Ejemplo ED Bernoulli

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Ing. F. Cavallaro 
 1 
 
Ecuación diferencial de Bernoulli 
 
 
Llamamos ecuación diferencial de Bernoulli a aquella ecuación diferencial no 
lineal de la forma: 
( ) ( ) ( )1 0'
na x y a x y f x y+ = 
Donde / 0 1n R n n    
 
Para su resolución la llevamos a la forma ( ) ( )' ny P x y Q x y+ = , dividiendo miembro a miembro 
por ( )1a x : 
( )1a x
( )1a x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0
1 1
 
'
 
 '
P x Q x
n
n
a x f x
y y y
a x a x
y P x y Q x y
+ =
 + =
 
 
Método de resolución: 
La ED de Bernoulli es una ED reducible a lineal, utilizando un cambio de variable. Para ello: 
 
1) Dividimos m.a.m. la ED por 
n
y : 
( ) ( )
'
n n
n
yy y
P x Q x
y y
+ =
n
y
( ) ( ) ( )1' 1n ny y y P x Q x− −+ =
 
 
2) Introducimos un cambio de variable dependiente que denominamos ( ) 1 ó nz z x y −= : 
( )
( ) ( ) ( )
1 ' , derivando : ' 1 ' '
1
'
Reemplazando en 1 : 
1
n n n zz y z n y y y y
n
z
zP x Q x ED Lineal
n
− −−= = −  =
−
+ = 
−
 
 
 
3) Resolvemos esta ED Lineal. 
 
4) En la SG de la ED Lineal reemplazamos z por 
1 n
y
−
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ing. F. Cavallaro 
 2 
Ejemplo: La ED 
3 1
2 'xy y x y
−
+ = es ED de Bernoulli con 1n = − 
 
Resolvemos: 
1) Dividimos m.a.m por 
1
xy
−
: 
2 x
x
3
11
1
'
x
y y
xyy
−−
+ =
2
x
1
y
−
1
y
−
( )2 2
1
2 ' 1yy y x
x
+ =
 
 
2) Hacemos el cambio de variable, en este caso 
2
z y= : 
Derivamos: ' 2 'z yy= 
Reemplazamos en ( )1 : 2
1
' z z x EDL
x
+ =  
 
 
3) Resolvemos ahora esta EDL por el método de variación de parámetros: 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
 
2 2
'
1
' 2
1
) Resuelvo la EDLH: ' 0
1 1
 ln ln ln 
) Cambio por : 3 derivo y reemplazo en 2 para obtener :
' ' 
 ' 
z
z z x
x
i z z
x
dz dz C
z dx z x C z
dx x z x x
v x
ii C v x z v x
x
v x x v x v x x v x
z
x x
+ =
+ =
= −  = −  = − +  =
=
− −
= 
 
( ) 2 1
 
z
v x
x
x x
x
+ =
( )
2
'v x
x
( )
2
v x
x
−
( )
2
v x
x
+ ( ) ( )
( )
4
2 3
3
 ' 
4
) Reemplazo en 3 : 
4
x
x v x x v x K
x K
iii z SG EDL
x
=  =  = +
= +
 
 
 
4) En la SG hallada cambiamos 
2
z y= , por lo tanto: 
 
3
2
 
4
x K
y
x
= + , SG de la ED Bernoulli