SESION_4__UCV

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MATEMÁTICA II
INTERVALOS DE CONCAVIDAD. 
CRITERIO DE LA 2° DERIVADA
CASO 01: UN PROBLEMA DE EFICIENCIA
Percy es un ingeniero recién titulado que ha sido contratado como jefe de recursos
humanos de una fabrica de sacos de polietileno. Al evaluar la eficiencia de un obrero no
calificado, descubre que está dada por la función 𝑓 𝑡 = 100 − 60𝑒−0.2𝑡 , donde el
trabajador puede completar 𝑓(𝑡) unidades por día después de haber trabajado meses.
Para poder presentar su informe ante el gerente general Percy, debe:
a) Trazar la gráfica de y observar su comportamiento
cuando crece sin límite.
b) ¿Cuántas unidades por día puede completar un
obrero principiante?
c) ¿Cuántas unidades por día puede completar un
trabajador con un año de experiencia?
d) Cuántas unidades por día puede esperarse que un
obrero produzca?
Podrías ayudar a Percy a presentar un excelente informe.
• Funciones
• Derivación.
• Regla de la cadena.
• Crecimiento y extremos.
Recordar
LOGROS DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante, resuelve ejercicios en
los que calcula los intervalos de concavidad y puntos de inflexión de una
función haciendo uso de la segunda derivada.
1. Definición de concavidad y puntos de inflexión.
2. Regla para posibles puntos de inflexión.
3. Criterio de la segunda derivada
4. Aplicación al trazado de graficas.
Temario
Introducción
Cuando se esta tratando de bosquejar la grafica de una función
es muy conveniente conocer la forma en la que se esta arqueando (curvando)
en cierto intervalo . 
( )y f x
Esta información nos la da la segunda derivada , la cual indica la razón
de cambio de la pendiente de la recta tangente de la función :
''( )f x
( )y f x
 ''( ) '( )
d
f x f x
dx

;a b
Definición de concavidad
Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo abierto 𝐼. La gráfica de 𝑓 es
cóncava hacia arriba
Sobre 𝐼 si 𝑓’ es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo en 𝐼 si 𝑓’ es
decreciente en el intervalo.
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
𝑓′ 𝑓′es creciente es decreciente
Concavidad y puntos de inflexión 
''( ) 0f x 
;a b( )y f xTeorema: Sea dos veces diferenciable en el intervalo : 
en implica que la grafica es cóncava hacia arriba. ;a b
Las pendientes están creciendo y en tal caso surge un tipo de arqueamiento llamado
concavidad hacia arriba. 
f ’’(x) > 0
f es cóncava hacia 
arriba en <a;b>
f ’(x) está creciendo
a b
Concavidad y puntos de inflexión 
''( ) 0f x 
;a b( )y f xTeorema: Sea dos veces diferenciable en el intervalo : 
en implica que la grafica es cóncava hacia abajo. ;a b
Las pendientes están decreciendo y en tal caso surge un tipo de arqueamiento llamado
concavidad hacia abajo. 
f ’’(x) < 0 f es cóncava hacia 
abajo en <a;b>
f ’(x) está decreciendo
a b
Punto de inflexión
Cuando en la segunda derivada cambia de signo, es decir que 𝑓 pasa 
de un tipo de concavidad al otro en un punto entonces el punto:
recibe el nombre de PUNTO DE INFLEXION
;a b ''( )f x
;c a b
 , ( )c f c
Punto de 
inflexión
Punto de 
inflexión
Punto de 
inflexión
Cóncava 
hacia arriba
Cóncava 
hacia arriba
Cóncava 
hacia abajo
Cóncava 
hacia arriba
Cóncava 
hacia abajo
Cóncava 
hacia abajo
Teorema:
Sea un punto de inflexión de la grafica de una función
diferenciable en y sea . Si existe entonces:
 , ( )c f c ( )y f x
;a b ;c a b ''( )f c
''( ) 0f c 
Ejemplo: 
Si se cumple que 
esto no necesariamente implica 
que sea un punto de 
inflexión, por ejemplo:
''( ) 0f c 
 , ( )c f c
4( ) ( 3) 1f x x  
Regla para posibles puntos de 
inflexión
 ( ) ''( )=0 ''( ) , , 
''( ) 0, ,
1) ( , ( )) PUNTO DE INFLEXION
 ''( ) 0, ,
''( ) 0, ,
2) 
 ''
Sea f x una funcion tal que f c o f c no existe y c a b entonces
f x x a c
y c f c es un
f x x c b
f x x a c
y
f

