archivodiapositiva_202364213140

Vista previa del material en texto

FACTORIZACIÓN Y EXPONENTES
UNIDAD 2
FACTORIZACIÓN
TEMA 1 SUBTEMAS
Subtema 1: Productos notables
Subtema 2: Factorización.
MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN ADMISIÓN
OBJETIVO
Comprender Productos notables y Factorización con sus
aplicaciones mediante las resoluciones de ejercicios con
apoyo de las TIC.
PRODUCTOS NOTABLES
• Los productos notables son el producto (resultado de una
multiplicación) de expresiones algebraicas que por simple
inspección podemos determinar su desarrollo o resultado , esto
debido a que tienen características especiales que los distinguen
de otros productos.
• Un término algebraico está compuesto por uno o más símbolos
no separados entre si por un signo + o -.
Por ejemplo: 2x , 4ab2, -5mnp son términos algebraicos.
3
Un binomio es una expresión algebraica compuesta por dos
términos.
Por ejemplo:
6x-3y; x3y+3x, 5x3y2+3x3
• Los productos notables incluyen en su estructura
binomios.
• La identificación de un producto como notable nos
permite aplicar la regla correspondiente para su
resolución.
4
CUADRADO DE UN BINOMIO
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
“El cuadrado de un binomio a+b es igual al cuadrado del primer término más el doble del
producto de los términos más el cuadrado del segundo término” (Becerra J.,2013).
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
“El cuadrado de un binomio a−b es igual al cuadrado del primer término menos el doble 
del producto de los términos más el cuadrado del segundo término” (Becerra J.,2013).
Un binomio elevado al cuadrado tiene la siguiente estructura: 
6
(5𝑥2 + 6𝑦)2=
(5𝑥2)2 + 2 5𝑥2 ∗ 6𝑦 + (6𝑦)2
25𝑥4 + 60𝑥2𝑦 + 36𝑦2
Los Productos Notables son 
multiplicaciones que pueden 
escribirse directamente, sin hacer 
paso a paso la multiplicación.
Al resultado obtenido se le conoce como Trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo:
Producto de la Suma por diferencia de dos términos
Son aquellos que tienen los mismos elementos, pero uno de ellos tiene el signo 
contrario y el resultado es una diferencia de cuadrados.
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏  − 𝑎𝑏  − 𝑏2  = 𝑎2  − 𝑏2
Al resultado obtenido se le conoce como Diferencia de cuadrados.
8
3𝑏 + 8𝑎 3𝑏 − 8𝑎 =
(3𝑏)2 −(8𝑎)2
9𝑏2 − 64𝑎2
Su solución se obtiene a partir de la siguiente regla:
“El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del minuendo en la
diferencia menos el cuadrado del sustraendo”
Los Productos Notables son 
multiplicaciones que pueden 
escribirse directamente, sin hacer 
paso a paso la multiplicación.
Ejemplo:
Productos de dos binomios con un término común
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios cuyo término común es x de la
forma (x + a) por (x + b). Al desarrollarse el producto se tiene (Becerra J., 2013).
(x + a) (x + b) = 𝑥2  +  𝑏𝑥  +  𝑎𝑥  +  𝑎𝑏
Al agrupar se obtiene: (x + a) (x + b) = 𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥  +  𝑎𝑏
“El cuadrado del término común mas la suma de los términos no comunes por el término común
mas el producto de los términos no comunes”
“El cuadrado del término común mas la suma de los términos no 
comunes por el término común mas el producto de los términos no 
comunes”
𝑥 − 6 𝑥 + 8 =
𝑥2 + 2𝑥 − 48
Al resultado obtenido se le conoce como trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Los Productos Notables son 
multiplicaciones que pueden 
escribirse directamente, sin hacer 
paso a paso la multiplicación.Ejemplo:
Cubo de un Binomio
El cubo de un binomio es equivalente al cubo del primer término, más (o menos) el triple
producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer
término por el cuadrado del segundo término, más (o menos) el cubo del segundo término
(Ministerio de Educación, 2016).
