UNIDAD N4

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Unidad N°4
La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. 
Por tanto, las probabilidades son una medida del grado de incertidumbre asociado 
con cada uno de los eventos previamente enunciados.
Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1. Los valores 
cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra un evento son muy pocas. 
Los cercanos a 1 indican que es casi seguro que ocurra un evento.
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Unidad N°4
En el contexto de la probabilidad, un experimento es definido como un proceso que genera 
resultados definidos. Y en cada una de las repeticiones del experimento, habrá uno y sólo uno 
de los posibles resultados experimentales.
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Unidad N°4
Conjunto de todos los posibles resultados experimentales.
• Punto muestral: Cada uno de los posibles resultados experimentales
Probabilidad como medida numérica de la Posibilidad de que un evento ocurra:
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Unidad N°4
Considere el primer experimento presentado en la tabla anterior, lanzar una 
moneda. La cara de la moneda que caiga hacia arriba —cara o cruz— determina el 
resultado experimental (puntos muestrales). Si denota con S el espacio muestral, 
puede emplear la notación siguiente para describir el espacio muestral:
𝑆 = 𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑟𝑢𝑧
Si se considera el cuarto experimento enumerado en la tabla, lanzar un dado, los 
resultados experimentales, definidos por el número de puntos del dado en la cara 
que cae hacia arriba, son los seis puntos del espacio muestral de este experimento:
𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
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Unidad N°4
Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y 
contar los resultados experimentales. Las tres reglas de 
conteo más utilizadas son:
• Experimentos de pasos múltiples
• Combinaciones
• Variaciones
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Unidad N°4
La primera regla de conteo sirve para experimentos de pasos múltiples. Considere 
un experimento que consiste en lanzar dos monedas. ¿Cuántos resultados 
experimentales tiene este experimento? 
El experimento de lanzar dos monedas es un experimento de dos pasos: el paso 1 
es lanzar la primera moneda y el paso 2 es lanzar la segunda moneda. Si se emplea 
H para denotar cara y T para denotar cruz, (H, H) será el resultado experimental en 
el que se tiene cara en la primera moneda y cara en la segunda moneda.
𝑆 = 𝐻,𝐻 , 𝐻, 𝑇 , 𝑇, 𝐻 , (𝑇, 𝑇)
Por tanto, hay cuatro resultados experimentales.
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Unidad N°4
Un experimento se describe como una sucesión de k pasos en los que hay n1
resultados posibles en el primer paso, n2 resultados posibles en el segundo paso y así 
en lo sucesivo, entonces el número total de resultados experimentales es (n1) (n2) . . . 
(nk).
Si considera el experimento del lanzamiento de dos monedas como la sucesión de 
lanzar primero una moneda (n1=2) y después lanzar la otra (n2=2), siguiendo la regla de 
conteo (2)(2)=4, entonces hay cuatro resultados distintos. El número de resultados 
experimentales de seis monedas es (2)(2)(2)(2)(2)(2)=64.
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Unidad N°4
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos 
múltiples. En la figura aparece un diagrama de árbol para el experimento del lanzamiento de dos monedas. La 
secuencia de los pasos en el diagrama va de izquierda a derecha.
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Unidad N°4
Otra regla de conteo útil le permite contar el número de resultados experimentales 
cuando el experimento consiste en seleccionar n objetos de un conjunto 
(usualmente mayor) de N objetos. La regla de conteo para combinaciones es:
𝐶𝑛
𝑁 =
𝑁
𝑛
=
𝑁!
𝑛! 𝑁 − 𝑛 !
La notación ! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120.
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Unidad N°4
EJEMPLO: considere un procedimiento de control de calidad en el que un inspector 
selecciona al azar dos de cinco piezas para probar que no tengan defectos. En un 
conjunto de cinco partes, ¿cuántas combinaciones de dos partes pueden 
seleccionarse? En este caso: N = 5 y n = 2 se tiene
𝐶2
5 =
5
2
=
5!
2! 5 − 2 !
=
5 4 (3)(2)(1)
(2)(1)(3)(2)(1)
=
120
12
= 10
De manera que hay 10 combinaciones posibles en este experimento de selección 
de dos partes de un conjunto de cinco.
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Unidad N°4
Dicha regla permite calcular el número de resultados experimentales cuando se 
seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos y el orden de selección es relevante. 
Los mismos n objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado 
experimental diferente. El número de variaciones de N objetos tomados de n en n está 
dado por
𝑉𝑛
𝑁 =
𝑁
𝑛
=
𝑁!
