Función

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FUNCIONES 
Pensemos correspondencias o relaciones entre dos conjuntos 
Ejemplos introductorios: 
1) Cada auto tiene asignado un número de patente. 
Los conjuntos son: 
● Todos los autos del país que están en circulación en la República Argentina 
● Todas las patentes de la República Argentina 
Veamos cómo es esta relación en un Diagrama de Venn 
 
observemos que ​a cada​ auto le corresponde una ​única​ patente 
2) A cada persona le corresponde un número de DNI 
Los conjuntos son: 
● Todas las personas registradas en el padrón de la República Argentina 
● Todos los números naturales formados con hasta 8 cifras. 
Realizar un Diagrama de Venn para visualizar la relación. 
 
Observemos​ que ​a cada​ persona registrada en el padrón le corresponde ​un único​ número de 
documento. 
 
3) Cada teléfono celular y su/s línea/s correspondientes 
Los conjuntos son: 
● Todos los teléfonos celulares en uso 
● Todos los números naturales de 13 dígitos 
Observemos que hay teléfonos celulares que admiten hasta tres chip, es decir, se le puede 
asignar a un mismo teléfono celular tres números diferentes. 
Hacer diagrama de Venn: 
 
4) Cada vivienda tiene designada un número. 
Los conjuntos son: 
● Todas las viviendas de la República Argentina 
● Todos los números naturales, incluido el 0, de hasta 4 cifras. 
Hacer Diagrama de Venn. 
 
Definición de función​: 
Una función es una relación entre dos conjuntos, que le asigna ​a cada elemento del 
primer conjunto​, ​uno y sólo un elemento del segundo conjunto​. Es decir, es necesario que ​todo 
elemento del primer conjunto se corresponda con un ​único​ elemento del segundo. 
 
Simbólicamente se escribe: y se lee “​y​ es igual a f de ​x ​” 
ó “​y​ está en función de ​x ​” 
ó “​y​ es la imagen de x a través de ”f 
Indica que los valores que tome la variable ​y​ dependen de los que tome la variable ​x ​. 
 ​y​ es la variable dependiente 
 
x​ es la variable independiente 
El conjunto de todos los valores que toma la variable independiente se llama ​DOMINIO de la 
función y se simboliza ​D​f ​. 
El conjunto donde están los valores que puede tomar la función se llama conjunto de llegada o 
codominio. Los valores que toma la función constituyen el ​RANGO​, el ​RECORRIDO o el 
CONJUNTO IMAGEN​ y se simboliza ​I​f​ . 
 
 
 
Convención​: ​en los casos en los cuales no tenemos explicitado el dominio y el codominio 
vamos a considerar como dominio el mayor subconjunto de los números reales en el cual la 
función esté bien definida, y como codominio al conjunto de los números reales. 
Ejemplos​: 
Determinamos cuáles de las relaciones de los ejemplos introductorios son una relación 
funcional. 
1) Es una relación funcional porque ​a cada auto que está en circulación le corresponde 
una única​ patente. 
Observación​: Si como variable independiente tomaríamos: todos los autos que están en la Rca. 
Argentina, no sería una relación funcional porque, por ejemplo, los autos 0km que aún están 
en concesionarias no tienen asignadas una patente. Entonces tendríamos elementos del 
dominio sin imagen lo que contradice el concepto de función. 
2) Así como están definidas las variables sí es una relación funcional. Pero si cambiamos 
la primera variable por: Todas las personas nacidas en la República Argentina, podría 
suceder que haya gente que no está registrada en el padrón. Entonces, como en al caso 
anterior, vamos a tener elementos del dominio (personas) que no van a tener 
 
asignados una imagen (número de documento), lo cual contradice el concepto de 
función. 
3) La relación del ejemplo tres ​no ​es funcional ya que hay al menos un elemento del 
dominio (un teléfono celular) al cual le corresponde más de un elemento del 
codominio (más de un único número de teléfono) y esto contradice la definición de 
función. 
4) La relación del ejemplo 4 ​no ​es funcional ya que hay elementos del dominio 
(viviendas) que no tienen imagen (no tienen asignado un número) y esto contradice la 
definición de función. 
Para pensar: 
El hecho de que a varias viviendas, como en el caso de un edificio, le corresponda un 
único número ¿Contradice la definición de función? 
 
Actividades​: 
1) Sea la función, dada por la tabla, que le asigna a cada alumno la cantidad de respuestas 
correctas, sobre un total de 10, en la evaluación del curso introductorio de matemática. Dé el 
dominio, el conjunto de llegada y el rango de la función. 
María → 5 
Juan → 1 
Andrés → 9 
Lautaro → 5 
Tamara → 4 
Jimena → 7 
2) Diga si las siguientes correspondencias, representadas mediante diagramas de Venn, 
son funcionales 
 
 
 
 
3) Consideremos las relaciones representadas en forma tabular, ¿Pueden ser funciones? 
Justifique. ​¿Qué dominio deberíamos asignarles? ¿Cuál es el rango en esos casos? 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
Funciones Escalares: 
Se denominan funciones escalares o funciones reales de variable real (o simplemente 
funciones reales) a aquellas en las cuales el dominio y el conjunto de llegada están incluidos 
en el conjunto de los números reales. 
Observación​: 
De aquí en adelante trabajaremos con funciones reales. 
 