Este tipo de binomio es de la forma:
𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦  +  3𝑥𝑦2 + 𝑦3
Por su parte, el desarrollo del cubo del binomio a -b, se obtiene de forma similar:
𝑥 − 𝑦 3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑦  +  3𝑥𝑦2 − 𝑦3
12
(2𝑚2 − 3𝑛2)3=
(2𝑚2)3−3[ 2𝑚2)2 ∗ 3𝑛2 + 3[ 2𝑚2) ∗ 3𝑛2 2 − (3𝑛2)3 =
= 8𝑚6 − 36𝑚4𝑛2 + 54𝑚2𝑛4 − 27𝑛6
Al resultado obtenido se le conoce como: Cuatrinomio cubo perfecto. 
Los Productos Notables son 
multiplicaciones que pueden 
escribirse directamente, sin hacer 
paso a paso la multiplicación.
Ejemplo:
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 − 𝑦 3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑦  + 3𝑥𝑦2 − 𝑦3
FACTORIZACIÓN
La factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de
una expresión algebraica en forma de producto.
Sirve para simplificar una expresión o reescribirla en términos más sencillos, que
reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números
primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
Por ejemplo:
• 15= (3)(5)
• 14ab= (2)(7)(a)(b)
• 5x + 5y= (5)(x + y)
14
FACTOR COMÚN
De manera general consiste en darnos cuenta de los elementos que se repiten
en cada uno de los términos que conforman el polinomio.
Al factor que aparece en todos los términos de una expresión se le llama
factor común.
Esta factorización la clasificamos en:
• Factor común monomio
• Factor común polinomio.
Factor común monomio 
Es el monomio que está dentro de todos los otros monomios que conforman el polinomio. Al
analizar los coeficientes se busca el máximo común divisor (MCD) y las variables comunes
elevadas a su menor exponente.
4ab + 10ac 
a(4b + 10c)
2a(2b + 5c)
El factor común es a, por lo tanto la 
expresión quedaría de la siguiente 
manera
Esta expresión anterior todavía se 
puede seguir factorizando al 
encontrar el MCD entre 4 y 10
Ejemplo:
16
FACTOR COMÚN POLINOMIO
Algunos polinomios no tienen un factor común a todos los términos; pero 
puede ocurrir que grupos de términos tengan cierto factor común.
Factoricemos
ax + 2a + bx + 2b
• Notemos que el polinomio no tiene un factor común a todos los
términos, pero se puede agrupar tomando en cuenta los términos que
tengan algún factor común.
• (ax + bx) + (2a + 2b), donde los dos primeros términos tienen a x como
factor común, y los dos últimos 2.
Se agrupa términos semejantes
(ax + bx) + (2a + 2b)
Factorizando cada grupo quedaría:
x(a + b) + 2(a + b).
(x + 2)(a + b)
(a + b) es un factor común
de todo el polinomio, por lo
que factorizándolo se tiene:
Ejemplo:
DIFERENCIA DE CUADRADO
Este tipo de factorización se aplica a dos expresiones que tengan raíz cuadrada
exacta y que tengan el signo negativo entre ellos. La regla es la siguiente:
Este proceso se descompone en un producto entre la suma y la diferencia de las
raíces cuadradas.
9a2 – 16b2
Primero obtener la raíz cuadrada de 9a2 = 3a
Segundo obtener la raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Se obtiene los binomios conjugados multiplicando la suma de 
estas raíces (3a +4b) por su diferencia (3a – 4b)
Finalmente:
9a2 – 16b2= (3a + 4b)(3a - 4b)
Ejemplo:
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se dice que es un trinomio cuadrado perfecto cuando:
El primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta, además, al
multiplicar con el 2 estas dos raíces nos dan el segundo término.
X2 + 14x + 49
La raíz cuadrada del primer término x2 = x
La raíz cuadrada del tercer término 49 = 7
Por lo tanto, x2 y 49 son cuadrados perfectos y ambos términos tienen signos
positivos.
El doble del producto de las raíces es (2)(7)(x)= 14x es el segundo término
Finalmente:
x2 + 14x + 49 es cuadrado perfecto
Ejemplo:
Trinomio de la forma x2 + bx +c
Al resultado del producto de dos binomios con un término
común se le conoce como:
Trinomio de la forma x2 + bx +c
Cuyo primer término es cuadrado perfecto, el segundo
término tiene un factor igual a la raíz cuadrada positiva del
primero y el tercer término es independiente de la letra del
primer término.
x2 + 5x + 6
1. Se debe obtener dos binomios cuyo primer término sea la
raíz cuadrada del primer término del trinomio
(x )(x )
2. Se debe encontrar los segundos términos, que deben ser 2
números cuyo producto debe ser igual a 6 (el término
independiente), y cuya suma sea 5 (el coeficiente de x)
Ejemplo:
3. El producto (+6) es positivo, lo que indica que ambostérminos
deben ser positivos o negativos, además la suma también es positiva
(+5), por lo que ambos deben ser positivos.
