FINAL_27-2-14

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U.T.N. F.R.H. – Examen final de Álgebra y Geometría Analítica - Febrero 2014 (T 3) 
 
Alumno: .......................................................................... Especialidad: .................................. 
Profesor con quien cursó:.............................................. Mes y año de firma TP: .................. 
 
Ejercicio 1 2 3 4 
Corrector a b a b c a b a b 
Calificación 
final 
 
 
 
Calificación Final:...................................................... 
Ejercicio 1. 
Considerando el gráfico de análisis y sus datos (el punto D pertenece al plano (y;z)), se pide: 
 
 
 z . 
 C 
 D 
 B(3;0;2) 
 O 
 y 
 E(3;4;1) 
 A 
 x 
a) Escribir las ecuaciones de las rectas 1r que pasa por los puntos C y D y 2r que pasa por los puntos A y E y 
calcular la distancia entre las mismas. 
b) Si 33 RRf →: , es una transformación lineal que a cada punto de 3R le hace corresponder su simétrico 
respecto del plano: (x;z), determinar el volumen de AE’D’CDE, con E’ simétrico de E y D’ simétrico de D. 
Ejercicio 2. 
Para cada una de las siguientes afirmaciones, determinar su valor de verdad (verdadera ó falsa). Si resulta 
verdadera demuéstrela y si es falsa justifique adecuadamente o proponga un contrajemplo: 
a) Si el subespacio S , está generado por: { }cba ,, , con la condición: 0=++ cba , entonces la dimensión 
de dicho subespacio siempre es igual a: 3. 
b) Si el conjunto de vectores: { }baM ,= es un conjunto de vectores ortonormales de 3R , el conjunto 
( ) ( ){ }bxabxaxabxaxabaC ,,,,= , constituye un sistema de generadores para 3R . 
c) Si: 33 RRf →: , es una transformación lineal tal que: ( ) ( )1;0;1.)2(2;1;3 −=−f , ( ) ( )1;1;21;5;1 =−f 
y ( ) ( )1;1;41;4;2 −−=−f , entonces dicha transformación lineal es única. 
Ejercicio 3. 
a) Construya la matriz: ( )


 =−
→=∧∈
casosdemáslosen
jisi
aaARA ijij
x
0
11
33
:
/ . 
b) Encontrar una expresión general para: nA2 , con Nn∈ . 
Ejercicio 4. 
a) Si 










=
010
101
010
B es la matriz asociada a una transformación lineal: 33 RRf →: , hallar los autovalores y 
sus subespacios correspondientes, interpretándolos geométricamente. 
b) Demostrar, que si λ es autovalor de nxnRC ∈ con autovector X , entonces 2λ es autovalor de 2C con el 
mismo autovector X .