parciales de Probabilidad y estadistica

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AP ELLIDO Y NOJ\IJ3RE: DNJ: 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE GENERAL SARMIENTO 
Probabilidad y Estadística 
Final - Primer Fecha 
Ejercicio 1 
Una marca de chiclets viene con figuritas ele matemáticos famosos ele regalo. En total hay 20 
figuras parn coleccionar. Cada paquete trae una sola figurita. 
a) (1-5 puntos) Un adolescente que colecciona las figuritas compra 6 paquetes de chiclets ( donde 
cada paquete tiene una figurita que puede ser cualquiera de los 20 matemáticos) , ¿qué probabilidad 
hay ele que hayan 2 o más figuritas repetidas? 
.JD (1 punto) Una figurita disponible es la del matemático Gauss. Si un adolescente compra 5 
paquetes, ¿qué probabilidad hay de que haya exactamente 1 o ninguna de Gauss? 
Indicar qué variable aleatoria (y su distribución) se puede utilizar para resolver este ítem. 
(Hay imlepen<lencia entre los distintintos paquetes) 
Ejercicio 2 
Sea (X. Y) un vector aleatorio continuo. Supongamos que .f x(x) =~,si O< x < 2 y .f x(:r: ) = O . {! x<y<x+2 en caso contrano, y J1,1x=x(Y) = 2 . 
O e.e. 
(a) (1 punto) Hallar la función de densidad conjunta del vector (X Y). 
(6) (1 punto) Hallar la función ele densidad marginal fy(y) para 2 <y< 4. 
Ejercicio 3 
' -~ 
il ( 1 punto) Enunciar el Teorema Central del Límite. 
1 (L5 punto) Aproximar la probabilidad de que entre 10000 dígitos aleatorios h. ay.a a lo sumo ¡1 
950 apariciones del número 3. h.. _-~ / 'l J -C\qQ-
~\,s _; ~,- u;l r1 .; ~1 
Ejercicio 4 ,/?J., t -'? ..,.-í 'J 
(1 punto) Enunciar el Teorema de Probabilidad Total y el Teorema de Ba,x.~- . l 1- -r -e 9 ~qq,_ o, r1 s - - -- _ ~-,..._¡_ 1 
Ejercicio 5 · \\1 · 
]._ (2 puntos) Se €_üSpechª-., que el cigarrillo durante el embarazo disminuye el desatrollo intelectual cl
1
~ - " } 
/ \ los niños. Para analizar la~h.a,__se testeó la afirmación de que el coeficiente intelectual de los 
/t \_ niños de las madres fumadoras a los 48 meses es meno:..9.~e el valor promedio sobre todos los niños 
(;..,._1------ñe 48 meses cuyo valor es ya conociclo y es ig@1 a J§. 
· Se tomó una muestra de _40 maclres que fumaban 10 o más cigarrillos por <lía, se midió el 
coeficiente intelectual de los f~ a los 48 meses, obteniendo un promedio muestra! J e 1~ con un 
desvío 3 stá1~ muestrál d~ Decidir si hay evidencia a favor de la afirmación a nivel o = O.OS. 
ey:\.(O Indicar las hipótesis , el estadístico del test y hallar el ~or. ,. __. 
. ~:, 4 ,X; :: d ~<. C' '"'{Q ·,Net{? &Q, \&s "'\ (\Q5 &.Q_ r«2)~ f '.!{¡ 
:tJ ( ~º~µ ,f '.Jo ~w<~ )+-\-~ 
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- 1 tJv O.O~ Q~ r-e_<~W,?x U,., 
PH.OBABILIDADES Y ESTADl,STI CA (UNGS) F 
INAL FEBRERO 2022: SEG UNDA FEC ll A 
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APELLIDO Y NOMBRES: .... . .... .. . ..... . ........... . 