𝑁 − 𝑛 !
La regla de conteo para variaciones tiene relación estrecha con la de combinaciones; sin 
embargo, con el mismo número de objetos, el número de variaciones que se obtiene en 
un experimento es mayor que el número de combinaciones, ya que cada selección de n 
objetos se ordena de n! maneras diferentes.
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Unidad N°4
EJEMPLO: reconsidere el proceso de control de calidad en el que un inspector 
selecciona dos de cinco piezas para probar que no tienen defectos. ¿Cuántas 
variaciones puede seleccionar?
𝑉2
5 =
5
2
=
5!
5 − 2 !
=
(5)(4)(3)(2)(1)
(3)(2)(1)
=
120
6
= 20
De manera que el experimento de seleccionar aleatoriamente dos piezas de un 
conjunto de cinco piezas, teniendo en cuenta el orden en que se seleccionen, tiene 
20 resultados
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Unidad N°4
En la vida cotidiana nos solemos encontrar con una serie de situaciones cuyas 
consecuencias conocemos y de antemano podemos predecir y otras situaciones cuyos 
resultados no se pueden predecir.
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Unidad N°4
Son los hechos o sucesos que ocurren 
con seguridad. En ellos se conoce de 
antemano, con certeza, el resultado. 
Ejemplo:
• Después de las 6:00 son las 7:00.
• Soltar un jarro en el aire para ver si 
cae al suelo.
• Cinco más cinco es igual a diez.
Fenómenos con distintos resultados posibles, de 
los que no se puede hacer afirmaciones certeras 
hasta que hayan ocurrido. Son aquellos en 
donde no se sabe con seguridad lo que va a 
pasar. Estos sucesos dependen del azar.
Entre los fenómenos aleatorios se encuentran 
todos los juegos de azar y una gran cantidad de 
situaciones cotidianas que son todas aquellas 
que tienen más de un resultado posible. 
Ejemplo:
• Al tirar un dado quedará 6 en la cara superior.
• Ganar la competencia de natación
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Unidad N°4
Existen tres métodos principales para asignar probabilidades:
• Método Clásico
• Método Frecuentista
• Método Bayesiano
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Sin importar que método se utilice, existen requerimientos básicos para la asignación de 
Probabilidades:
1. La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1, inclusive. Si 
denota con Ei el i-ésimo resultado experimental y con P(Ei) su probabilidad, entonces exprese 
este requerimiento como:
0 ≤ 𝑃 𝐸𝑖 ≤ 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖
2. La suma de las probabilidades de los resultados experimentales debe ser igual a 1. Para n 
resultados experimentales escriba este requerimiento como:
𝑃 𝐸1 + 𝑃 𝐸2 +⋯+ 𝑃 𝐸𝑛 = 1
Unidad N°4
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Unidad N°4
• Enfoque clásico
• Enfoque Frecuentista
Para asignar probabilidades a los 
posibles resultados de un proceso 
aleatorio sólo tienen en cuenta 
información empírica y objetiva
• Enfoque Bayesiano
Para asignar probabilidades a los 
posibles resultados de un proceso 
aleatorio puede incorporar tanto la 
información que sobre el experimento 
tenga el investigador, como la que 
proviene de otros experimentos 
anteriores relacionados.
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Unidad N°4
El método clásico de asignación de probabilidades es apropiado cuando todos los 
resultados experimentales tienen la misma posibilidad. Si existen n resultados 
experimentales, la probabilidad asignada a cada resultado experimental es 1/n. 
Por ejemplo, considere el experimento del lanzamiento de una moneda, los dos 
resultados experimentales —cruz o cara— tienen la misma posibilidad. Como uno 
de los dos resultados igualmente posibles es cara, la probabilidad deque caiga 
cara es 1/2 o 0.50. Asimismo, la probabilidad de que caiga cruz también es 1/2 o 
0.50.
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Otro ejemplo, considere el experimento de lanzar un dado. Es razonable pensar que los seis 
resultados que pueden presentarse son igualmente posibles y, por tanto, la probabilidad asignada 
a cada resultado es 1/6. Si P(1) denota la probabilidad de que la cara del dado que caiga hacia 
arriba sea la que tiene un punto, entonces P(1) = 1/6. De manera similar P(2) = 1/6, P(3) = 1/6, P(4) = 
1/6, P(5) = 1/6 y P(6) = 1/6. Observe que dichas probabilidades satisfacen los dos requerimientos 
básicos, porque cada una es mayor o igual que cero y juntas suman 1.0.
