FINAL_16-5-13

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U.T.N. F.R.H. - Examen final de Álgebra y Geometría Analítica − Mayo 2013 
Alumno: .............................................................. Especialidad: ........................................... 
Profesor con quien cursó la asignatura:....................................... Año y mes de firma TP: ........... 
Ejercicio 1 2 3 4 5 Calificación 
Corrector a b 
 
 
Calificación Final:...................................................... 
 
Ejercicio 1. Dos caras de un cubo están en los planos 01221 =−+−≡π zyx y 
05222 =++−≡π zyx . Calcular el volumen del cubo. 
 
Ejercicio 2. Dada la matriz 










−
−=
101
111
101
M , hallar las matrices A, triangular inferior, y B, 
triangular superior, con bi,i =1 con i=1 , 2 , 3, tales que M =A ⋅B. 
 
Ejercicio 3. Sea A ⋅X =B un sistema no homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas y 
A ⋅X =O el sistema homogéneo asociado. Analizar si la siguiente proposición es verdadera o falsa. 
En caso de ser verdadera, demostrarla; caso contrario, dar un contraejemplo. 
“Si A ⋅X =O tiene infinitas soluciones, es posible que A ⋅X =B no tenga solución.” 
 
Ejercicio 4. Sea f: Rn→Rn una transformación lineal tal que nR∈∀= xxfxff
rrr
)())(( , o sea 
idempotente de índice 2. Demostrar que )(xfxv
vvv
−= es autovector de f. Mencionar todas las 
propiedades usadas e indicar cuánto vale el autovalor asociado a v
r
. 
 
Ejercicio 5. Sea f: R3→R3 la transformación lineal que a cada vector 3R∈x
r
 lo proyecta sobre la 
dirección normal al plano 0=++≡π CzByAx . Sea g: R3→R3 la transformación lineal que a cada 
vector 3R∈x
r
 le hace corresponder su vector simétrico con respecto al plano π, ')( xxg
rr
= . 
a) Hallar los escalares reales α y β tales para los que se verifica la siguiente relación: 
)()( xfxxg
rrr
β+α= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Si 022 =+−≡π zyx , comprobar que no es correcta la expresión 






−+−++−+= zyxzyxzyxxg
9
7
9
4
9
4
,
9
4
9
1
9
8
,
9
4
9
8
9
1
)( . 
y 
x 
z 
π 
x
r
 
)(xg
r