la factorizacion - Martín Nuñez

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AUTORES:. ' , 
JORGE E. GUERR;~" 
JUAN J. PIZAR 
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MODULO 6 
LA. FACTORIZACION 
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para el Desarrollo del 
© 1978 
- Edici6n preparada por la Fundaci6n 
Instituto Universitario de Tecnologia del Estado de Trujillo. 
Valera. Venezuela 
- Impreso en Espana - Printed in Spain 
I.S.B.N.: 84-499-2393-X 
Dep6sito legal: M. 1295-1979 
- Imprime Novograph. S. A. 
Ctra. de .lrun, Km. 12,450. Mad rid-34. 
l. 
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INDICE 
pag. 
6.1. 
6.2. 
6.3. 
Signos de agrupaci6n 
Ley de los signos 
Productos notables 
. 
. 
. 
7 
7 
8 
6.4. Cocientes notables . 14 
6.5. Factores : . 19 
6.6. 
6.7. 
6.8. 
6.9. 
6.10. 
6.11. 
Descomposici6n factorial ...............................•........ 
Factorizar un polinomio cuyos terminos tienen un factor comun .. , 
Factorizaci6n por aqrupacion de terrninos . 
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto . 
Factorizar la diferencia de cuadrados perfectos . 
Factorizar una suma de dos cuadrados . 
19 
20 
20 
21 
22 
23 
6.12. 
6.13. 
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adlcion y sustraci6n 
Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c . 
24 
24 
6.14. Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ' . 25 
6.15. 
6.16. 
6.17. 
6.18. 
Factorizar cubo perfecto de binomios . 
Factorizar suma 0 diferencia de cubos perfectos . 
Factorizar suma 0 diferencia de dos potencias iguales . 
Descomponer un polinomio en facto res por el metoda de evaluaci6n . 
26 
26 
27 
28 
6.19. Fracci6n algebraica. Concepto y principios 
6.20. Signos y cam bios de signos en una fracci6n 
6.21. Reducci6n de fracciones 
6.22. Reducir una fracci6n a expresion entera 0 mixta 
6.23. Reducir una expresi6n mixta a fraccionaria 
6.24. Operaciones con fracciones 
6.25. Fracciones complejas 
APENDICE N.D1. Ejercicios complementarios 
A.	 Ejercicios de aplicaci6n 
B. Ejercicios de investigaci6n
 
APENDICE N,D 2. Auto-Evaluaci6n
 
29 . 
30 . 
30 . 
31. 
31. 
32 . 
35. 
37. 
61·.········ 
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' . 
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Divisi6n con fracciones algebraicas. 
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OBJETIVOS 
AI terminar de estudiar este modulo usted estara en condiciones de: 
1.	 Identificar los signos de aqrupacion. 
2.	 Aplicar las leyes de los signos. 
3.	 Desarroflar sin realizar operaciones, las potencias de binomios y pollnomlos, 
mediante el uso y aplicaclon de productos notables. 
4.	 Desarrollar sin realizar operaciones de division, el uso y apltcaclon de cocientes 
notables. 
5.	 Expresar un polinomio como producto de sus facto res. 
6.	 Identificar y hallar el valor nurnerlco de una fracclon algebraica. 
7.	 Encontrar la fraccion irreducible equivalente a una traccion algebraica. 
8.	 Resolver correctamente operaciones de Adlcion, Diferencia. Multiplicaci6n y 
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6.1. SIGNOS DE AGRUPACION 
Los signos de agrupaci6n 0 parentesls son de cuatro clases:
 
a) parentesls ordinario ( ),
 
b) parentesis angular 0 corchete [ I,
 
e) lIaves { },
 
d) vinculo 0 barra-.
 
Estos signos de agrupaci6n se emplean para indicar que las cantidades ence­
rradas en ellos deben considerarse como un todo, 0 sea. como una sola cantidad, 
EI parentesis anqular [ LIas naves { }, y el vinculo 0 barra-, tienen la misma 
significaci6n que el parentesis ordinario. Estos se usan para mayor ciandad en los 
casos en que una expresi6n que ya tiene uno 0 mas signos de agrupaci6n se incluye 
en otro signa de agrupaci6n. 
6.2. LEY DE LOS SIGNOS 
Para analizar la ley de los signos distinguiremos dos casos: 
a) SIGNO DEL PRODUCTO DE DOS FACTORES 
b) SIGNO DEL PRODUCTO DE MAS DE DOS FACTORES 
A) SIGNO DEL PRODUCTO DE DOS FACTORES 
En este caso la regia es la siguiente: 
«El producto de signos iguales da resultado positive, y el 
producto de signos diferentes da resultado neqativo.» 
EJEMPLOS 
a.1) (+ a) x (+ b) = + ab 
a.2) (- a) x (- b) = + ab 
a.3) (-a)x(+b) = -ab 
a.4) (+ a) x (- b) = - ab 
B) SIGNO DEL PRODUCTO DE MAS DE DOS FACTORES 
Distinguiremos dos casos: 
La regia para cada uno de e/los es la siguiente: 
b.1 «EI signo del producto de varlos facto res es positivo 
cuando tiene un nurnero par de factores negativos 0 
ninguno .» 
EJEMPLO 
(-a)x(-b)x(-c)x(-d) = abed 
Desarrollo 
Recordando que el producto de dos signos iguales es siempre positivo tenemos: 
(- a) x (- b) ab 
Y (-c)x(-d) cd 
Por tanto se demuestra que: 
(- a) x (- b) x (- c) x (- d) = abed 
b.2 <.EI signo del producto de varios factores es negativo 
euando tiene un nurnero impar de factores neqativos.» 
EJEMPLO 
(- a) x (- b) x (- c) - abc 
Desarrollo 
[(- a) x (- b)] x (- c)(- a) x (- b) x (- c) 
(+ ab) x (- c) 
- abc 
6.3. PRODUCTOS NOTABLES 
Se denominan «productos notables.. a ciertos productos que eumplen reglas
 
fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspecclon: es decir, sin verifi ­
car la multiplicacion
 
Los -productos notables» mas importantes son los siguientes:
 
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades.
 
. J . b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
 
c) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades. 
d) Cubo de un binomio. 
e) Produeto de dos binomios de la forma (x + a) (x + bj. 
1'","".,., j 
A) CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES 
.', :. . . Regia'I~~f+:"
,:.. ;< «EI cuadrado de la suma de dos eantidades es igual al cuadrado de la primera 
, <;." 
. '-'t~',. cantidad, mas el doble de la primera cantidad por la segunda, rnas el buadrado de la 
.~~,~,; segunda canttdad.» , 
~.:: , 
EJEMPLO
 
Desarrollar:
 
(a.! b)2 
Desarrollo 
Cuadrado del primero:
 
Doble del primero por el segundo:
 
Cuadrado del segundo:
 
Luego:
 
Demostraci6n: 
a2 
2a x b = 2ab 
b2 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
Verifiquemos si la regia aplicada anteriormente se cumple al realizar la opera­
cion de mUltiplicacion. ' 
Desarrollo 
Elevar al cuadrado (a + b) equivale multiplicar este binomio por 51 mismo, par 
tanto: (a + b)2 = 
o sea: (a + b)2 = 
(a + b) x (a + b) luego, efectuando este producto: 
a + b
 
a + b
 
a- + ab 
+ ab + b2 
a2 + 2ab + b2
 
fi! + 2ab + b2,
 
I 
r::R:'DE ~ DIFERENCIA DE DOS CA~IDADES 
Regia: 
"EI cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la 
primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda mas el 
cuadrado de la segunda cantidad.» 
EJEMPLO 
Desarrollar: (a - b)2. 
(a - b)2 a2 - 2ab + b2 
Demostracion 
Verifiquemos si la regia aplicada anteriormente se cumple al realizar la opera­
cion de rnultiplicacion. 
Demo.stracion 
Elevaral cuadrado (a - b) equivale a multiplicareste binomio por sf mismoy, por 
tanto, tenemos: 
(a - b)2 = (a - b) (a - b) 
Efectuando este producto tenemos: 
a - b 
a - b 
a2 - ab 
ab + b2 
a2 - 2ab + b2 
o sea: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, con 10 que queda demostrado. 
"' 
C) PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES 
Regia: 
«La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado 
del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.» 
EJEMPLO 
Desallorar: (a + b) x (a - b) 
(a + b) x (a - b) a2 - b2 .~ 
·V¥Vtl§trNFi-#&L~",':¥l"~'T?'~"":"~t;".""".. ~' .: 
Demostracl6n 
Verifiquemos si la regia aplicada anteriormente se cumple al realizar la opera­
ci6n de multlpllcacion. 
Desarrollo 
Sea el producto: (a + b) x (a - b) 
es decir: 
'" • 
(a + b) (a - b) a2 - b2
 
Con 10 que queda demostrado.
 