LU o LEGAJO Nº: .. . .... . .... . . ... . 
mail: . ......... ... ...... @ .............. . ......... Tachar lo que no corresponda : [Regular \ Libre \ 
Si es R egular dar aiw y docentes: .... . .. . ........ . ...... . ......... . ... FIRMA: 
l 2 3 4 5 
1 NOTA 1 
Cada ítem vale un punto. Para aprobar es necesario obtener al menos 4 puntos. Los regulares deben 
tener 3 ítems bien resueltos y los libres 5 ítems bien resueltos. Justificar adecuadamente. 
l. Demuestre, usando axiomas de probabilidad (y explicitando cuáles son), la fórmula 
P (A) = 1 - P(Ac), donde Ac es el complemento del evento A. ,,/r 
2. Enunciar y demostrar ambos el Teorema ele probabilidad total y el teorema ele Baycs. 
3. Sea X una v.a. con distribución uniforme en el intervalo [4, 9], o sea X~ U[4, 9]. 
a) Dar la fórmula de la función de densidad f x ( x) y a partir de esta calcular ( mostrar procedi-
miento) la función de distribución acumulada Fx ( x). 
b) Mostrar cómo se realiza el cálculo de la esperanza de X en este caso y cuánto da. 
Enuncie el ,Teorema Central del límite, tanto para la suma como para el promedio de variables 
aleatorias i.i.d .. 
Para los ítems que siguen definir claramente las variables aleatorias y decir que distribución 
tienen. 
-,$ En los exámenes finales para las 2 fechas de febrero ele cierta materia van a rendir 100 
estudiantes. Aquellos con DNI par deber rendir en la primera fecha, mientras que los que 
tic11en DNI impar deben rendir en la segunda fecha. ¿Cuál es la probabilidad aproxiniada 
que se presenten más de 60 estudiantes para la primera fecha? 
,.$ Usando la desigualdad de Chebyshev acotar la probabilidad de que se presenten entre 40 
y 60 estudiantes para la primera fecha, o lo que es lo mismo (por si simplifica) acotar la 
probabilidad de que la proporción de estudiantes que rinden en primera fecha esté entre OA 
y 0,6. 
5. "i-l Mostrar el procedimiento de cómo se deduce el intervalo de confianza de nivel 95 % para µ 
en el caso general de variables normales con desvío a conocido. 
ú) Sea X 1, ... , X25 una muestra aleatoria, con Xi~ N(p,,4) . 
1) ¿ Cuáles serían los extremos de un intervalo de confianza de nivel 95 % si el promedio 
muestra! resulta Xoss = 15? 
2) ¿Qué debería cumplir el valor observado X085 para rechazar la hipótesis nula Ho si Sé 
r<)aliza 11n test rlc hipótesjs rle nivel 5 % rlonde H0 : ¡1 = 16 vs. H 1 : JJ, < 16? 
PHOl:lABILIDADES y ESTADÍSTICA (UNGS) 
FINAL l\!lAYO DE 2022 
APELLIDO Y NOlVIBRE: DNl: 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE GENERAL SARMIENTO 
Probabilidad y Estadística 
Final - Primera fecha -
1. Sea .'( una variable aleatoria con función de distribución acumulada dada por 
{ 
o 
0.3 
Fx (:1:) = 0.4 
0.6 
1 
si x < l 
~i 1 :'.S X< 3 
si 3 :'.S X< 6 
Si 6 :'.S X< 12 
Si 12 :'.S X 
(a) (1 puuto) Ha llar la funcióu de probabilidad puntual de X. 
(b) (1 punt.o) Calcular P (X :'.S 6) y P (2 < X :'.S 5) 
(e) (l punto) Se obtienen 5 observaciones independientes de X . Sea Y= cantidad de observaciones 
menores o iguales a 6. ¿Qué distribución tiene Y? ¿De qué parámetros? 
(3sca Xi, .. . , ,Y16 una muestra aleatoria con distribución N(µ, 16). Sea Y= 4(Xw - µ) . 
(a) (1 punto) Hallar E(Y) y Var(Y). 
(b) ( l punto) ¿ Cuál es la distribución de Y? 
3. (1.5 puntos) Sea X una variable aleatoria con E(X) = -8, Var(X) = 5 y Var (X 2) = 2. Marcar co11 
una X las identidades que son siempre verdaderas. 