Unidad N°4
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Entonces la medida de la probabilidad de que ocurra un suceso viene expresada como el cociente 
entre el número de resultados favorables al suceso y el número total de resultados posibles, 
siempre y cuando todos los resultados posibles se consideren como equiprobables.
𝑃 𝐴 =
𝑛° 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐴
𝑛° 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
→ 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆
Unidad N°4
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Unidad N°4
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Unidad N°4
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta de un maso de cartas de póker, salga de 
corazones?
𝑃 𝐴 =
𝑛° 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐴
𝑛° 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑃 𝐴 =
𝑛° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑛° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑧𝑜
=
13
52
= 0.25
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Unidad N°4
El método Frecuentista para la asignación de probabilidades es el más 
conveniente cuando existen datos para estimar la proporción de veces que se 
presentarán los resultados si el experimento se repite muchas veces.
Se expresa como el cociente entre el número de resultados favorables al suceso y 
el número total de repeticiones del experimento.
Las condiciones en las que se repite el experimento deben ser similares.
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Se basa en asignar probabilidades con base en la experimentación o datos históricos.
𝑃 𝐴 =
𝑛° 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑒𝑟𝑜𝑛
𝑛° 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑖ó 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Permite calcular probabilidades coherentes en experimentos donde sus posibles resultados no se 
pueden considerar como igualmente verosímiles
Unidad N°4
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Ejemplo:
Considere un estudio sobre los tiempos de espera en el departamento de rayos x de un hospital 
pequeño. Durante 20 días sucesivos un empleado registra el número de personas que están 
esperando el servicio a las 9:00 a.m.; los resultados son los siguientes.
𝑃 0 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛 =
2
20
= 0.10
𝑃 3 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛 =
4
20
= 0.20
Unidad N°4
N° de
personas
N° de días
0 2
1 5
2 6
3 4
4 3
TOTAL 20
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Unidad N°4
Se fundamenta en el supuesto de que 
en sucesivas repeticiones del 
experimento o fenómeno bajo 
condiciones similares, las frecuencias 
relativas de un suceso tienden a 
estabilizarse alrededor de un número 
constante.
Hace referencia a la independencia o no 
causalidad entre cada realización del 
proceso.
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Limitaciones:
La primera limitación surge del hecho de que la asignación de probabilidades mediante frecuencias 
relativas únicamente es aplicable en procesos susceptibles de ser repetidos. Quedarían, pues, 
excluidos todos aquellos procesos que no pueden ser reproducidos como los fenómenos donde el 
investigador es mero observador (fenómenos meteorológicos), o el caso de aquellos experimentos 
en donde la obtención de un resultado conduce a la destrucción de la unidad observada, con el 
consiguiente coste económico que esto genera.
Unidad N°4
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Unidad N°4
Es un método subjetivo de asignación de probabilidades. Es el más indicado 
cuando no es factible suponer que todos los resultados de un experimento sean 
igualmente posibles y, además, cuenta con pocos datos relevantes. Usa toda la 
información disponible, por ejemplo, la propia experiencia o la intuición. Después 
de considerar dicha información se asigna un valor de probabilidad que expresa el 
grado de confianza (en una escala de 0 a 1) que tiene acerca de que un resultado 
experimental ocurra. Como la probabilidad subjetiva expresa el grado de confianza 
que tiene un individuo, es personal. Cuando se usa el método de probabilidad 
subjetiva, es de esperarse que personas distintas asignen probabilidades 
diferentes a los mismos resultados de un experimento.
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Unidad N°4
Un evento es una colección de puntos 
muestrales.
La probabilidad de cualquier evento es 
igual a la suma de las probabilidades de 
los puntos muestrales que forman el 
evento.
1- El espacio muestral S es un evento. Puesto que contiene todos los resultados experimentales, su 
probabilidad es 1; es decir P(S) = 1. 
2- Cuando se usa el método clásico para asignar probabilidades, se parte de que todos los resultados 
experimentales son igualmente posibles. En tales casos la probabilidad de un evento es calculable 
contando el número de resultados experimentales que hay en el evento y dividiendo el resultado entre el 
número total de resultados experimentales.
1
2
3
4
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Unidad N°4
Sucesos Complementarios
Sucesos Mutuamente Excluyentes
Sucesos No Mutuamente Excluyentes
Sucesos Colectivamente Exhaustivos
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Unidad N°4
Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de 
todos los puntos muestrales que no están en A. El complemento de A se denota Ac
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado
Evento A: Que salga número par
Evento Ac: Que salga número impar
𝐴 = 2,4,6 𝐴𝑐 = 1,3,5
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Unidad N°4
El área rectangular representa el espacio muestral del experimento y, por tanto, contiene todos los puntos 
muestrales. El círculo representa el evento A y encierra sólo los puntos muestrales que pertenecen a A. La región 
del rectángulo fuera del círculo incluye todos los puntos muestrales que no están en el evento A y es, por 
definición, el complemento de A.