D) CUBO DE UN BINOMIO 
Distinguiremos dos casos: 
d.1) (a+b)3 
d.2) (a - b)3 
D.1 CUBO DE UN BINOMIO DE LA FORMA (a + b)3 
Regia: 
«EI cubo de la suma de dos cantidades es igual al cuba de la primera cantidad, 
mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda, mas el triple de la primera 
cantid ad por el cuadrado de la segunda, mas el cuba de la segunda cantidad», as 
decir: 
(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
EJEMPLO 
Desarrollar: (a + b)3Desarrollo 
(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
, ,',f, 
a2 - 2ab + b2 
a - b 
Donde: 
(x + a)x (x + b) 
a3 ­ 2a2b + ab2 
- a2b + 2ab2 ­ b3 
a3 - 3a2b + 3ab2 ­ b3 
Tendremos: (a - b)3 = (a - b) x (a - b) x (a - b) 
(a - b)2 x (a - b) 
(a2 - 2ab + b2) x (a - b) 
Con 10 que queda dernostrado. 
(a .: b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 ­ b3 
1, EI prlmer termlno del producto es el producto de los primeros terrnmos de 
los binornlos. 
2, EI coeficiente del segundo terrnino del producto es la su ma algebraica de 
los segundos terrnlnos de los binomios yen este terrnino la variable x esta 
elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el 
primer termlno del producto. 
3, EI tercer termino del producto es el producto de los segundos terminos 
de los binornlos. 
DesarroHo 
Elevemos (a - b) al cubo. 
EJEMPLO 
o sea: 
Desarrollar: (x + a) x (x + b) 
Desarrollo 
E) PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (X + a) (x + b) 
Cuando tenemos este tipo de productos notables se cumplen las siguientes 
reg las: 
, Verifiquemos si la regia aplicada anteriormente se cumple al realizar la opera­
"EI cuba de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera 
cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda mas el 
triple de la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la 
Verifiquemos si la regia aplicada anteriormente se cumple al reillizar la opera­
"d,'ti!ij,!'l4&NJ'lil>''f~C';~",,;''r:'',,",Y:r<'''''''''':'~':'r~'}~';'/',l.;·t~:' i,') '{, ' '.' , 
Demostracl6n 
ci6n de multiplicaci6n, 
Desarrollo 
Elevemos (a + b) al cubo. 
Tendremos: (a + b)3 = (a + b) x (a + b) x (a + b) 
(a + b)2 x (a + b) 
(a2 + 2ab + b2) x (a + b) 
donde: 
a2 + 2ab + b2 
a + b 
a3 + 2a2b + ab2 
+ a2b + 2ab2 + b3 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
o sea: 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
Con 10 que queda dernostrado. 
D.2 CUBO DE UN BINOMIO DE LA FORMA (a - b)3 
Regia: 
3segunda cantldad.» Es decir: (a - b)3 = a - 3a2b + 3ab2 + b3. 
EJEMPLO 
Desarrollar: (a - b)3 
Desarrollo 
a3 b3,(a - b)3 - 3a2b + 3ab2 ­
Demostraci6n 
ci9;t' o~ multiplicaci6n. 
1 9 , 
.:~r''f,;~r;._·if~;'''iJ''~Y_ .~">. ?"l';..,....:~<, ~. , \1c'P:';IW"~'~f~~!5~!'~~Zi\2~~~i"~;r~~3:"7" i"" :<~"\·':"'~:i. 
\
 
Demostraclo" 
Verifiquemos si las reg las aplicadas anteriormente se cumplen al realizar la 
operaci6n de multipticaci6n. 
~ 
/ 
J
Desarrollo 
Multipliquemos (x + a) (x + b) 
x + a 
x + b 
x2 + ax 
+ bx + ab 
x2 + (a + b) x + ab 
"'- /' 
o sea: 
(x + a) (x + b) x2 + (a + b) x + ab 
Con	 10 que se dernuestra, 
6.4. COCIENTES NOTABLES 
Se lIaman «cocientes notables» a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y 
que pueden ser escritos por simple inspecci6n. 
Los «coclentes notables» mas importantes son los siguientes: 
a)	 Cociente de la diferencia de-los cuadrados de dos cantidades entre la suma 
o la diferencia de las cantidades. 
b)	 Cociente de la suma 0 diferencia de los cubos de dos cantidades entre la 
suma 0 diferencia de las cantidades. 
c)	 Cocientes de la suma 0 diferencia de potencias iguales de dos cantidades 
entre la suma 0 diferencia de las cantidades, 
A)	 COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES 
ENTRE LA SUMA 0 LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES 
Regia: 
1.	 «La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divi ­
dida por la surna de las cantidades es igual a la diferencia 
de las cantidades.» 
\ EJEMPLO 
\ Sea el cociente:
 
\
 
\ 
\	 a2 - b2 
\
 a+b
 
desarrollo	 .-f ( 
I 
a2 - b2 --- a-b 
a+b 
Demostracio" 
Para demostrar este cociente notable emplearemos el producto notable, 6.3.c). 
Desarrollo 
a2 - b2 (a + b) (a - b) (por 6.3.c)) 
Luego: 
a2 - b2 (a + b) (a - b) 
a+b (a + b) 
simplificando por (a + b)
 
tenemos:
 
a2 - b2 --- a-b 
a+b
 
Cor:'! 10 que queda demostrado.
 
2. «La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divi ­
dida por fa diferencia de las cantidades es iguat a la suma 
de las cantidades.» 
EJEMPLO 
Sea el cociente: 
a2 - b2 
a - b 
Desarrollo 
a2 - b2 a +b
a-b 
bi"fl;t;@ii~h\"i.:c~;"':;'";;d;;i".,,:,,•. 
mailto:bi"fl;t;@ii~h\"i.:c~;"':;'";;d;;i".,,:,,�
Demostracl6n 
Para demostrar esta regia emplearemos el producto notable 6.3.c). 
Desarrollo 
a2 - b2 (a + b) (a - b) (por 6.3.c» 
Luego: 
a2 - b2 (a + b) (a - b) 
a-b a-b 
simplificando por (a - b) 
tenemos: 
a2	 b2- a+b 
a - b 
Con 10 que queda demostrado. 
B) COCIENTE DE LA SUMAO DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES 
. ENTRE LA SUMA 0 DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES 
Regia: 
«La suma de los cubes de dos cantidades dividida por lab.1 
suma de las cantidades es igual al euadrado de la pri ­
mera cantidad, menos el producto de la primera por la 
segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.» 
EJEMPLO 
Sea el cociente: 
a3 + b3 ( 
a+b 
Desarrollo 
a3 + b 3 a2 - ab + b2 
a+b 
Demostraci6n 
Para demostrar esta regia 10 haremos a traves de la oparacton de division. 
Sea el cociente:
 
a3 + b3
 
a+b
 
Efectuando la division tenemos:
 
a3 + 0 + 0 + b3
 Ia+ b 
-r-:- a3 - a2b a2 ab + b2 "'­
- a2b 
+ a2b + ab2 
c":'-' 
)~ 
+ ab2 + b 3 
- ab? - b3 
o 
o sea, se demuestra que: 
a3 + b3 
= a2 - ab + b3 
a+b 
b.2	 «La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida 
por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado 
de la primera cantidad, rnasel producto de la primera por 
la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad.» 
EJEMPLO 
Sea el cociente: 
a3 - b3 
a-I) 
Desarrollo 
a3 -	 b3 
a2 + ab + b2 
a-b 
Demostraci6n 
Para verificar si esta regia se cumple efectuaremos la operacion de division. 
Desarrollo 
Sea el cociente: 
Desarrollo 
"",',,:;,.,-, . 
, "':,'Pit'!Mii,i;W'l.aM' ;;r;"''''~'''''a,j:"/ .rr : ',',/" ,.,' -, "'"c, 
f','» 
a4 + b4 = no es exacta la divisi6n Efectuando la divisi6n tenemos:	 b) a -	 b 
a3 - b3 Ia - b De los resultados anteriores es posible obtener las siguientes conclusiones: 
_ a3 + a2b a2 + ab + b2 1. an - b n es siempre divisible por a - b, siendo n cualquier nurnero entero 
ya sea par 0 impar. 
a2b 2.	 an - b" es divisible por a + b, siendo nun nurnero entero par. 
- a2b + ab2 
3. an + b" es divisible por a + b, siendo n un numero entero impar. 
ab2 - b3 4. an + b n nunca es divisible por a + b ni por a - b, siendo n un nurnero 
- ab2 + b3 entero par. 
o	 Por tanto los resultados 1., 2. Y3., que pueden ser comprobados (TEOREMA DEL 
RESIDUO) cada uno de ellos en otros casos del mismo tipo, nos permite establecer 
o sea, se demuestra que: inductivamente las siguientes leyes: 
a3 - b3 a2 + ab + b2 LEYES QUE RIGEN ESTOS COCIENTES 
a-b 
1.	 EI cociente tiene tantos termlnos como unidades tiene el exponente de 
las letras en el dividendo. 
C)	 COCIENTE DE LA SUMA 0 DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS 
2.	 EI primer termino del cociente se obtiene dividiendo el prtmer terrnlno del CANTIDADES ENTRE LA SUMA 0 DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES. 
dividendo entre el primer terrnlno del divisor y el exponente de a dismi­
nuye 1 en cada termino. Para enumerar Y enunciar las leyes que rigen estos cocientes primero veremos
 
algunos casos practicos y en base a el\os determinaremos las reg las. 3. EI exponente de b en el segundo tarmlno del cociente es 1, Yeste expo­
nente aumenta 1 en cada termino posterior a este.
 1.	 Sean los cocientes: 
4. Cuando el divisor es a - b todos los signos del cociente son positivos (+)
4 4 a - b = a3 + a2b + ab2 + b3	 Ycuando el divisor es a + bios signos son alternativamente positivos (+)a) a -	 Q Y negativos (-). 
a5 - b5 a4 + a-b + a2b2 + ab? + b4 b) 
a -	 b 6.5. FACTORES 
Se lIaman factores 0 divisores de una expresi6n algebraica a las expresiones 
2.	 Sea el cociente: algebraicas que multiplicadas entre Sl dan como producto la primera expresi6n. 
a4 - b4 a3 - a2b + ab2 - b3 ---.-- ­ EJEMPLOa+b 
(a + b) (a - b) a2 - b 2 
3.	 Sea el cociente: 
Luego: 
a5 + b5 a4 _ a3b + a2b2 - ab' + b4	 b2.(a + b) Y (a - b) son factores 0 divisores de a2 ­a + b 
6.6 DESCOMPOSICION FACTORIAL 
4,	 Sean los cocientes:Descomponer en factores 0 factorizar una expresi6n algebraica as conve 
a4 + b4 = no es exacta la divisi6n	 en el producto indicado de sus tactores. ' , . a) 
a+b 
'''''.. :",;ta. 
;':";:'~J.<,,'f"~ ~ W,;~i~, 
EJEMPLO 
Factorizar: a2 - b2 
Desarrollo 
a2 - b2 (a + b) (a - b) 
6.7.	 FACTORIZAR UN POLINOMIO CUYOS TERMINOS TIENEN
 
UN FACTOR COMUN
 
Distinguiremos dos casas:
 
a) Factor cornun monomio.
 
b) Factor cornun polinomio.
 
