algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-65

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I) Cuadrado de una suma y una diferencia.
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
En general
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
II) Producto de una suma por su diferencia.
Es igual a la diferencia de cuadrados:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
III) Cuadrado de un trinomio.
(a + b + c)2 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
IV) Cubo de una suma o diferencia.
• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
• (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2+b3
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
V) Producto de dos binomios que tienen un tér-
mino común.
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
VI) Producto de un binomio por un trinomio que
da una suma o diferencia de cubos.
• (a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
• (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
De manera general:
(a ± b) (a2 � ab + b2) = a3 ± b3
VII) Identidades de Legendre
• (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
• (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
VIII) Identidades de Lagrange
• (ax + by)2 + (bx - ay)2 = (x2 + y2)(a2 + b2)
• (ax + by + cz) + (bx - ay)2 +
+ (cx - az)2 + (cy - bz)2
= (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2)
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Efectuar:
–––––––––––––––––––––––––––––2n
E = √b2n + √b2n+1 - a2n .
––––––––––––––––––––––––––––2n
√b2n - √b2n+1 - a2n 
Solución: Haciendo el cambio:
b2
n
= x
b2
n+1
= b2
n
. 2 = [b2n ]
2
= x2
a2
n 
= y
Se obtiene:
__________ _______________ _____2n 2n
E = √x + √x2 - y . √x - √ x2 - y
Por tener iguales índices los radicales, se escribe:
n ________________________––––– –––––
E = √ (x + √ x2- y)(x - √x2 - y)
Efectuando el producto notable de una suma por
su diferencia:
_____________ _________ _______2n 2n 2n
E = √ x2 - (√ x2 - y)2 = √x2 - x2 + y = √ y
Reponiendo: y = a2
n
___
2 n–––
E = 
2n
√ a2n = a2 n = a
Rpta.: E = a
2.- Calcular el valor de:
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
E=
32
√1+ 3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 13:32 Página 77