Final AMII 23_02_23

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UTN FRH – ANÁLISIS MATEMÁTICO II 
 
Final 23-02-23 
 
1 2 3 4 5 Nota 
a b a b a b a b a b 
✓ DEBE ESTAR EXPLICITADO: LA/S PROPIEDAD/ES, EL/LOS TEOREMA/S, LA/S 
FÓRMULA/S, TODA AQUELLA INFORMACIÓN QUE REFLEJE EL MARCO TEÓRICO QUE 
SE UTILIZADA EN LA RESOLUCIÓN. 
✓ LA RESOLUCIÓN DE CADA EJERCICIO VINCULADO A INTEGRALES, DEBE INCLUIR UN 
ESBOZO DE LA GRÁFICA SEGÚN CORRESPONDA. 
✓ LA RESOLUCIÓN DE LAS INTEGRALES PUEDE REALIZARSE CON ALGUNA APLICACIÓN. 
✓ LOS TRES ÍTEMS MENCIONADOS CONFORMAN PARTE DE LA CALIFICACIÓN. LA 
CONDICIÓN MÍNIMA DE APROBACIÓN DEL ESCRITO ES EL 50% DEL EXAMEN 
CORRECTAMENTE RESUELTO. APROBADO EL ESCRITO PASA A UN COLOQUIO EN EL 
CUAL SE HARÁN PREGUNTAS RELACIONADAS A LOS TEMAS DEL ESCRITO. 
1.- 
a.- Calcule el área de la porción de paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 entre los planos 𝑧 = 2 y 
𝑧 = 6. 
 
b.- Halle la masa del sólido 𝐶: 𝑥2 + 𝑧2 ≤ 4 , 𝑦 ≥ 𝑥2 , 𝑦 ≤ 2𝑥 , 𝑧 ≥ 0 si la densidad en cada 
punto es proporcional a la distancia al plano 𝑧 = 0. 
 
2.- 
a.- Exprese la ecuación diferencial de la familia de curvas: 𝑥 − 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝐵) = 0 
 
b.- Halle la solución particular de la ecuación diferencial 𝑦 𝑦´ + 𝑦2𝑡𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) que 
pasa por el punto (0; 2). 
3.- 
a.- Sea 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑦 +
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 para cualquier (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0), ¿en qué forma debe 
definirse 𝑓(0; 0) para que resulte 𝑓 continua en (0; 0)? 
 
b.- Si el número 50 se descompone en tres sumandos positivos 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , ¿Cuál es el valor 
de cada sumando mencionado que maximiza el producto 𝑥4𝑦10𝑧6? 
 
4.- 
a.- Determine, si existen, las constantes reales 𝑎 , 𝑏 y 𝑐 tales que la derivada de la función 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑥𝑦2 + 𝑏𝑦𝑧 + 𝑐𝑧2𝑥3 en (1; 2; −1) tenga un valor máximo de 64 en la 
dirección del semieje positivo de las 𝑧. 
 
b.- Halle las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie esférica centrada en el 
origen y de radio 3 y que resultan paralelos al plano 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 15 = 0 
5.- 
a.- Aplicando el Teorema de Stokes, calcule la circulación del vector expresado como 
𝐴 = (𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑧); 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑧) + 𝑥; 𝑠𝑒𝑛(𝑦)cos (𝑧)) a lo largo del arco 𝛾 definido 
por �⃗� = cos(𝑡) 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗̌ para 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
 
b.- Halle el flujo del campo �⃗⃗� = 3𝑥𝑖̌ − 𝑦𝑗̌ + 5𝑧�̌� a través de la esfera centrada en (0; 0; 5) 
y radio 5.