A) FACTOR COMUN MONOMIO 
Sea el polinomio a2 + ab, entonces, debemos encontrar el factor cornun.
 
EI factor cornun es a porque esta en los dos terrninos de la expresi6n dada.
 
Luego:
 
a2 + ab a(a + b) 
B) FACTOR COMUN POLINOMIO 
Sea el polinomio n(a + b) + m(a + b); entonces, debemos encontrar el factor 
cornun: los dos terrninos de esta expresi6n tienen de factor cornun el bino­
mio(a + b). 
Luego: 
n(a + b) + m(a + b) (n + m) (a + b) 
6.8.	 FACTORIZACION POR AGRUPACION DE TERMINOS 
Sea el polinomio P(x) = ax + b + a + bx. 
Como no todos los terrninos del polinomio P(x) tienen un factor cornun, enton­
ces procedemos de la siguiente manera: 
"a) Conmutamos y asociamos los terrnmos que tienen factor cornun: 
ax + b + a + bx = (ax + a) + (bx + b)
 
b) Sacamos factor comun en cada binomio:
 
(ax + a) + (bx + b) a(x + 1) + b(x + 1)
 
fIi4"}~:;,;:L";l.. 
0) Factorizamoslos binomios: 
a(x + 1) + b(x + 1) (a+b)(x+1) 
luego: 
ax + b + a + bx = (a + b) (x + 1) 
La agrupaci6n puede hacerse generalmente de varias formas cuidando que los 
dos terminos que se agrupan tengan alqun factor cornun, y siempre que las canti ­
dades que quedan dentro de los parentests despues de sacar el factor comunen 
cada grupo, sean exactamente iguales. 
Si esto no es posible lograrlo, la expresi6n dada no se puede descomponer por
este rnetodo. 
6.9.	 FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
Un trinomio es cuadrado perfecto,' cuando en el trinomio ordenado con 
relaci6n a una letra se tiene, que el primero y tercero de los terminos son 
cuadrados perfectos (0 tienen raiz cuadraoa exacta) y positivos, y el segundo 
terrnino es el doble oroducto de sus raices cuadradas. 
2
Asl: a - 4ab + 4b 2 es cuadrado perfecto porque: 
;;;- --------------jr·a 
Jibi	 ;>2b 
Doble producto de estas raices: 
2 x a x 2b = 4ab, segundo terrnino. 
Conocido 10que es un trinomio cuadrado perfecto veamos cual es la regia para 
factorizarlo.	 . 
uSe extrae la raiz cuadrada al primer y tercer termino del 
trinomio y se separan estas raices por el signa del segundo 
termtno. EI binomio asl formado que es la raiz cuadrada del 
trinomio, se multlplica por sf mismo, 0 sea, se eleva al cua­
dradn» 
ASi, factorizar: m2 + 2m + 1, 
Tenemos: CY, , 
! J-.,,) 
---:J-;~J;2~ 
, r­
;)"1" 
JI	 ) .1 
Signo del segundo terrnlno: positlvo. 
~ 
;~'" o.,N 
.~"'~ 
Por tanto: 
m2 + 2m + 1 (m + 1)2 
CASO ESPECIAL 
Descomponer: a2 + 2a(a - b) + (a - b)2 
La reg la anterior puede aplicarse a casos en que el primero 0 tercer termino del 
trinomio 0 ambos son expresiones cornpuestas. 
Asi, en este caso tenemos: 
a2 + 2a(a - b) + (a - b)2 
.r: -------­ )~ a 
j(;- b)2 ____________>~ a - b 
Por tanto: 
a2 + 2a(a - b) + (a - b)2 [a + (a - b)]2 
(2a - b)2 
6.10.	 FACTORIZAR LA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 
La regia para factorizar una diferencia de cuadrado perfectos es la siguiente: 
«Se extrae la ralz cuadrada al minuendo y al sustraendo y 
se multiplica la suma de estas raices cuadradas por ta diferen­
cia entre las rnisrnas.» 
EJEMPLO 
Factorizar: a2 - b2
 
La raiz cuadrada de a2 es a.
 
La raiz cuadrada de b2 es b.
 
Multiplicamos la suma de estas raices (a + b), por la diferencia entre la ralz del
 
minuendo y sustraendo (a - b) Y tendremos: 
a2 - b2 = (a + b) (a - b) 
CASO ESPECIAL 
La regia enunciada anteriormente es aplicable a las diferencias de cuadrados en 
que uno 0 ambos cuacraoos son expresiones compuestas. 
EJEMPLO 
Factorizar: (a + b)2 - c2
 
Luego:
 
La raiz cuadrada de (a + b)2 es (a + b).
 
La ralz cuadrada de c2 es c.
 
Por tanto, multiplicamos la suma de estas raices (a + b) + c por la diferencia 
(a + b) - c obteniendoss: 
(a + b)2 - c2 [(a + b) + c] . [(a + b) - c] 
(a + b + c) (a + b - c) 
6.11. FACTORIZAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS 
Una suma de dos cuadrados generalmente no tiene descomposici6n en facto res 
racionales (factores en que no haya ralz): sin embargo, hay sumas de cuadrados 
que, sumandoles y restandolas una misma cantidad, se pueden transformar en un 
trinomio cuadrado perfecto. 
EJEMPLO 
Transformar: a4 + 41:>4 en un trinomio cuadrado perfecto. 
Desarrollo 
La ralz cuadrada de a4 es a2. 
La ralz cuadrada de 4b4 es 2b2. 
Para que esta expresi6n sea un trinomio cuadrado perfecto hace talta que su
 
segundo terrnlno sea 2 x a2 x 2b2 = 4a2b2; entonces a ta expresion a4 + 4b4 Ie
 
sumamos y restamos 4a2b2y tenemos:
 
a4 + 4b4 
+4a2b2 - 4a2b2 
a4 + 4a2b2 + 4b4 - 4a2b2
 
Pero:
 
a4 + 4a2b2 + 4b4 (a2 + 2b 2)2
 
Luego:
 
4
 
4a2b2a	 + 4a2b2 + 4b4 - (a2+2b2)2 (2ab)2-v­
(a2 + 2b2 + 2ab) (a2.+ 2b 2 - 2ab)
 
Ordenando tenemos:
 
a- + 4a2b2 + 4b4 _ 4a2b2
 (a2 + 2ab + 2b2) (a2 - 2ab +~2) . 
i'· 'r'~ ,
rMi!t~~~"""ll:">7"'" ,}~;j!~;:'i;'t";' ""'/"r"tv ,,_' 
6.12. FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION 
DesarrolloY SUSTRACION 
1. EI trtnornio se descompone en dos binomios cuyo primer terrnlno es la ralz 
Factorizar: x4 + X2y2 + y4. cuadrada de x2, 0 sea X. 
La raiz cuadradade x4es x2; la raiz cuadrada de y4 es y2,y el doble producto de 
esas raices es 2 x x2 X y2; luego este trinomio no es cuadrado perfecto porque su x
2 + 5x +6 = (x ) (x 
segundo termino es x2y2 y deberia ser 2x2y2 para que fuera cuadrado perfecto. 
2.	 En el primer binomio despuss de x se pone el signa + porque el segundo 
Para que X2y2 se convierta en 2X2y2 Ie sumamos x2y2, y para que el trinomio no termino del trinomio + 5x tiene signa +. En el segundo binomio, despues de 
varie Ie restamos X2y2; y tendremos: x, se escribe el signo Que resulta de multiplicar el signo de + 5x y de 
+ 6x y se tiene que + por + da +.
 
x4 + X2y2 + y4
 
+ X2y2 _ X2y2	 o sea: 
x4 + 2X2y2 + y4 _ x2y2 = (x4 + 2x2y2 + y4) _ x2y2	 x2+ 5x + 6 = (x + )(x + 
(Factorizando el trinomio cuadrado perfecto) = (x2 + y2j2 - x2y2 Ahora como en estos binomios tenemos signos igua/es buscamos dos numeros
 
(Factorizando la diterencla de cuadrados = (x2 + y2 + XV) (x2 + y2 - XV) CUy8 suma sea 5 y cuyo producto 6. Esos nurneros son 2 y 3, luego:
 
(Ordenando) = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) tf-­
\ f\.	 \) ,
,~<{.	 x
2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) 
l- \	 v .{
..r ..... 
r ! 
.\J) 
6.13. FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + bx + c	 6.14. FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax2 + bx + c --_.-~ 
Para factorizar trinomios de esta forma seguiremos la siguiente regia: Este tipo de trinomios difiere de los de la forma: x2 + bx + c: porque el coefi­
ciente a del terrnlno cuadratico es diferente de 1.
 
