑒 (3), como solución de (1) ; 𝑦′ =
 𝑢′ 𝑒 + 2 𝑥 𝑢 𝑒 
3° paso: reemplazamos (3) 𝑒𝑛 (1): 𝑢′ 𝑒 + 2 𝑥 𝑢 𝑒 −
 2 𝑥 𝑢 𝑒 = 2 
𝑢′ = 2 𝑒 → 𝑑𝑢 = 2 𝑒 𝑑𝑥 → 𝑢 = 2 𝑒 𝑑𝑡 
No ponemos en evidencia la constante C, porque está representada por 
𝑎 , que es una constante también arbitraria. Consecuentemente podemos 
expresar la solución general, que es siempre una familia simplemente 
infinita de curvas. 
 
𝑦 = 2 𝑒 𝑒 𝑑𝑡 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (1) 
 
Si de alguna manera queremos, incluir la constante C, en la solución 
general que nos ayudaría a expresar cualquier solución particular; 
podemos escribir la solución general como: 
𝑦 = 𝑒 2 𝑒 𝑑𝑡 + 𝐶 ; 𝑆𝐺 𝑑𝑒 (1) 
 
 
Reemplazando 𝑎 , por un numero cualquiera, en este caso cero. 
Para la condición: 𝑦(0) = 1 , calculamos C: 
1 = 𝑒 2 𝑒 𝑑𝑡 + 𝐶 → 1 = 1 ( 2 . 0 + 𝐶) => 𝐶 = 1 
 
 
 𝑦 = 𝑒 2 𝑒 𝑑𝑡 + 1 ; 𝑆𝑃 𝑑𝑒 (1) 
No tiene sentido en este curso insistir con el tema, es una pérdida de 
tiempo, pero se puede determinar cada punto de la imagen a través de la 
resolución de la integral en forma numérica por algún método conocido 
(por ejemplo: de los trapecios o Simpson vistos en análisis 1). También 
aplicando la función error: 𝐸𝑟𝑓(𝑥) ; propuesta en los ejercicios del sitio de 
“apuntes de clase”, ya que es una función con valores tabulados. 
Se define la función especial 𝐸𝑟𝑓(𝑥) , llamada también función error: 
 
𝐸𝑟𝑓(𝑥) = 
2
√𝜋
 𝑒 𝑑𝑡 → 2 𝑒 𝑑𝑡 = √𝜋 𝐸𝑟𝑓(𝑥) 
 
Utilizando esta función, finalmente podemos expresar esta solución 
particular como: 
 
𝑦 = 𝑒 √𝜋 𝐸𝑟𝑓(𝑥) + 1 ; 𝑆𝑃 𝑑𝑒 (1) 
 
Grafica de la función 𝐸𝑟𝑓(𝑥)