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Unidad N°4
En cualquier aplicación de la probabilidad ocurre un evento A o su complemento 
Ac. Por tanto,
𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐴𝑐) = 1
Entonces,
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴𝑐)
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Unidad N°4
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado
𝐴 = 2,4,6 𝐴𝑐 = 1,3,5
2 4
6
1 3
5
35
Unidad N°4
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos 
muestrales en común. Cuando un evento ocurre, el otro no puede ocurrir. 
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado
Evento A: Que salga el número 2
Evento B: Que salga el número 6
𝐴 = 2 𝐵 = 6
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Unidad N°4
El área rectangular representa el espacio muestral del experimento y, por tanto, contiene todos los puntos muestrales. El 
círculo correspondiente al evento A encierra sólo los puntos muestrales que pertenecen a A. El círculo correspondiente al 
evento B encierra sólo los puntos muestrales que pertenecen a B. La región del rectángulo fuera de los círculos incluye todos 
los puntos muestrales que no están en el evento A ni en el evento B.
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Unidad N°4
La ley de la adición proporciona una manera de calcular la probabilidad de que 
ocurra el evento A o el evento B
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
En el Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado
Evento A: Que salga el número 2 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
1
6
+
1
6
=
2
6
Evento B: Que salga el número 6
La probabilidad de que al lanzar un dado salga un 2 o un 6 es 0.33 (2/6) 
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Unidad N°4
Se dice que dos eventos son No mutuamente excluyentes si tienen puntos 
muestrales en común. Cuando un evento ocurre, puede ocurrir el otro o ambos a la 
vez. 
Ejemplo:
Experimento: Analizar el motivo por el los empleados de una compañía se van 
antes de cumplir los dos años de trabajo
Evento A: Insatisfechos con el salario
Evento B: Descontentos con el trabajo
𝐴 = 30 𝐵 = 20 A ∩ 𝐵 = 12 𝑆 = 100
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Unidad N°4
El área rectangular representa el espacio muestral del experimento y, por tanto, contiene todos los puntosmuestrales. El círculo 
correspondiente al evento A encierra los puntos muestrales que pertenecen a A. El círculo correspondiente al evento B encierra los 
puntos muestrales que pertenecen a B. La intersección entre ambos círculos encierran los puntos muestrales que pertenecen tanto a A
como a B. La región del rectángulo fuera de los círculos incluye todos los puntos muestrales que no están en el evento A ni en el evento 
B.
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Unidad N°4
La ley de la adición proporciona una manera de calcular la probabilidad de que 
ocurra el evento A o el evento B o ambos
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Experimento: Analizar el motivo por el los empleados de una compañía se van 
antes de cumplir los dos años de trabajo
Evento A: Insatisfechos con el salario
Evento B: Descontentos con el trabajo
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 0.30 + 0.20 − 0.12 = 0.38
Así, la probabilidad de que un empleado se vaya de la empresa por el salario o por 
el trabajo es 0.38.
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Unidad N°4
Se dice que A, B, C y D son eventos colectivamente exhaustivos si la unión de todos 
ellos es el espacio muestral S. Al realizar un experimento, al menos uno de los 
eventos debe ocurrir. 
Ejemplo:
Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son :
1,2,3,4,5 y 6
Deberá cumplirse que la suma de las probabilidades de todos los sucesos debe ser 
igual a 1.
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Unidad N°4
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Unidad N°4
Con frecuencia, en la probabilidad de un evento influye el hecho de que un evento 
relacionado con él ya haya ocurrido. Supongamos que queremos calcular la P(A) 
suponiendo que otro evento relacionado con él, llamado B, ya ha ocurrido.
A esta probabilidad del evento A la llamamos Probabilidad Condicional y se denota 
como: 𝑃 𝐴 𝐵 . Esta notación se lee “Probabilidad de A dado B”.
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Ejemplo:
La fuerza policial consta de 1200 agentes, 960 hombres y 240 mujeres. De éstos, en los últimos dos años, fueron 
promovidos 340. En la tabla se muestra cómo quedaron repartidas estas promociones entre los hombres y mujeres.