Regia: EI procedimiento a seguir en la tactorizaclon de los trinomios de la for­
2 ma ax + bx + c consiste en transformarlas a trinomios equivalentes de la forma
2 x + bx + c estudiada en el punto 6.13. /Iustraremos este caso con el siguiente 1.	 Descomponemos e1 trinomio en dos facto res binomios cuyo primer ter­
ejemplo:mine sea x, 0 sea la raiz cuadrada del primer termlno del trinomio. 
2.	 En el primer factor, despues de x se escribe el signa del segundo terrnlno 
EJEMPLOdel trinomio, yen el segundo factor, despues de x se escribe el signo que 
resulta de multiplicar el signa del segundo terrnlno del trinomio por el
 
Factorizar el trinomio. 6x2 - 7x - 3.
signa del tercer terrnlno del trinomio. 
3.	 Si los dos facto res binomios tienen en el medio signos iguales se buscan 
Soluci6ndos nurneros cuya suma sea el valor absoluto del tercerterrnino del
 
trinomio. Estos nurneros son los segundos terrnlnos del binomio. 
,~-
.a) Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 6 y delanco 
4.	 Si los dos facto res binomios tienen en el medio signos distintos se buscan indicadoel producto de 6 por 7x se tiene:
 
dos nurneros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo terrnino ".',
 
del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer terrntno del 6 X 6x2 - 6 x i« - 6 x 3
 .... 
trinormo. EI mayor de estos nurneros es el segundo terrnino del primer (is>\)2 ~ 7 x (6~) - 18
 
binomio y el menor, el segundo terrnino del segundo binomio.
 
b) Descomponiendo este trinomio sequn se via en el caso anterior, el primer 
termino de cada factor sera la ralz cuadrada de (6X)2; o ,sea, 6 x (6x -: ) (6x + J 
dos numeros cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18 son 9 y 2.
EJEMPLO 
Tendremos: 
Factorizar: x2 + 5x + 6. 
(6x - 9) (6x + 2)
~ '\ 
•"tlf{,i11~";_:';~'..'_,L. " 
s­
..... _,."",...,... ~ 
, 
Como al principio multiplicamos el tr.",io," dad,0 par 6, ahora tenemos que 
dividir por 6 para no alterar el trinomio y , . remos: 
(6x - 9) (6x + ;~[ . 
6 .". 
o 10 que es 10 mismo: 
3(2x - 3) [2(3x + 1)] 
2'x3 
Simplificando por 2 y por 3 tenemos: 
6x2 - 7x - 3 = (2x - 3) (3x + 1) 
6.15. FACTORIZAR CUBO PERFECTO DE BINOMIOS 
Primeramente veremos que es el cubo de un binomio. EI cubo de un binomio es 
toda expresi6n algebraica que cumple las siguientes condiciones: 
a)	 Tener cuatro terrninos. 
b)	 Que el primero y ultimo termlnos sean cubos perfectos. 
c)	 Que el segundo terrnino sea mas 0 menos el triple del cuadrado de la raiz 
cubica del primer terrnino multiplicado por la raiz cublca del ultimo terrnino. 
d)	 Que el tercer terrnino sea mas el triplo de la raiz cublca del primer terrnino 
por el cuadrado de la raiz cublca del ultimo. 
Si todos los terrninos de la expresi6n son positivos, la expresi6n dada es el cubo " 
de la suma de las raices cubicas de su primero y ultimo terrnino y si los terrntnos son 
alternativamente positives y negativos, laexpresi6n dada es el cubo de la diferencia 
de dichas raices: 
Por tanto si nos piden factorizar esta expreslonx t + 12a + 48a2 + 64a3. Apli ­
cando el procedimiento anterior vemos que esta expresi6n es el cubo de (1 + 4a); 
luego: 
1 + 12a + 48a2 + 64a3 = (1 + 4a)3 
6.16. FACTORIZAR SUMA 0 DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS 
Para factorizarJos seguiremos las siguientes reglas: 
Regia 1: 
La suma de dos cubes perfectos se descompone en dos tacto res: 
1.	 La suma de sus raices cublcas. 
2.	 EI cuadrado de la primera ralz, menos el producto de las 
dos rarces, mas el cuadrado de la segunda ralz, 
'..z 
,Regia 2: ,
 
La diferencia de dos cubos perf~s se descompone en dos facto res:
 
1. La diferenciap sus raices cubicas. 
2. EI cuadrado de la primera raiz, mas el producto de las dos 
raices, mas el cuadrado de la segunda raiz. 
EJEMPLO (Aplicando RegIa 1) 
Factorizar: x3 + y3. 
(x 3 + y3) = (vX3 + VY3) [(VX3 )2 - ifX3 W + (W)2] 
..,-/ <;.' -r-­
= (x + y) (x2 - xy + y2) 
EJEMPLO (Aplicando Regia 2) " 
Factorizar: x3 - y3 
(x3	 - yJ) = (tJX3 - VyJ) Ht!X3)2 + ifX3 VyJ + (W)2] 
=	 (x - y) (x2 + xy + y2) 
6.17.	 FACTORIZAR SUMA 0 DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES 
En el punta 6A.c., se estableci6 que: 
1.	 an - b" es divisible por a - b siendo n par 0 impar. 
2.	 an + b n es divisiblE! por a + b cuando n es par. 
3.	 an - b" es divisible por a + b cuando n es par. 
4.	 an + b" nunca es divisible por a-b. 
Por tanto, para factorizar la suma 0 diferencia de dos potencias iguales bastara 
multiplicar el cociente por eJ divisor, siendo el cociente y divisor determinado por 10 
que nos indica el punto 6A.c. 
EJEMPLO 
Factorizar: a5 + b5• 
Soluci6n 
Aplicando las leyes del punta 6A.c., tenemos: 
a5 + b5 4 + b2a2 b3a + b4=	 a - ba3 ­
a+b 
~~6, 
_~~~.~d''<\'·''?·~r,;''!'''',;-'," 1',:i':~Y;"'~1~~F 
Por tanto:
 
a5 + b5 (a + b) (a4 - aJb + a2b2 - abJ + b4)
 
6.18.	 DESCOMPONER UN POLINOMIO EN FACTORES POR 
EL METODO DE EVALUACION 
En la divisibilidad por (x - a) (COROLARIO DE TEOREMA ~EL RESIDUO) se-;1'") 
demuestra que si un polinomio entero y racional en x se anura para x = a, el >.(, 
polinomio es divisiblepor x-a. Por tanto, es posible aplicar este principioa la 
descomposici6n de un polinomio en facto res por el metoda de Evaluaci6n. 
EJEMPLO 
". 
Descomponer el siguiente polinomio: 
P(x) = xJ - 3x 2 - 4x + 12 
Los valores que daremos a x son los facto res que dividen Ell terrnlno indepen­
diente 12 que son ± (1,2,3,4,6,12). Veamossi el polinomio se anula para x = ± 1, 
x = ± 2, x = ± 3, x = ± 4, x = ± 6, x = ± 12. 
CALCULOS 
COEFICIENTES DEL POLINOMIO: - 3 - 4 12 
1 - 2 - 6 
x = 1 ·-2 -6 +6 
EI residuo es 6, luego el polinomio no es divisible por (x - 1). 
- 3 - 4 12 
- 1 - 1 4 0 
x = - 1	 -4 o 12 
EI residuo es 12, luego el polinomio no es divisible por (x + 1). 
COEFICIENTES DE POLINOMIO: - 3 - 4 12
 
2 2 - 2 - 12
 
x = 2	 - 1 - 6 o 
EI residuo es cero (O),luego el polinomio dado se anula para x = 2 yes divisible
 
por (x - 2).
 
EI coeficiente de dividir el polinomio dado xJ - 3x2 - 4x + 12 entre x - 2, sera
 
de 2.° grado y sus coeficientes son 1, - 1 Y - 6; luego el cociente sera x2 - x - 6.
 
COEFICIENTES DE POLINOMIO: 
28 
3ax - 2 
1 
2a 
3x 
3ax - 2 = 
ax -
3ax - 2 
3x - 3 + 4x2 
3ax2 - 5ax - 2 
(x - 2) (x 2 ­ X.- 6) 
" ( 
- 5x - 2x2 
1 
2x + 3a 
3x - 2 
2a 
- 5x - 2x 2 , 
3a - x 
4x + 
3a, 
3x + 2 
x - 5 
3a
3a = - ­ . - 5x - 2x 2 = 
1 ' 
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS FRACCIONES 
Cuando una expresi6n algebraica consta de parte entera y fraccionaria la lIa­
mamos expreston algebraica mixra. 
a) Si el numerador de una fracci6n algebraica se multiplica 0 divide por una 
cantidad, la fracci6n queda multiplicada en el primer caso y dividida el"1'-.,.i 
segundo caso por dicha cantidad. . 
b) Si el denominador de una fracci6n algebraica se multiplica 0 dividElP~r 
cantidad, la tracclon queda dividida en el primer caso y mUltipliC~Et, 
segundo caso por dicha cantldad. . 
Fracci6n algebraica: 0 expresi6n racional es un cociente de dos polinomios. 
Una expresi6n alqebralca entera puede considerarse como una fracci6n de 
denominador 1. 
Por tanto: 
EJEMPLOS 
EJEMPLOS 
6.19. FRACCION ALGEBRAICA, CONCEPTO Y PRINCIPIOS 
.iOOnde: 3x + 2, 2a, 3x - 3 + 4x 2 son denominados numeradores y, 
x':':'ts;­ 3a - x, 3ax 2 - 5ax - 2, denominadores. 
'Cuando una expresi6n algebraica no tiene denominador literal la lIamamos: 
Expresi6n algebraica e,ntera 
·EJEMPLO 
xJ ­ 3x2 - 4x + 12 
Por tanto: 
"""~"'1<!'m~~""""'<:I"'t)'\i",~~'t"~~f'-;'_~" :L,"t. _,;p"~, ,.: r;:,:,;,-;~,;;~;,~:; >- ~,~ "~1" 
:: .·:':J,':~r,'~:"~W. ,:{~~/:'~.~"ri-';:::S .":;:;~,~~":,'l';". ~':I' " ",.; . . 
'.'../ 
~?"1!if'f;;< 
,	 .- '..' , 
c)	 Si el numeradory el denominador de una fracci6n algebraica se multiplican 
Solucl6"
o dividen por una misma cantidad, la fracci6n no se altera. 
Factorizando los polinomios del numerador y denominador tenemos: 
x2 - 9x + 14 (x-7)~6.20. SIGNOS Y CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCION 
x2 + 2x - 8 (x+4)~:f	 
"
En una tracclon algebraica hay que considerar tres siqnos: a) el signo de /, 
~\.fracci6n, b) el signo del numerador y c) el signo del denominador. 
EJEMPLO 
En fa fracci6n: 
- 4ax 
3b .~. 
"!If 
el signa de la traccion es el que se escribe delante de la raya fraccionaria yen este 
caso es -, el signa del numerador es - y el signa del denominador es +. 
CAMBIOS DE SIGNOS EN UNA FRACCION 
Los cambios de signos en una fracci6n se rigen por las siguientes reglas: 
a)	 Si se carnblaet signa del numerador y el signa del denominador de una 
fracci6n, la fracclon no se altera. 
b)	 Si se cambia el signa del numeradory el signa de la fracci6n,Ia traccion no ­
se altera. 
., 
6~2. REDUCIR UNA FRACCION A EXPRESION ENTERA 0 MIXTA 
Aplicamos la siguiente regIa: 
a)'	 Se divide el numerador entre el denominador. 
b) Si la divisi6n es exacta, entonces la fraccion equivale a una expreslon 
.... entera. .. 
'c) Si la division no es exacta, se continua hasta queel primer terrnlno del 
residuo no sea divisible por el primer termlno del divisor y se ariade al 
cociente una fracci6n cuyo numerador es el residuo y cuyo denominadores el divisor, transtorrnandola en una expresi6n mixta. 
EJEMPLO 
Reducir a expresion entera: 
P(x) 9a
2 x2 - 6a3x 
3a2 
Solucion
 