(x + ) (x + )
4. Los números buscados son 2 y 3, ya que el producto de estos da
6, y la suma de los mismos da 5.
Finalmente:
x2 + 5x + 6 = (x +2)(x + 3)
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Trinomios de este tipo provienen de multiplicar dos
binomios, donde los términos de un binomio son
semejantes a los términos del otro binomio.
3x2 + 11 x +6
Una forma de resolverlo es la siguiente:
Multiplicamos el primer termino con el ultimo término así:
3x2 + 11 x +6
Ejemplo:
18
Los factores deben ser dos binomios cuyo primer término sea 3x y los segundos
términos deben ser dos números cuyo producto sea 18 y cuya suma sea 11, divido para
el primer termino.
3𝑥 + 9 3𝑥 + 2
3
• Simplificamos la expresión de ser posible
• Obteniendo como resultado
3𝑥 + 9 3𝑥 + 2
3
3x2 + 11x + 6 = (x +3)(3x + 2)
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Los cubos perfectos, son productos notables que tienen la siguiente forma:
𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2+𝑏3= 𝑎 + 𝑏 3
𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2−𝑏3= 𝑎 − 𝑏 3
28
1. Siempre tendrán 4 términos.
2. El primero y el ultimo termino serán cubos perfectos.
3. El segundo termino será más o menos (refiriéndose al signo) al triple del primer término
al cuadrado multiplicado por el segundo término.
4. El tercer término será más 0 menos (refiriéndose al signo) al triple del segundo término
multiplicado por el cuadrado del segundo término.
29
27𝑎3 − 54𝑎2𝑏2 + 36𝑎𝑏4 − 8𝑏6 Siempre tendrán 4 términos.
Extraer la raíz cubica del 
primer y último término
El segundo termino será el triple del 
primer término al cuadrado 
multiplicado por el segundo término.
3𝑎2𝑏
3
27𝑎3 = 3𝑎
3
8𝑏6 = 2𝑎
3𝑎𝑏2 → 3 3𝑎 2𝑏2 2 = 36𝑎𝑏2
El tercer término será el triple del 
segundo término multiplicado por el 
cuadrado del segundo término. 
3𝑎𝑏2
3𝑎2𝑏 → 3 3𝑎 2 2𝑏2 = 54𝑎2𝑏2
3𝑎 − 2𝑏2 3
Suma y diferencia de cubos
• Se tiene una suma o diferencia de cubos cuando en un binomio
ambos términos tienen raíz cúbica racional.
• La suma de los cubos de 2 términos se factoriza como el
producto de dos factores, uno de los cuales es la suma de las
raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de los
cuadrados de las mismas raíces, disminuida en su producto.
• La diferencia de los cubos de dos términos se factoriza como el
producto de dos factores, uno de los cuales es la diferencia de
las raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de los
cuadrados de las mismas raíces, incrementada en su producto.
x3 + 27
Primer factor:(a+b)
(a+b) = x3 + 27 = (x + 3)
Segundo factor: 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎2 = 𝑥 2 = 𝑥2
𝑎𝑏 = 𝑥 3 = 3𝑥
𝑏2 = 3 2 = 9
𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑥2 − 3𝑥 + 9
Finalmente:
(x + 3)(x2 - 3x + 9)
Ejemplo:
𝑎 →
3
𝑥3 = 𝑥 𝑏 →
3
27 = 3
De la forma:
BIBLIOGRAFÍA
.
.
Arias Cabezas, J. (2017). Matemáticas, ESO 2. Madrid: Bruño.
Colera, J. (2017). Matemáticas, ESO 2. Madrid: Anaya.
Conamat (2015) Matemáticas simplificadas: Pearson
ESPOL ESPOL (2006) Fundamentos de Matemáticas:
Fernandez Bravo, J. (2002). Didactica de las Matematicas. Madrid: Ccs
Jiménez (2015). Matemáticas y vida cotidiana: Pearso
Mario F Triola. Estadística. Pearson Educación. Universidad de Monterrey
Decima edición
Salazar, C. (2018). fundamentos básicos de la estadística. Quito
.