Después de analizar el registro de las promociones, un comité feminista protestó, ya que habían sido promovidos 288 
agentes hombres, frente a sólo 36 mujeres. Los directivos de la fuerza policial argumentaron que el número de mujeres 
promovidas no se debía a una discriminación, sino a que el número de mujeres que son agentes de policía es una cantidad 
pequeña. Veremos cómo emplear la probabilidad condicional para analizar esta acusación de discriminación.
Sean:
H = el evento que un agente de policía sea hombre
M = el evento que un agente de policía sea mujer
A = el evento que un agente de policía sea promovido
Ac = el evento que un agente de policía no sea promovido
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Ejemplo:
Dividir los valores de los datos de la tabla entre el total de agentes de policía, 1200, permite concretar la información que se 
tiene en las probabilidades siguientes.
𝑃 𝐻 ∩ 𝐴 =
288
1200
= 0.24 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑐í𝑎, 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎, 𝑠𝑒𝑎 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑦 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑠𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑑𝑜
𝑃 𝐻 ∩ 𝐴𝑐 =
672
1200
= 0.56 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑐í𝑎, 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎, 𝑠𝑒𝑎 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑦 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑠𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑑𝑜
𝑃 𝑀 ∩ 𝐴 =
36
1200
= 0.03 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑐í𝑎, 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎, 𝑠𝑒𝑎 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑦 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑠𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑑𝑜
𝑃 𝑀 ∩ 𝐴𝑐 =
204
1200
= 0.17 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑐í𝑎, 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎, 𝑠𝑒𝑎 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑦 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑠𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑑𝑜
Como cada uno de estos valores da la probabilidad de la intersección de dos eventos, se les llama probabilidades 
conjuntas. A la tabla, que proporciona la información de las probabilidades de promoción de los agentes de policía, se le 
conoce como tabla de probabilidades conjuntas.
Probabilidades Marginales:
Probabilidad de cada uno de los eventos por separado
P(H) = 0.80
P(M) = 0.20
P(A) = 0.27
P(Ac) = 0.73
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Ejemplo:
Comencemos con el análisis de la probabilidad condicional calculando la probabilidad de que un agente de policía sea 
promovido dado que ese agente sea hombre. Empleamos la notación para probabilidad condicional para determinar P(A | 
H). Para calcular P(A | H) se observa, primero, que esta notación sólo significa que se considera la probabilidad del evento A 
(promoción) ya que la condición designada como evento H (que el agente de policía sea hombre) está dada. Así que P(A | H) 
indica que sólo interesan los promovidos dentro de los 960 agentes de policía que son hombres. Como 288 de los 960 
agentes de policía que son hombres fueron promovidos, la probabilidad de ser promovido dado que se es un agente 
hombre es 288/960 = 0.30. 
𝑃 𝐴 𝐻 =
288
960
= 0.30, 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 1200:
𝑃 𝐴 𝐻 =
288/1200
960/1200
=
0.24
0.80
= 0.30
Observe en la tabla que 0.24 es la Probabilidad conjunta de los eventos A y H (que sea hombre y sea promovido) y 0.80 (que 
sea hombre) es la Probabilidad marginal del evento H. 
Entonces:
𝑃 𝐴 𝐻 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐻
𝑃(𝐻)
=
0.24
0.80
= 0.30
considerando de nuevo el asunto de la discriminación 
contra las mujeres agentes de policía:
𝑃 𝐴 𝑀 =
𝑃 𝐴 ∩𝑀
𝑃(𝑀)
=
0.03
0.20
= 0.15
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Unidad N°4
El hecho de que la probabilidad condicional se pueda calcular como la razón entre una probabilidad conjunta respecto a una 
probabilidad marginal proporciona la siguiente fórmula para el cálculo de la probabilidad condicional de dos eventos A y B. 
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃(𝐵)
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃 𝐵∩𝐴
𝑃(𝐴)
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Unidad N°4
Si la probabilidad de un evento A no cambia por la existencia del evento B - es 
decir, si P(A | B) = P(A), entonces los eventos A y B son eventos independientes.
Dos eventos son independientes si:
𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴
𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵)
Si no es así, los eventos no son independientes
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Unidad N°4
La ley de la multiplicación es útil para calcular la probabilidad de la intersección de 
dos eventos. 
De la definición de Probabilidad condicional se obtiene la Ley de Multiplicación
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐵 ∙ 𝑃 𝐵
Cuando los eventos son independientes:
𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃 𝐵
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Entonces:
Ley de la Multiplicación para Eventos Independientes:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃 𝐵
Ley de la Multiplicación para Eventos Dependientes:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃 𝐵
Unidad N°4