c) Si se cambia el signo del denominador y el signa de la fracci6n, la fracci6n
 
Factorizando el numerador por el factor comun 3a2x
no se altera. • 
En resumen: se pueden cambiar dos de los tres signos que hay que considerar .	 3a2x (3x - 2a)P(x) = 
en una fracci6n sin que esta se altere.	 3a2 
. y simplificando por 3a2 
6.21. REDUCCION DE FRACCIONES	 tenemos: 
9a2x2 - 6a3x ~ (3x -'2a)Reducir una fracci6n algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor. P(x) x(3x - 2a)
3a2 ~ 
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES 
6.23. REDUCIR UNA EXPRESION MIXTA A FRACCIONARIA Simplificar una fracci6n dada, es reemplazarla por otra traccion equivalente 
irreducible. Regia: 
EJEMPLO Se multiplica la parte entera por el denominador; a este 
producto se Ie suma 0 resta el numerador, ssqun que el signo 
Simplificar la fracci6n que haya delante de la fracci6n sea + 0 -, y se divide todo por 
el denominador. . 
x2 - 9x + 14 
x2 + 2x - 8 La tracclon que resulta se simplifica, si es posible. 
~.~.>; 
30 
EJEMPLO 
P(x) = (5x - 3) -~ 
2 - 3x 
P(x) = (5x - 3) _ 4x = 
(5x - 3) (2 - 3x) - 4x 
2 - 3x 2 - 3x 
P(x) 
10x - 15x2 ­ 6 + 9x - 4x 
2 ­ 3x 
P(x) 
- 15x2 + 15x - 6 
2 - 3x 
6.24. OPERACIONES CON FRACCIONES 
Analizaremos las siguientes operaciones: 
a) $UMA DE FRACCIONES.
 
b) RESTA DE FRACCIONES.
 
c) MULTIPLICACION DE FRACCIONES.
 
d) DIVISION DE FRACCIONES.
 
A)	 SUMA DE FRACCIONES 
Regia: 
1.	 Se simplifican las fracciones dadas si es posible. 
2.	 Se reducen las fracciones dadas al minima cornun denominador silos 
denominadores son distintos. 
3.	 Se etectuan las multiplicaciones indicadas. 
4.	 Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta 
suma por el denominador cornun. 
5.	 Se reducen terminos semejarites en el numerador. 
6.	 Se simplifica la fracci6n que resulta, si es posible. 
EJEMPLO 
Sumar: v'< -~ ~ '" 
3x - 2y + 
x ­
Y9x2 ­
y, 
4y.2 \ 
Soluci6n 
3x - 2y 
x-y 
91<2 - 4y2 3x - 2y 
+ 
x ­ y 
(3X)2 - (2y.)2 
+ x-y 
3x - 2y (3x ..,. 2y) (3x + 2y) 
1x(3x + 2y) + (x - y) 
(3x - 2y) (3x + 2y) 
4x + Y 
(3x"- 2y) (3x + 2y) 
B)	 RESTA DE FRACCIONES 
Regia: 
1.	 Se simplifican las fracciones dadas si es posible. 
2.	 Se reducen las fracciones dadas al minima cornun denominador si tienen 
distinto denominador. 
3.	 Se etectuan las rnultlpllcaclcnes indicadas. 
4.:' Se restan los numeradores y la diferencia se divide por el denominador 
cornun. 
5.	 Se reducen termlnos semejantes en el numerador. 
6. .Se simplifica el resultado si es posible. 
EJEMPLO: 
Hestar las fracciones: 
-> 
-:4x 5x - 2 4 - 3xP(x)	 ­
x2 - 5x - 6 x + 1 x - 6 
4x 5x - 2 4 - 3xpix)	 - ­
(x+1)(x-6) x + 1 x-6 
4x - [(5x - 2) (x - 6)] - [(4 - 3x) (x + 1)] 
(x + 1) (x - 6) 
4x - (5x2 - 30x - 2x + 12) - (4x + 4 - 3x 2 - 3X) 
ex + 1) (x - 6) 
~- 5x2 + 30x + 2x -,12 -~- 4 + 3x 2 + 3x 
(x + 1) (x - 6) 
- 2x2 + 35x - 16 II 1~ 1 
(x + 1) (x - 6) 
.l7~"~,~,"\..
 
~1i~'f14\11t*'i'!'1;,j'~~lrJ';::;~:':.
 
C) MULTIPLICACION DE FRACCIONES 
Regia: 
1.	 Se deseomponen en-faetores. toco 10poslble, los terrnlnos de las traccio­
nes que se van a multipliear. 
2.	 Se simplifiean suprimiendo los faetores eomunes en los numeradores Y ­
denominadores. 
3.	 Se multipliean entre sf las expresiones que queden en los numeradores 
despues de simplifiear. Y este produeto se divide por el produeto -d~-.Ias. 
expresiones que queden en los denominadores. 
-'~"""--1"~"""'~~~~~ 
" 
(4x - 3y)2) ( 2(16x 2 + 12xy + 9y2) )<: P(x) 
( (x - 8) (x + 8) x (4x - 3y) [(4X)2 + 12xy ~-(,3Y12] 
(4x - 3yf"" 2 (12x2 + 1all~ I !JVf)
P(x) 
(x - 8) (x + 8) (~(16x2 + 1211'W ... ~ 
8x - 6y
P(x) 
x2 - 64 
6.25. -.FRACCIONES COMPLEJAS 
Se llama fraeei6n eompleja a aquella fraeei6n en la cual et numerador y /0 
denominador son fraeeiones algebraieas. 
EJEMPLO 
P(a) 
c+ b -ahl 
3b )(2 ­
a+b /' 
Una traccion compleja no es mas que una divisi6n indieada; por tanto: 
EJEMPLO 
Multipliear: 
a2 - 81 x 
2a + 10 
(~(a- 9)
P(a) 
~ 
P(a) (a - 9) x (a + 6) 2 2 
(a - 9)a2 a3 - 9a2 
4(a + 6) .4a + 24 
a3 - 9a2 
P(a) 
4a + 24 
D)	 DIVISION DE FRACCIONES 
Regia: 
-Se multipliea e\ dividendo por el divisor lnvertido.» 
2a - 12 a3 + 5a2a + 11 xx 
a2 - 36 2a + 18 2a + 22 
a2~ x ~ .-2{a.--6'r x 
x 2~ 2~(a + 6)J.a.--6f
 
1 a2
 x - x- ­
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES COMPLEJAS 
Regia: 
a)	 Se etectuan las operaeiones indieadas en el numerador y denominador 
de la fraeei6n eompleja. 
b)	 Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado 
que se obtenga en el denominador. 
EJEMPLO 
P(x) ( 
16x2 ­ 24xy + 9y2)
x' - 64 
P(x) ( 
16x2 ­ 24xy + 9y2) 
x2 - 64 
v·
 
64x3 - 27y3 ) 
( 32x2 + 24xy + 18y2' 
x (32X2 + 24xy + 18y2) 
64x3 - 27y3 
P(a) 
( 2a a+ b 
( 
2 -
P(a) = (2a + b 
a 
- ah) 
~) 
a+b 
__. 3_) 7 (2 _ ~) 
a+b a+b 
EJEMPLO 
Simplifiear: 
(2a + b 
P(a) 
(2 -
- ah)
 
3b ) ­
a+b 
... 34',~, ,. ," ,,-,j. 
~::~twat ~" A.J,tk )pK'" 
Soluci6n 
( 2a + b __3_) (2a + b) (a + b) - 3a 
a a + b a(a + b) 
P(a) = (2 _~) (2(a + b) - 3b)=0 
a + b (a + b) 
= (2a + b) (a + b) - 3a) x ( (a..:l=-b? ) 
a~ 2(a + b) - 3b 
2a2 + 2ab + ab + b2 - 3a 
a(2a + 2b - 3b) 
2a2 + 3al:l - 3a + b2 
a(2a - b) 
P(a) = a(2a + 3b) - (3a - b2) 
a(2a - b) .,'" 
/.' 
APENDICE 1 
EJERCICIOS 
COMPLEMENTARIOS 
A. EJERCICIOS DE APLICACION 
B. EJERCICIOS DE INVEST1GACION 
M#";')~filll·it$FY~,J~~,,,:,:.~,.,,...
 
if' 
.......'.
 