• E (3X - X 4 ) = -4787 X 
• E((x2 -2) 2) =4491 X 
• E(X2 -6X+3) = 115 
• Var (5X2 + 5) = 15 
• Var (8X2 - 7) = 121 
• Var (6 - 5X2 ) = 50 X 
(1 punto) Enunciar el ! eorema Central del Límite (con el mayor detalle posible). 
(1 punto) Sea (Sn)n>I una sucesión de variables aleatorias tales que Sn ~ Binomial(n,p). Calcule 
an siendo (an)nEN una sucesión de números reales definida por: 
( 
Sn - np ) ª11. := P --;e=== 2 1, 96 . 
Jn(l - p)p 
5. (1.5 puntos) El peso (e11 gramos) de las manzanas de una cierta región de la Patagonia es uua variable 
aleatoria normal con varianza conocida <J2 = 36. Juan desea saber si el peso medio ele las manzanas 
producidas en su chacra en dicha región de la Patagonia es diferente de 210 gramos. Para ello, toma 
50 manzana.5 de la producción de su chacra y testea a nivel 0.05 las siguientes hipótesis : Ha : µ = 210 
versus H
1 
: µ -/= 210 donde µ es el peso medio de una manzana producida en la chacra de Juan. 
Suponiendo que e] verdadero peso medio de ]as manzanas producidas en la chacra de Juau es de 212 g, 
¡,cuál es ]a probabilidad de rechazar Hu? Elegir la única opción correcta: 
• Aproximadamente O. 
• Aproximadamente l. 
• <Ji (210-212 + 1.64) 
• l _ <Ji (2w-212 _ 1,64) J3a7so 
• l _ <Ji (210-212 + l.96) + <Ji (210-212 _ 1,96) X /J6/5o /J6/5o 
• <P (210-212 + 1.96) - <P (210-212 - 1.96) fi7su fi7su 
• Níng1rna de las anteriores. 
1 
1 
f 
1 
\ 
\ 
PROBABILIDADES y ESTADÍSTICA (UNGS) FINAL IVlAYO OS 2022 
APELLIDO y NOMBRES:...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LU O LEGAJO Nº: .... . ............ . 
mail: . . .. .. . . ... . . . . ... . @ ... . .... . . ........ . ... .. Tacharlo que no corresponda: \ Regular J Libre [Si es Regulm· dar añ.v y docentes: ......................... .. . . ........ FIRMA: 
2 3 4 5 
1 NOTA 1 
Cada ítem rnle un punto. Para a.probar es necesario obtener al menos 4 puntos. Los regulares deben 
tener 3 ítems bien resueltos y los libres 5 ítems bien resueltos. Justificar adecuadamente. 
-;'}. Sean A y B dos eventos de un espacio muestra! n 
De11111estre la fórmula P(AU B) = P(A) + P(B) - P(A n B) 
i Demostrar que si A y B son eventos indepenclient~s, entonces los eventos Ac .Y B tam bién In 
son, donde .4..:: es el complemento de A. &e,l ~ ~ r>Q 
Sea X una. v.a.. con distribución exponencial con parámetro ,\ = 5. 
~ Darla. fórmula ele la función ele densidad fx(x) y a partir de esta calcular (mostrar procedi-
miento) la función de distribución acumulada Fx(x). 
Mostrar cómo se realiza el cálculo ele la esperanza ele X en este caso y cuánto da. 
~\J}(j) Para el experimento aleatorio ele lanzar 2 ciados equilibrados, de resultados independientes, ::;ean 
las variables Y = "mínimo valor de los ciados" y Z = "máximo valor de los ciados" 
a) Dar el rango de Y, la. distribución de probabilidades de Y y la esperanza ele Y 
b) Dar el rango del vector aleatorio (Y Z) y la función de probabilidad conjunta o la tabla de 
probabilidades. Calcular P(IY - ZJ > 3) 
e) ¿Son las variables Y y Z son independientes? Justificar adecuadamente. 
iJ Enuncie el Teorema Central del límite, tanto para la suma corno para el promedio de variables 
aleatorias Í.i.d .. 
La cantidad de compras el día i en una casa ele electrodomésticos se considera una varia.ble 
aleatoria Xi, cuya distribución es desconocida, con JE( X;) = µ y VAR( X;) = a2 . Además 
se supone que las Xi son independientes. Durante 36 días se observa la cantidad de compras 
diarias. 