Gráficas Cartesianas 
 
Sistema de ejes cartesianos​: está formado por dos rectas perpendiculares (forman un ángulo 
de 90°) llamados “ejes coordenados”. El horizontal es el eje de las ​abscisas y el vertical, el ​eje 
de ordenadas​. 
El sistema de ejes cartesianos divide al plano en cuatro 
cuadrantes​: 
- “​primer cuadrante​” tiene abscisa y ordenada positiva 
- “​segundo cuadrante​” tiene abscisa negativa y ordenada 
positiva. 
- “​tercer cuadrante​” tiene abscisa y ordenada negativa; y 
- “​cuarto cuadrante​” tiene abscisa positiva y ordenada 
negativa 
 
Cada ​punto P del plano puede ser localizado por un ​par de números ordenado​, único, como se 
indica a continuación: 
 
Trace rectas que pasen por P perpendiculares a los ejes de 
abscisa y ordenada. Estas rectas cruzan a los ejes en a y b, como 
se muestra en la figura. 
Entonces, al punto P se le asigna el par de números ordenado 
, llamados sus coordenadas. La primer coordenada “ ”a; )( b a 
recibe el nombre de abscisa de P y la segunda, “b” su ordenada. 
El punto ( ​0 ; 0 ) ​se llama origen de coordenadas. 
Actividades​: 
1) Dar las coordenadas de los puntos marcados en el plano: 
 
 
 
 
2) Represente gráficamente los siguientes puntos: (2;-4), (3;0), (-1;-½), (6;1), (-2;6), 
(0;1) y (0;-2). ¿Pueden representar una función? Justificar adecuadamente 
3) ¿Los puntos (0;1), (0;2), ( ) y (2; 12) pertenecen al gráfico de la función ;1√3 0 
f(x)=3 ?x2 − 1 
Observación​: Decir que un punto (x,y) está en la gráfica de la función es equivalente f 
a decir que al reemplazar ​x​ e ​y​ en la ley de la función, la igualdad resulta verdadera. 
4) Decir a qué cuadrante pertenecen los puntos analizando solamente el signo de las 
componentes: (-2;5), (π;¾), ( ;-½), (0;1), (3;0) y (-1;-2).√2 
 
 
 
5) Dada la función ​f(x) que le asigna el triple a cada número real, armar la ley, 
confeccionar la tabla y ubicar los pares que pertenecen a la función en un par de ejes 
cartesianos. 
x 
abscisa 
f (x) ​= 
ordenada 
(​x ​;​y ​) 
(abscisa ; ordenada) 
-3 
-2,5 
-1 
0 
1 
1,5 
2 
π 
 
6) ¿Cuáles de las siguientes gráficas cartesianas representan funciones? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) En cada caso determinar el dominio para que la gráfica represente una relaciónfuncional 
 
 
 
8) En cada caso determinar el dominio de la función dada por la ley: 
a) (x)g = √x 
b) (x)h = √x + 2 
c) (x)n = 3x − 4 
 
Estudio de la gráfica de una función 
 
PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS 
 
● CON EL EJE DE ABSCISAS 
La intersección entre la gráfica de una función y el eje de abscisas son puntos cuyas f 
ordenadas valen cero 
Es decir: je x (x ; )∩
 
 
e : i 0 
Cada abscisa se calcula resolviendo la ecuación xi (x)f = 0 
 
 
● CON EL EJE DE ORDENADAS 
La intersección entre la gráfica de una función y el eje de ordenadas es un punto cuya f 
abscisa vale cero 
Es decir: je y 0; )∩
 
 
e : ( y 
La ordenada se calcula haciendo y1 (0)f = y1 
 
Actividad​: 
1) Dar las coordenadas del punto de intersección entre la función representada por el 
siguiente gráfico y cada uno de los ejes de coordenados: 
 
 
¿Puede haber más de un punto de intersección entre la gráfica de una función y el eje de 
ordenadas? Justificar la respuesta 
 
2) Hallar (analíticamente) el punto de intersección entre la función dada por la ley 
 y cada uno de los ejes coordenadosx /2y = − 2 + 1 
 
CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN 
Son, desde el punto de vista gráfico, ​el/los valor/es de la abscisa de los puntos de intersección 
de la curva con el eje de abscisas​. 
Dichos valores de la abscisa corresponden a aquellos ​elementos del dominio para los cuales 
las imágenes son ceros​. 
Es decir: hallamos / omfxi ∈ D (x )f i = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad​: 
Determinar gráfica y analíticamente las raíces de la función (x) xf = 3 + 1 
 