; 
.A.1. 
Escribir correctamente la siguiente expresi6n: 
- {- (4x + 2xa) - [5x + 3}) - (- [- {4x + 2) - 3}] 
Solucion 
- [- (4x + 2xa) - (5x + 3)] - { - [- (4x + 2) - 3]} 
B.1. 
a) Indique cuales son los signos de agrupaci6n: 
b) Escriba correctamente las siguientes expresiones: 
1. (- 4ab + 5]) {- 3 + 2xa [sax - 4)]} 
2. {ab + 5xb) - [+4a - 3ab {(5x - 2)]} 
3. {(-4ab+5a} -4x+3] (2ax-b} 
t 
A.2. 
Desarrollar 
~T?J,iE'''''f'F.i'!''-'''''··~' ':~...... 
Pix) (- x) x (+ xa) x (- xa) x (- 2) 
.....;"••,~ J •• • }'w·- ." " ; ...~ 
;l#.'A"fM,?¥I":·:',,~ 
Soluci6n 
PIx) =	 (-x) x (ax) x (- ax) x (- 2) = 
[( - x) x (axj] x [( - ax) x (- 2)] 
[- ax 2] x [2ax] 
- 2a 2 x3 
B.2. 
Resuelva 
a) (-) x (-)
 
b) (-) x (+)
 
c) (+) x (+)
 
d) (+) x (-)
 
e) (+) x (-) x (-) x (+) =
 
f) (-)	 x (-) x [- (-)] x (+) 
A.3. 
Desarrallar par simple inspecci6n:
 
a) (2a+3b)2
 
Soluci6n 
(2a + 3b)2 (2a)2 + 2 x (2a) x (3b) + (3b)2
 
(2a + 3b)2 4a2 + 12ab + 9b 2
 
b) (4x	 - 2a)2 
Soluci6n 
(4x - 2a)2 = (4X)2 - 2(4x) x (2a) + (2a)2
 
(4x - 2a)2 = 16x2 - 16ax + 4a 2
 
c) (8a - 3b) x (8a + 3b) 
Soluci6n 
(8a - 3b) x (8a + 3b) = (8a)2 - (3b)2
 
(8a - 3b) x (8a + 3b) = 64a 2 - 9b 2
 
d) 1.	 (5 + 2X)3 = 
Solucl6n 
(5 + 2X)3 (5)3 + 3 X (52) x (2x) + 3 x (5) X [(2X)2] + (2X)3 
(5 + 2X)3 125 + 1~nx + 60x 2 +- 8y3' 
, .' 
d) 2. (3x - 4b)3 = 
e) (3x + 4) (3x - 2) = ,'.J 
Desarrallar par simple inspecci6n: 
a) (2x + 3y)2 = _ 
b) (4m 5 + 5n 4) 2 
c) (a ' + bX+ 1)2 = _ 
d) (x a+ 1 + Yx ­ 2)2 = _ 
e) (3a 4 - 5b 2 ) 2 = 
f) (x5 - 3ay2) 2 = 
g) (x m_ym)2 = 
h) (x a + 1 - 3X a - 2 ) 2 
i) (n - 1) (n + 1) = 
j) (am+bn)(am-b n) 
k) (ax+ 1 - 2b X - 1)(2b X - 1 + a X+ 1) 
I) (6x 2 ­ n2x) (n2x + 6x 2) 
II) (3a + b)3 = _ 
m) (4x 2 + 2a)3 = _ 
n) (3b X + 2a b)3 = _ 
ti) (a n + 1 _ b m + 2 ) 3 
0) (3a b + 1 _ 3b a + 1)3 = 
p) (2a c - 2 _ 3b c+ 2)3 = 
q) (a6 + 7)(a6 - 9) = 
r) (an + 3)(a n + 2) = '" 
5) (a2bX - C2X) (a2b X+ C2 X) 
B.3. 
Soluci6n 
(3x + 4) x (3x - 2) = (3x + 4) [3x + (- 2)] 
(3X)2 + [4 + (-2)]3x + (4) x (- 2) 
(3x + 4) x (3x - 2) = 9x 2 + 6x - 8 
Solucian 
(3x - 4b)3 = (3X)3 ­ 3 X [(3X)2] x (4b) + 3 x (3x) X [(4b)2] - (4b)3 
(3x - 4b)3 = 27x 3 ­ 108bx2 + 144b2x - 64b 3 ,' 
.-:" 
r"'~';:~'l\~;~~~_J#J!ffl"iM.;;;#[!~:Il~}~t"""" 
I~l/,tf V'' 
'\}4 
. \ 
'­
I)jIYfrJ)ifr<'¥{&.&'LL.L:~':.:.- . 'i:, ....'.,_" 
A.4. 
Hallar por simple inspecci6n el cociente de: 
x2 - 1
a) 
x - 1 
. Solucion 
x2 -1 (x + 1) (x - 1) 
x - 1 (x - 1) 
x2 - 1 
x + 1 x - 1 
9x4 _ y4
b) 
3x2 - y2 
Solucion 
9x4 _ y4 (3X2)2 _ (y2)2 
3x2 _ y2 3x2 _ y2 
(3x 2 - y2) (3x2 + y2) 
(3x2 - y2) 
9x4 _ y4 
3x2 + y23x2 _ y2 
n 3 + m3 + x3c.1) 
n + mx 
Solucion
 
3 + m 3x3
n
(n)2 - nmx + (mx)"
n + mx
 
3 + m 3x3
n
n2 - nmx + m 2x2 
n + mx 
1 - a3 c.2) 
1 - a 
Solucion
 
1 - a3
 
1 + a + a2 1 - a 
" 42
FH't'rt 'j.;W'~<!l.i.;;h.." 
'~"~".~." 
1 - a + a2 - a3 + a4 ­ as + a6 
1 + a7 
1 + ad) 
Solucion 
1 + a7 
1 + a 
8.4. 
;'. Hallar por simple inspecci6n: 
a) 25 - 36a
4 
= 
5 + 6a 2 
b) 
a4b6 - 4X8y l 0 
a2b3 + 2x 4yS 
c) 
4 - (m + n)2 
2 + m + n 
d) 
x2n _ y2n 
xn _ yn 
e) 
(a + X)2 ­ 16 
(a + x) - 4 
f) 
4b2 ­ 16m2a2 
2b - 4am 
g) 
8a9 + y9 
2a3 + y3 
i 64a3 + n6 
) 4a + n2 
i) 
27x6 + 1 
3x 2 + 1 
j) 
n6 - 1 
n2 ­ 1 
k) 1 + a
3b2 
1 + ab 
I) 
a3x3 + Z3 
ax + 2 
.,.'.' .\'~;, 
as	 + 243 
1/) 
a + 3 
64n6 - 729m6 
m) 
2m	 + 3n 
b7x7 - 12887 
n) 
bx	 - 2a7 
A.5. 
Encuentre los factores 0 divisores de la expresi6n algebraica: 
9a3x2 - 18x2b 
Soluci6n 
Los facto res son: 
9x 2(a3 - 2b) 
B.S. 
Encuentre los facto res 0 divisores de las siguientes expresiones algebraicas: 
a) x - x2 + x4 - x5 = _ 
b) a6 - 3a2b - 2a4c - 3a5 
c)	 35m 4a3 - 14m 3a4 = _ 
A.6. 
a)	 Descomponga en dos facto res: 
(5m 3b4 - 25ma) 
Soluci6n: 
5(m 3b4 - 5ma) 
b)	 Descomponga en tres facto res: 
(5m 3b4 - ;25ma) 
Soluci6n 
5m(m2b4 - 5al 
B.6. 
a)	 Descomponga en dos facto res: 
1.	 a(x + 1) + b(x + 1) =--------------- ­
2.	 3x(x - 2) - 5a(x - 2) = -------------- ­
a4(x3. - y + 2) - 5b(x - Y + 2) 
b)	 Descomponga en tres facto res: 
1.	 ab(3x - 2) + bet - 2 + 3x) = ------------ ­
2.	 5(2a - b) - 25(2a - b) = -------------- ­
3.	 5x(2 - b) + 8x(2 - b) - 3x(2 - b) 
A.7.. 
a)	 Encontrar el factor cornun de: 
93a4x3y2 - 33a2x4y3 
Soluci6n
 
3a2x3y2(31 a2 - 11XV)
 
b)	 Encontrar et factor cornun de: 
(b + 3) . (3 - 5x) - 4x(3 + b) 
Soluci6n
 
(b + 3) . [(3 - 5x) - 4x]
 
(b + 3) (3 - 9x)
 
B.7. 
Encontrar el factor cornun de:
 
a) 3x(a 2 + 1) - 3x(a2 - 1) = -------------- ­
b) (3a - b + 1) (2a - 1) - 5a(3a - b + 1)
 
c) (aab - 5ac)3x + 4x(8ab - 5ac) =
 
d)	 5xa(- 2ab + 1) -' 3bl1 - 2ab) = -:'-7-: ­
e) 8abc(3xy - z) - 4ab\z - 3xy)=",;... 
12x3(4bf)	 3ax(4b - 3) + 6ax 2(4b - 4) - - 5) 
~&$.W~~"<:';i .: v-•..• 
A.S. 
Descomponer: 
2b2 - 3ab - 6a + 4b 
Solucion 
(2b2 - 3ab) - (6a - 4b) 
b(2b - 3a) + 2(- 3a + 2b) 
b(2b - 3a) + 2(2b - 3a) 
(b + 2) (2b - 3a) 
8.S. 
Descomponer: 
a)	 a2b - 10c2d2 - a2d2 + 10c2b 
b) 8c3b - 8c2x + 6xa - 6cab
 
c) C2X3 - a4c2x3b2 - a4b2 - 3C2X3b + 3a4b
 
A.9. 
Descomponer: 
a8 + 8a4 + 16 
Solucion
 
(a4 + 4) . (a4 + 4) = (a4 + 4)2 .
 