  


  
 
( , ( )) PUNTO DE INFLEXION
( ) 0, ,
''( ) 0, , ''( ) 0, ,
3) 
 ''( ) 0, , ''( ) 0, ,
( , ( )) PUNTO DE INFLEXION
c f c es un
x x c b
f x x a c f x x a c
y y
f x x c b f x x c b
c f c no es



  
     
 
 
     

TEOREMA PARA PUNTOS DE INFLEXION
EJERCICIO:
En las siguientes funciones determine los intervalos de concavidad y los puntos de
inflexión:
3 23 2f ( x ) x x   
SOLUCION:
EJERCICIO:
En las siguientes funciones determine los intervalos de concavidad y los puntos de
inflexión:
2
( )
1
x
f x
x


SOLUCION:
Análisis de graficas
Determine los intervalos de concavidad de las siguientes funciones:
Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión:
EJERCICIO
3( ) 4f x x x 
SOLUCION:
GRAFICA:
Criterio de la segunda derivada
 , , 
1) ''( ) 0 ( ) MAXIMO RELATIVO
2) ''( ) 0 ( ) MINIMO RELATIVO
 , 
3) ''( ) 0 
 .
 
Sea c un punto critico de f y c a b entonces
f x f c es un
f x f c es un
el criterio falla usar el criterio de
f x
la primera derivada

 
 

  

 
TEOREMA : CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS
Ejemplo:
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los intervalos de 
concavidad de la función: 
31( ) ( 4) 4
2
f x x x  
SOLUCION:
2/3
2 ( 2)
'( ) . 0
3 ( 4)
x
f x
x

 

5/3
2 ( 8)
''( ) . 0
9 ( 4)
x
f x
x

 

Hallamos los puntos críticos y los puntos de inflexión:
EJEMPLO:GRAFICA:
¿Podrías ahora resolver el 
caso 1?
CASO 01: UN PROBLEMA DE EFICIENCIA
Percy es un ingeniero recién titulado que ha sido contratado como jefe de recursos
humanos de una fabrica de sacos de polietileno. Al evaluar la eficiencia de un obrero no
calificado, descubre que esta dada por la función 𝑓 𝑡 = 100 − 60𝑒−0.2𝑡 , donde el
trabajador puede completar 𝑓(𝑡) unidades por día después de haber trabajado meses.
Para poder presentar su informe ante el gerente general Percy, debe:
a) Trazar la gráfica de y observar su comportamiento
cuando crece sin límite.
b) ¿cuantas unidades por día puede completar un
obrero principiante?
c) ¿cuántas unidades por día puede completar un
trabajador con un año de experiencia?
d) Cuántas unidades por día puede esperarse que un
obrero produzca?
Podrías ayudar a Percy a presentar un excelente informe.
EVALUACIÓN INDIVIDUAL
Midamos el logro de mi aprendizaje
evaluación
1. Determine los intervalos de concavidad y puntos de inflexión de: 
2/3
3
( 5)
( )
4
x x
f x


2. Determine los intervalos de concavidad y puntos de inflexión de: 
5 31( ) (3 20 16)
8
f x x x  
3. Determine los intervalos de concavidad y puntos de inflexión de: 
3 2 3( ) 6f x x x 
TRANSFERENCIA – APLICACIÓN
Formemos equipos de trabajos para 
potenciar nuestros aprendizajes
PREGUNTAS FINALES:
1)¿Qué he aprendido en esta sesión?
2)¿Qué dificultades se presentaron en la solución de los ejercicios?
3)¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver aplicando la
optimización?
4)¿Alcanzaste el logro de la sesión?