TP 12 - 2015

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MATEMÁTICA II
CURSO 2015
PRÁCTICA XII: Transformaciones Lineales. Autovalores y
autovectores.
1. Analizar si las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales. En cada caso
justificar.
(a) T1 : R2 −→ R2, T1(x, y) = (x+ y, 2x− y);
(b) T2 : R3 −→ R3, T2(x, y, z) = (2x, x− y, y + z);
(c) T3 : R −→ R2, T3(x) = (x,−3x);
(d) T4 : R2 −→ R2, T1(x, y) = (x2, y2);
(e) T5 : R4 −→ R2, T1(x, y, z, w) = (x+ y + z, 2x− y − w + 2).
2. Dadas las siguientes aplicaciones:
T1 : R2 −→ R2, T1(x, y) = (x− y, x+ y);
T2 : R2 −→ R2, T1(x, y) = (x, x− y).
(a) Verificar que T1 y T2 son transformaciones lineales.
(b) Hallar T1 + T2, T1 ◦ T2 y T2 ◦ T1. Son transformaciones lineales cada una de
ellas? Justificar.
3. Sean B1 = {(−1, 1); (2, 1)} y B2{(1,−1); (0, 1)} dos bases de R2. Sean T1 y T2 las
siguientes transformaciones lineales:
T1 : R2 −→ R2, T1(x, y) = (x−y, x+y); T2 : R2 −→ R2, T2(x, y) = (x−2y, x+2y).
(a) Hallar la matriz de T1 respecto a la base canónica de R2.
(b) Hallar la matriz de T1 respecto a la base B1.
(c) Hallar la matriz de T1 respecto a las bases B1 y B2.
(d) Hallar la matriz de T2 respecto a la base canónica de R2.
(e) Hallar la matriz de T2 respecto a las bases B2 y B1.
(f) Hallar la matriz de T2 respecto a la base B2.
4. Sean B1 = {(1,−1); (0, 1)} y B2{(1, 1, 0); (0, 1, 1); (1,−1, 1)} dos bases de R2 y R3,
respectivamente. Sean T1 y T2 las siguientes transformaciones lineales:
T1 : R2 −→ R3, T1(x, y) = (x−2y, 2x+y, x+y); T2 : R3 −→ R2, T2(x, y, z) = (x+y, y−z).
(a) Calcular la matriz de T1 respecto a las bases B1 y B2.
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(b) Calcular la matriz de T2 respecto a las bases B2 y B1.
(c) Calcular T1 ◦ T2 y T2 ◦ T1.
(d) Calcuar la matriz de T1 ◦ T2 en la base B2. Calcuar la matriz de T2 ◦ T1 en la
base B1.
5. Sea Bc la base canónica de R3 y sea T : R3 −→ R3 una transformación lineal tal
que la matriz de T en la base Bc es:
[T ]Bc =
 1 −1 03 1 2
0 1 −3
 .
(a) Hallar T (1,−1, 2).
(b) Hallar T (x, y, z).
6. Sea B = {(1, 1, 0); (0,−1, 1); (0, 0, 1)} una base de R3 y sea T : R3 −→ R3 una
transformación lineal tal que la matriz de T en la base B es:
[T ]B =
 2 −1 00 1 1
0 0 2
 .
(a) Hallar T (1, 0,−1).
(b) Hallar T (x, y, z).
7. Hallar autovalores y autovectores para cada una de las siguientes transformaciones
lineales:
(a) T1 : R2 −→ R2, T1(x, y) = (3x+ 4y, 4x+ 9y);
(b) T1 : R2 −→ R2, T2(x, y) = (−2x− 2y,−5x+ y);
(c) T3 : R3 −→ R3, T3(x, y, z) = (x− y, x+ y, z).
8. Considerar las siguientes matrices de orden 3 :
A =
 0 1 −20 0 1
−3 k −1
 ; B =
 3 7 9−4 −5 1
2 4 4
 ; C =
 1 1 20 2 2
−1 1 3

(a) Hallar k ∈ R tal que λ = −3 sea autovalor de A.
(b) Es (4, −3, 1)T autovector de B?
(c) Verificar que λ = 2 es autovalor de C.
9. Hallar los autovalores y autovectores correspondientes a cada una de las siguientes
transformaciones lineales:
(a) T1 : R3 −→ R3, T1(x, y, z) = (−x− z, x+ 2y + z, x+ 2y + z);
(b) T2 : R3 −→ R3, T2(x, y, z) = (−y − 3z, 2x+ 3y + 3z,−2x+ y + z);
10. (a) Probar que los autovalores de una matriz triangular de orden n son los elemen-
tos de su diagonal principal.
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(b) Probar que si A es una matriz de orden n, entonces los autovalores de A
coinciden con los autovalores de AT .
(c) Probar que si A es una matriz de orden n entonces A tiene inversa sii λ = 0
no es autovalor de A.
(d) Probar que si A tiene inversa, entonces los autovectores de A coinciden con los
autovectores de A−1. Probar además que si λ es autovalor de A, entonces λ−1
es autovalor de A−1.
11. Sea T : R2 −→ R2 la transformación lineal dada por T (x, y) = (2x+ 3y, 3x− 6y).
(a) Hallar los autovalores y autovectores de T.
(b) Hallar una base B de R2 formada por autovectores de T.
(c) Hallar la matriz de T con respecto a la base B de autovectores.
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