8.9. 
1.	 l.Eseltrinomio a2 - 14a + 49 un trinomio cuadrado perfecto? _ 
-----------l.Porque?------------ ­
2.	 Factorizar 0 descomponer: 
a) b2 - 2b + 1 = _ 
b) 16 + 40a2 + 25a4 = _ 
c) (x2/4) - xb + b2 = _ 
d) (a - b)2 + 6(a - b) + 9
 
e) 4 - 4(1 - x) + (1 - X)2
 
~~ . -' ~ , 
i'f( 
f) (b4/4) + a4 - a2b2 =--------------- ­
g) (a + b)2 - 2(a + b) (b + a) + (b + a)2 
A.10. 
Factorizar: 
25 - 16a4 
Solucion
 
52 - (4a2)2 = (5 - 4a2) x (5 + 4a2)
 
8.10 
Factorizar:
 
b 10
 a) - 25a8 
b) a2b4c4 - 121d2 
c) 1 - 81a4b2 = -------------------- ­
4nb6n ­d) a 1/25c4
 
e) 16a8 - (2b - 4)4
 
f) 25(a - b)4 - 16(a + b)2
 
A.11. 
Factorizar: 
64 + a12 
Solucion 
82 + 2 . 8 . a6 + (a6)2 - 2 . 8 . a6 
82 + 16a6 + (a6)2 - 16a6 = 
(8 + a6)2 - (4a3)2 = . 
(8 + a6 - 4a3 ) (8 + a6 + 4a3 ) 
8.11. 
Factorizar: .y 
a) a6 + 9b 4 = .[~L----------~----------
b) 16a4 + 36 . b8 
c)	 1 + 25b4 = _ 
d)	 9x 2 + 16y8 
.....~?:,~;,6"$.P'¥1* ,,~ .01 ~~ ~.~ .~ •••::.:.~...... ~~>:~...,;; ,.:~ ,:~_~:' ·.i :'1:,_,'"'" c,"_:::',._;.e,;;.'--..•..	 _"',:;" •••.. ..;.;A,
~iLi'i~~(:'F1 :' '~7'> ';'3~~~:~~;,'t~',\)~i'~-
. ' ..' -~"" 
e) 
f) 
121a2x4 + 144z4y 2 
64z4 + 64b 8 = --------­ _ 
e) 
f) 
(8a2)2 + 24(8a 2) + 128 = ------------­
(x - 1)2 + 3(a - 1) ­ 108 
_ 
Facto rizar: 
A.12. 
Soluci6n 
a8 + 4a4b4 + 16b8 + 4a4b4 - 4a4b4 
a8 + 4a4b4 + 16b8 ~ 
Pia, b) 
Pia, b) 
~.14. 
F~ctorizar: 
Soluci6n 
18· 18a4 + 18· 17a2b 
18 
18a4 + 17a2b ­ 15b2 
- 18· 15b2 
8.12. 
= a8 + 8a4b4 + 16b8 - 4a4b4 = 
(a4 + 4b4)2 - (2a2b2)2 = 
= (a4 + 4b 4 - 2a2b2) (a4 + 4b4 + 2a2b2) 
Pia, b) 
Pia, b) 
(18a 2) 2 + 17b(18a2) - 270b2 
18 
(18a 2 + 27b) (18a2 ­ lOb) 
18 
Factorizar: 
a) b4 - 6b 2 + 1 
8.14 
Facto rizar: 
b) 25x 4 + 54x 2y 2 + 49y 4 
c) 16 - 9a4 + a8 =' 
d) 121a 16 - 133a8b4 + 36b 8 
e) 225 + 5x 8 + X 16 ~ 
f) 49a 16 + 75a8b4c4 + 196b8c8 
A.13, 
---,-­
_ 
_ 
Factorizar el polinomio: 
a) P(b) = 6b 4 + 5b2 ­ 6 
b) Pic) = 7c 6 - 33c 3 - 10 = -­
c) Pix) = 30x 2 - 17x - 21 = ----­
d) P(z, a) = 14z8 - 45z2a - 14a2 
e) P(a,b) = llab ­ 6b 2 - 4a2 =~ 
f) P(m, n) = 18m 2 - 15n 2 + 17mn 
_ 
_ 
_ 
x2 ­ 9x + 8 
A.15. 
Soluci6n 
Factorizar el polinomio: 
(x - 8) (x - 1) Pia) 27 - 27a + 9a2 - a3 
Soluci6n 
Factorizar: 
8.13. 
Pia) 
Pia) 
(3)3 - 3(3)2a + 3 ·3a2 - a3 
(3 - a)3 
a) 
b) 
c) 
d) 
a2 - 3a + 6 
b 2 - 20b - 300 
c2 -1: 43c + 432 = 
a4b4 + a2b 2 - 132 
1. EI polinomio Pix) = 8 + 12x2 + 6x 4 + x6 es un cuba perfecto?,,-, 
------­ i,Por que? .~ 
8.15. 
~~~L;:.~.>.~~~f.l~~~.
 
48 
&;Z$2Gttt:'MW'4Xfry.t~~~~?~:)1;:(t{~.;: .,' 1\" 
2.	 Factorizar si es posibJe: 
a) P(a, b) = 1 + 12a4b2 - 6a2b2 - 8a6b6 
b) P(m, n) = 125m 12 + 600m8n 5 + 960m4n 10 + 512n 15 _ 
c) P(x, b) = 1 + 18x 2b3 + 108x4b6 + 216x 6b9 --------- ­
d) P(z, v) = Z9 - 9Z6 V4 + 27Z3V 8 - 27v12 - .L: 
e) P(m, x) = 27m 3 + 108m2x + 144mx2 + 64x 3 -------- ­
f) P(y) = 216 - 756 y2 + 882y4 - 343y6 ---------- ­
A.16. 
1.	 Factorizar: Pta, b) 8a3 + 27b 3 
Soluci6n 
P(a, b) (V8a3 + V27b3)[(~)2 - V8a3V27b3 + (V27b3)2J
 
P(a. b) (2a + 3b)(4a2 - Gab + 9b2 )
 
2.	 P(x, y) 1 - 27x 3y3 
Soluci6n 
P(x, y) (V"1 - V27X3y3)[V(i)2 - J 1 V27x3y3 + (V27x3y3)~
 
P(x, y) (1 - 3xy)(1 - 3xy + 9X2y2)
 
B.16. 
Factorizar:
 
a) P(a) = 1 + 27a 3 _
 
b) P(x, y) = 8x6 _ y12 _
 
c) P(a, b) = 8a 9 - 125b6
 
d) P(z) = 8z 3 + 729
 
e) P(a, m) = (a - m)3 + 27 _
 
f)	 P(m, n) = (m + 2)3 - (n - 3)3 
A.17. 
Factorizar: P(a, b) a7 - b? 
Soluci6n 
P(a, b) a? - b7 
5b + a4b2 + a3b3 + a2b4a6 + a	 + ab 5 + b6 (a - b) (a -b) 
M*'&Wi:~~Li44:nijAd", •.f",':m;j~.;.;;':~"J... .•., 
5b + a4b2 + a3b3 + a2b4b) (a6 + a	 + ab 5 + b6 ) 
"'\';"':' 
-
-
a = 1 
Descomponga: 
Como, R = 
Luego: P(a) = 
a) P(b) 
b) P(x) 
a) P(b) = b5 
b) P(c) = c9 -
c) P(z) = 
d) Pta, b) = 
e) Pta, b, c) = 
f) P(x) = 32 
lj,i)?:iJIJj ;'~.7i::. .: ; "'-':':t\".,:~;ff >\1',:",~,,;}' 
Factorizar: 
B.18. 
Descomponga: 
A.18. 
Nota: 
binomio de la forma (x 
sea diVisible por el binomio (x 
Soluci6n 
Los factores de 4 son: 
Primera prueba: 
\ 
\ P(a, b) = (a -
\ 
~.17.	 
o 4 o 
+ 1 = 
1 = 
1 + 128z14 = 
a10 + 32b 5 = 
a5 + b lOC10 = 
- x5 = 
P(a) a4 - a2 + 4a - 4 
± (1, 2, 4) 
o - 1 +4 -4 
1 1 o 4 
0; P(a) es divisible por (a - 1). 
(a - 1) (a3 + a2 + 4) 
Recordemos que es condici6n necesaria para que un polinomio en x sea divisible por un 
- a), que el terrnlno independiente del polinomio sea multiple del 
termino a del binomio sin tener en cuenta los signos. 
Esta condici6n no es suficiente, es decir, que aun cuando el termlno independiente del 
polinomiosea divisible porel terrnino a del binomio no podemos afirmarque el polinomio en x 
- a). 
5b 2 + 3b 4 - 6 
8x 4 - x2 + 5x3 - 10 
'Sf 
\.. ,j	 ,-",\: .• ' 
-25a4 + 32a2 - 8a - 27 
d) P(x) - 4x 2 - 3x3 + 2x - 5 
c) Pea) 
A.19. 
Transformar la expresi6n algebraica entera a fraccionaria. 
Sea: P(x) = 5x - 3x 2 + 2 
Solucion 
P(x) ~ 
1 
5x - 3x 2 + 2 
1 
8.19. 
Determine si las siguientes expresiones son enteras 0 
3x - 8y
a) 
4x 
2x - 5yb) 
4ab 
3x + 5b - 2a
c) 
1 
d) 3abx _ ~ _ 
1 1 
e) 3ab - 4ab = 
f) 4xa - 53b = 
A.20. 
Indique si al cambiar el signa de la fracci6n en la expresi6n 
P(x) = 35x - 4x2 
- 3x 
se altera 0 no la fracci6n. 
Soluci6na ' "." >-",' 
3 - 4x 
2 
3x - 4x 2 
2x 
P(x) 
P(x) 
(x - y)2 
x2 _ y2 
a3 + b3 
(a + b)3 
b) P(x. y) 
Simplifique la expresi6n: 
a) P(a, b) 
2. Simplifique a su mas simple expresi6n: 
1. Explique que entiende por simplificaci6n de una fracci6n _ 
A.21. 
P(x) = x(3 - 4x) 
2x 
Soluclon 
Factonzando el numerador tenemos: 
8.21. 
\ 
~.20. 
\ Indique si se altera 0 no la fracci6n cuando: 
.. a) Se cambia el signa del numerador y denominador _ 
b) Se cambia el signa del denominadory de la fracci6n ­ _ 
c) Se cambia el signa del numerador y de la fracci6n ~__ 
.d) Se cambia el signa del denominador, numerador y de la fracci6n _ 
'~ 
fraccionarias. 
35x - 4x 2( _) P(x) = (_) 35x - 4x2 
- 3x 3x 
Luego: al cambiar el signo de la fracci6n esta se altera. 
'ig)itiG5k,if4;';'4d?i1lUA~<!~i'::;~.;~~~, ­.... \;: ;h~;.. ••;~"~ 
(m - n)3 Soluclon 
c) P(m, n) m3 - n3 Como no es posible factorizar el numerador por (3a2 - 2) Ysimplificar peste­
riormente por el denominador, se divide el numerador por el denominador. 
Luego: 
..., 
""l:~ 
", 
..
. 
5a3 - 3a2 + 2a - 15 /3a2 -2 
~ 
b3 + 1 ,~ J a3- + (10/3)a (5/3)a - 1d) P(b) 
b4 - b3 + b + 1 
0 - 3a2 + (16/3)a 
3a2 - 2 
(16/3)a - 17 
Por tanto:y2 - 4 
e) P(y, z) 
5yz + 10y 
P(a) = (5/3)a _ 1 + (16/3)a - 17 
3a2 - 2 
B.22. 
6m 2 + 5m - 6
f) P(m) = 
15m2 - 7m - 2 Reducir a expresi6n entera 0 mixta: 
6as + 3a4b a) P(a, b) 
3a3 - ab + b3 
a3 + 3x 3A.22. b) P(a, x) 
a + 2x
 
Reducir a expresi6n entera 0 mixta:
 
6b - 3b2 2c 3 - 7c 2 + 3c - 4a) P(b) = c) P(c) =
 
3b 3c 2 - 2c - 1
 
Solucion 
10x3 - 20x2 - 10d) P(x) = 3b(2 - b)P(b) = 3x - 3 
3b 
Simplificando por 3b:
 
4b 2 - 3b + 5
P(b) 
P(b) 2 - b b-2 
5a3 - 3a2 + 2a - 15 5y4 - 3y3 + 5 - 4y2 - 2yb) P(a) = P(y)
3a 2 - 2 4y - 3 + 3y2
 
h"I·iri!it:~b£'iA;lt]. ;~.\:;.....""L,~ ... ";, ', 
f) 
e) 
.•~~,~:';;:"j"~," ,~. ~"I~ , J;' 
"'/~ 
A.24. 
Reducir a fracci6n: 
Opere las siguientes fracciones: 
r··Pta) = (4a _ 3) + (5a - 1) 
r "'3a,'l 3a - b 2a(2a - 3) ~. . + ---'.-.:...----=. + ­a) Pta) 4cl-,3 2a'- 1 3 
Solucion Solucion 
r­
(4a - 3) (2a - 3) + (5a - 1) \,38'\[3(28 - 1}] + 3(4a - 3) (3a - 4) + (4a - 3) (2a - 1) 2a 
Pta) Pta)
2a - 3 . ~(4a-3):(2a...-1)
'.(I: . ----.:.... 
8a 2 - 12a - 6a + 9 + 5a - 1 18a2 - 9a + 36a 2 - 48a - 27a + 36 + 16a3 - 8a2 - 12a2 + 6a 
Pta) Pta)
2a - 3 3(4a - 3) (2a - 1) 
8a2 - 13a + 8 Pta) = 16a3 + 34a 2 - 78a + 36Pta) 
2a - 3 3(4a - 3) (2a - 1) 
3x - 2 5x + 2 
b) P(x) 
4 3x - 1 \,) I
8.23. 
Solucion ! tReducir a fracci6n: 
(3x - 2) (3x - 1) - (5x + 2) 4 
P(x) 
4(3x - 1)1 + b _ (5b - 2 + 3b 2)a) P(b) 
(4b - 3) 
9x 2 - 3x - 6x + 2 - 20x - 8 
P(x) 
4(3x - 1) 
x2 _ 2x + (3x - 2)b) P(x) 
(4 - 2x) 9x 2 - 29x - 6
P(x) 
4(3x -: 1) 
5xc) P(x) x4 - 3x 2 ­
3 4x + 3 (5x + 2)c) P(x) 
3 (2x + 3) 
3a 2 d) Pta, b) Solucion8ab - 4ab + 4b'="""2a 
(4x + 3) (5x + 2)
P(x) , 3(2x + 3) 
3x - 4xy 4x 2 '"' e) P(x, y) - 5x +
2x 2x - Y 20x 2 + 8x + 15x + 6P(x) = 
6x + 9 
2mn 3mf) P(m, n) -4+ + 3m 20x 2 + 23x + 63m - 2n 2n - 1 P(x) 
6x + 9 
, /.~:!":": 
", ,cY, . , ,:-\. 
.. 
= m 
m4 + rnn? 
m2 - mn + n2 
nm 
m(m - n) + n2 
nm 
m4 + mn 3 
m 3 + n3 
m 3 - m2n + mn 2 + m2n -
m2(m + n) - n(m 2 - n2) 
n(m + n) 
(m + 2n)/(m - n) -
n/(m - n) + (2m - n)/(4m 
(2m 2 - n2)/m - n 
(4m 2 + n2)/4mn + 1 
(m 3 + m2n - nm2 + n3 ) 
n(m + n) 
m 3 + m nm 2 + n3 
P(m. n) 
2n -
n(m + n) 
a - 1 - 6/(a + 3) 
a + 6 - 36/(a + 3) 
b + 4 + (4 + b)/(x - 1) 
b - 4 - (3 + b)/(b .+ 2) 
" , ' 
P(m, n) 
P(m. n) 
P(m, n) 
P(m, n) 
e) P(b) 
d) Pta) 
c) P(m. n) 
Simplificar: 
b) P(m, n) 
a) P(a, b) = a + b + b2/(a + b) 
a2 + a2 /(p. + b) 
8.25. 
Solucion 
~'_.~.~~ 
3x (5x - 3)
d) P(x) 4 - 2x (4x + 2) 
Soluclon 
(8 - 4x + 3x) (4x + 2)
P(x) 
(4 - 2x) (5x - 3)
 
32x + 16 - 16x2 - 8x + 12x 2 + 6x
P(x) 
20x - 12 - 10x 2 + 6x
 
- 4x 2 + 30x + 16
P(x) 
10x 2 + 6x - 12 nm 
m2 - mn + n2 
8.24. 
mn 2 + n3 
Opere las siguientes fracciones:
 
x+2 4x + 5
 a) P(x) = + (2x - 1)
x - 2 3x 
8x + 3 2x - 3 3b) P(x) = + - - ­
4x 3 4x - 2 
3a + 4 4a - 2 2a + 2c) P(a) = 
2a + 1 3a + 1 3a 
4a - 2ab 5ab
d) P(a. b) = . (4b - a)
3b 3a - 2b 
(m + n)/m 
- n)4a2 - 3b 2ae) P(a, b) = + -- - 5b2 
2b 2 - 2a 3b 
5mm - 2 3m + 5nf) P(m, n) = 
4m - 2n - 4n + 3m 
A.25. 
2/nm - (m2 - n2)/(m + n)
 
[(m - n)/n) + (n/m)
 
, , ,.~~k:(t",·;,~ . ..."" "."w:~ 
P(m. n) 
Simplificar: 
»­ c: -f
 
o m
 
< » r­ c:
 
» o -
:r>
 
-a
 
m
 
z c - o m­
., 
N
 
o z
 
0'$· .i II
<~h.' ' -,~ 
,'-~.' i:~"~,.f 
~ 
p~ • ,,: 
,;~. . '!I(~:, 
1. 
a24 - 1 
a6 - 1
c) P(a) = 
b) P(z, w) = (zn- 3 + 2W n+ 4) 3 
a) P(a, b) = (5a2 - 3b3) 2 
DesArroliar por simple inspecci6n: 
2. 
3y 
x-y 
---..1 
x 
x+y 
X 
m(n 3 + 1) + 3mn(m + 1) 
x + 2y 
x-y
c) P(x, y) 
b) P(m, n) 
a) P(a, b) = a5 - a3b2 + a2b3 - b5 
Pescomponga en cuatro factores: 
d) P(m, n, u) 
u - 2n 
m-n+u 
2n + U 
·m-n-u, 
e) P(z) 
z-4+ 11z-22 
z-2 
2 - 5 
z+2 
z + 1 -r­ 6z + 12 
z+2 
a + 1 a - 1 
a - 1 a + 1 a2 + 1 2a 
3. a) Pta, b) 
a - 1 a + 1 28 - 2b 14 - b 
+ 
a + 1 a - 1 
2m
1 + ---­
1 + m2 
b) P(m) 
2m s + 2
2m + 
1 - m4 
BIBLIOGRAFIA 
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BREARD, C.: MatemaNcas e/ementa/es. 1,8edici6n. Francia. Editorial L'Ecole, 1963, 
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PAPY, GEORGES: Matematica modems. 2.8 edici6n. Argentina. Editorial Universl­
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