•~ Si µ = 9 y a 2 = 100 fueran conocidos, ¿cuál es la probabilid.!id aproximada de que la 
r-----..._____ media muestra} de cantidad de llamadas esté entre 8,9 y 9J? 
\ ~ Si en cambio µ y a 2 fueran desconocidos y la media muestra! de los 36 días fuera de 
X36 = 15,3, y el desvío muestra! observado fuera S = 20, 
/ j • ¿C11~l ser'.ª el intervalo de 90 % de confiaud para ¡1? 
- 4G ¿Cual sena el p-va]or para el test para H0 : µ=IS Vs. H 1 : µ > 15? 
PROBABILIDADES y ESTADÍSTICA (UNGS) FINAL DICIEMBRE 2022: PRIMERA FECHA 
APELLIDO y NOMBRES:... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LU O LEGAJO Nº: · · · · · · · · · · · · · · · · · · 
mail: . .. .. ... .. .. . ... . . . @ ........................ Tachar lo que no corresponda: 1 Regular I Libre 1 
Si es Regular dar ario y docentes: .. . .... . . . .. .. .......... . ... . . .. ..... FIRMA: 
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1 NOTA 1 
Cada ítem vale un punto. Para aprobar es necesario sumar al menos 4 puntos. Los regulares deben tener 
mínimo 3 ítems bien resueltos y los libres mínimo 5 ítems bien resueltos. Justificar adecuadamente. 
1. a) Enunciar y demostrar el Teorema de Probabilidad Total y el Teorema de Bayes 
b) La población actual en la ciudad de Lusail, Catar está compuesta de la siguiente forma: 
5 % turistas argentinos, 60 % turistas no argentinos, 35 % residentes locales. El 95 % de los 
turistas argentinos, el 10 % de los turistas no argentinos y el 30 % de los residentes locales 
llevan puesta la camiseta de la selección argentina el dia del partido Argentina-Croacia. 
Si se elije al azar una persona de Lusail el día del partido y resulta tener puesta la camiseta 
de la selección argentina, ¿qué probabilidad hay de que sea un turista argentino? 
2. a) Probar que si X~ Bi(l,p) entonces IE(X) = p y VAR(X) = p(l - p). 
b) Si X ~ Bi( n, p), Dar la esperanza y varianza de X justificando cómo se calculan dichos 
valores .. 
3. Sea el vector aleatorio (X, Y) con densidad uniforme en el triángulo de vértices (O, O) , (1, O) y 
(2, 2). · 
a) Determinar la densidad de X. 
b) Dar intervalos ( a, b) y ( c, d), de manera que 
IP'(X E (a, b), Y E (c, d)) =Opero que IP'(X E (a, b)) -IP'(Y E (e, d)) >O, (1) 
sin realizar cálculos, y comentar si tiene alguna implicancia lo encontrado en (1). 
- 4. Sea X1 , ... , Xn una muestra aleatoria. 
a) Enunciar la desigual dad de TChebyshev aplicada a la media muestra! Xn. 
b) Suponiendo que las Xi tienen distrib~ción exponencial con IE(Xi) = 100, ¿qué debe cumplir 
n parnpoder asegurar que IP'(90 < Xn < 110) > 0,95? , -, 
5. Cierta figura política tiene una imagen negativa del 40 %. Cierto día: ocurre un suceso de álta 
tr~cen?encia que la involucra. Se quiere medir con un test . de hipótesis de nivel 5 % si hay 
evidencia de que h~ya aumentado la imagen negativa luego del suceso. Para tal fin se realiza 
una e~cuesta a 225 personas sobre la imagen de la figurá. 
a) ¿ Cu~tas perso_n~s de las 225 :nc~estadas deberían ver a la figura política con imagen 
negativa para clec1d1r que aumento la Imagen negativa? 
b) Si la imagen negativa poblacional luego del suceso de alta trascendencia fuera de 50 01 , 
b b'J'dad . d io , que pro a 11 aproxima a h_ay de que el test se equivoque en su decisión?