ORDENADA AL ORIGEN DE UNA FUNCIÓN 
La ordenada al origen de una función es el valor de la ordenada del punto de intersección 
entre la gráfica de la función y el eje de ordenadas. 
En otras palabras, es el valor que toma la función cuando la abscisa vale cero. 
Es decir: hallamos m(f ) / f (0)y1 ∈ I = y1 
Actividad​: 
Determinar gráfica y analíticamente las raíces de la función (x) xf = 3 + 1 
 
INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO 
Actividad: Un paciente es internado y se le coloca un termómetro especial que registra la 
temperatura a cada instante. La siguiente gráfica describe la evolución de la temperatura con 
el paso del tiempo a partir del momento de internación. 
 
a) ¿Qué temperatura tenía el paciente al finalizar el primer día de internación? ¿Y el sexto? 
¿Cuándo tuvo 37°C? ¿Y 36,5°C? 
b) ¿Cuál fue la máxima temperatura que tuvo el paciente? ¿Cuándo se produjo? 
c) El informe médico dice que el paciente tuvo una recaída ¿Es posible saber cuándo fue? 
Justifiquen su respuesta. 
d) ¿En qué etapas la temperatura no varió? 
e) ¿Durante qué día se registró la temperatura más baja? ¿De cuánto fue? 
f) Dar lo intervalos de crecimiento y decrecimiento; y los intervalos donde la función se 
mantiene constante. 
 
 
El ​crecimiento o decrecimiento de una función se establece considerando una lectura del 
gráfico de izquierda a derecha. 
En el intervalo ( ;​a​) la función ​crece​, también lo 
hace en el intervalo ;​ y ​decrece​ en (​a,b​). 
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son 
los subconjuntos del dominio, para los cuales la 
función crece o decrece. 
Ejemplo: 
Observá cada gráfico y completá la tabla: 
 
 
 raíces ordenada 
al origen 
intervalos de 
crecimiento 
intervalos de 
decrecimiento 
f 1 
f 2 
f 3 
f 4 
 
 
INTERVALOS DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD 
Los ​intervalos de positividad y negatividad están formados por los elementos del dominio 
para los cuales la función toma valores positivos o negativos respectivamente. 
Cuando la gráfica tiene sus puntos ​en el semiplano superior respecto del eje de abscisas es 
porque los valores que toma la función ​son positivos​; los puntos que pertenecen al ​semiplano 
inferior​ corresponden a ​valores negativos​ de la función. 
 
En los intervalos reales la función es positiva; 
en , negativa. Observa que todos los intervalos 
considerados son abiertos: porque son infinitos a derecha o 
izquierda, o bien, porque en un extremo la función se anula (y 
el 0 no es positivo ni negativo). 
Actividad: Se han tomado nota de las temperaturas anunciadas por radio a lo largo de un 
día de invierno en el Gran Buenos Aires, desde las 5 hs hasta las 22:30hs. La siguiente tabla 
fue construida en base a esos once datos tomados de la radio: 
Hora del día Temperatura en grados centígrados 
 5 0 
 6 -2 
 7 -2,5 
 8 -2 
 9 2 
 12 8 
 14 12 
 16 12 
 18 9 
 21 7 
22:30 6 
 
a) Hagamos el gráfico de la función en un par de ejes cartesianos. ¿Tiene sentido unir los 
puntos? 
b) Uno de los datos es que a las 21hs hizo 7 grados ¿Habrá hecho esa misma temperatura en 
algún otro momento del día? 
c) ¿Hubo temperaturas bajo cero? ¿En qué momento ocurrieron? ¿Cómo te das cuenta 
mirando el gráfico? 
d) La mínima que se registró fue -2,5 grados. ¿Habrá sido la mínima del día? 
e) Dar los intervalos de positividad y negatividad de la función. 
 
Actividad: Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, positividad y negatividad, 
de la función representada por la siguiente gráfica: 
 
 
Actividad: 
Observá cada gráfico y completá la tabla: 
 
 
 raíces ordenada 
al origen 
intervalos de 
positividad 
intervalos de 
negatividad 
f 1 
f 2 
f 3 
 
EXTREMOS ABSOLUTOS 
Una función tiene un ​máximo absoluto​ cuando toma un 
valor que no es superado por ningún otro. 
y​1​ = M ​es el​ máximo de la función 
y se alcanza en x = a 
 
 
Mínimo absoluto: ​es el menor de todos los valores que toma 
la función. 
 
y​1​ = m ​es el​ mínimo de la función 
y se alcanza en x=a 
Actividad: 
Identificar los extremos absolutos en cada una de las gráficas: