Metodo de reducción de matrices

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ÍNDICE 
 
 
1. Información de la unidad / Tema de la semana 
 
2. Información de los subtemas 
 
2.1. Resoluciones de sistemas mediante la reducción de 
matrices 
 
2.2. Inversas y Determinaciones 
 
2.3. Análisis insumo-producto 
 
3. Bibliografía 
 
3 
 
4 
 
4 
 
 
6 
 
10 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
1. Informacio n de la unidad 
Tema de la semana: 
 
 
» Objetivo: 
Activar procesos relacionados con los métodos de reducción de matrices, por 
medio de una explosión teórica y práctica de ejercicios matemáticos. 
 
» Tema: 
Métodos de reducción de matrices. 
 
» Subtemas: 
1. Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices. 
2. Inversas y Determinantes. 
3. Análisis insumo-producto. 
 
» Unidad: 
Matrices y Determinantes. 
 
» Duración de horas semanales 
10 H 
 
 
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2. Informacio n de los subtemas 
2.1 Resoluciones de sistemas mediante la reducción de 
matrices 
Existen dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. 
1. Método de Gauss: Consiste en reducir la matriz aumentada en forma escalonada 
y al obtener la última incógnita aplicamos sustitución regresiva que consiste en 
reemplazar en las ecuaciones anteriores para encontrar las demás incógnitas. 
2. Método Gauss-Jordán: Consiste en reducir la matriz de manera escalonada 
basados en la matriz identidad 
Nota: Cabe recalcar que se pueden tener dos posibles soluciones al momento de 
resolver los sistemas de ecuaciones. 
 Tienen solución única 
 Tienen soluciones infinitas 
Ejemplos: 
Método de Gauss 
Resolver el siguiente ejercicio por el método de Gauss. 
Para el primer caso es denominado compatible determinado que consiste en despejar 
desde abajo hacia arriba la incógnita z para reemplazar en la segunda ecuación y hallar 
Y, de la misma manera ya teniendo las dos incógnitas reemplazar en la primera ecuación. 
(Santos Aláez & Merino González, 2010) 
𝐴 =
2𝑋 +𝑌 −2𝑍
3𝑋 +2𝑌 +2𝑍
5𝑋 +4𝑌 +3𝑍
=
10
1
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Procederemos a: 
-2*F2+3*F1-> F2 
5*F1-2*F3-> F3 
𝐴 =
2𝑋 +𝑌 −2𝑍
0 −𝑌 −10𝑍
0 −3𝑌 −16𝑍
=
10
28
42
 
Luego procedemos a realizar la siguiente operación. 
-3*F2+F3-> F3 
𝐴 =
2𝑋 +𝑌 −2𝑍
0 −𝑌 −10𝑍
0 0 14𝑍
=
10
28
−42
 
Teniendo finalmente. 
{
𝑥 =
1
2
(10 − 𝑦 + 2𝑧) = 1
𝑦 = −10𝑧 − 28 = 2
𝑧 = −3
Por lo tanto 𝑥 = 1; 𝑦 = 2; 𝑧 = −3 
 
 
 
 
 
 
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2.2 Inversas y Determinantes 
Determinantes 
Para poder hallar las determinantes de una matriz solo es posible si son cuadradas 
teniendo como dimensión 2x2; 3x3; o nxn. 
Ejemplo: 
𝐴 =
2 4
1 −1
 
El primer paso que se tomara en cuenta en una matriz de 2x2 es multiplicar de manera 
cruzada. 
2 ∗ −1 = −2 
1 ∗ 4 = 4 
Una vez hallado los valores se procederá a restarlos. 
|𝐴| = −2 − (4) 
|𝐴| = −6 
Ejemplo: 
A=
2 −1 0
1 5 4
3 −2 3
 
Para poder hallar la determinante de una matriz de 3x3 por el método de Sarrus se 
deberán seguir los siguientes pasos. 
Teniendo la matriz inicial: 
Se debe agregar las dos primeras columnas de la matriz inicial 
A=
2 −1 0
1 5 4
3 −2 3
 ⋮ 
2 −1
1 5
3 −2
 
Luego procedemos a multiplicar de manera cruzada como lo hicimos en la matriz de 2x2, 
iniciando desde el 2 y al finalizar de manera contraria empezando con el -1. O sea, 
primero de izquierda a derecha y luego de derecha a izquierda. 
Operaciones auxiliares (izquierda a derecha): 
2 ∗ 5 ∗ 3 = 30 
−1 ∗ 4 ∗ 3 = −12 
0 ∗ 1 ∗ −2 = −2 
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Operaciones auxiliares (derecha a izquierda): 
−1 ∗ 1 ∗ 3 = −3 
2 ∗ 4 ∗ −2 = −16 
0 ∗ 5 ∗ 3 = 15 
Procedemos a sumar los resultados obtenidos en las multiplicaciones: 
30 − 12 − 2 = 16 
−3 − 16 + 15 = −4 
Una vez obtenidos los dos valores procedemos a restarlos como lo hicimos en la matriz 
2x2 
|𝐴| = 16 − (−4) 
|𝐴| = 20 
Calculo de la determinante de una matriz de cualquier orden. 
Tendiendo a siguiente matriz: 
2 
0 1 0 
3 -5 -3 3 
4 1 4 2 
5 4 -1 0 
 
En la columna 4 se tomarán los valores y se las multiplicara con la matriz de 3x3 que se 
formara de la siguiente manera: 
 
2 
0 1 0 
3 -5 -3 3 
4 1 4 2 
5 4 -1 0 
 
 ±0 ∗
3 −5 −3
4 −1 4
5 4 −1
 
 
 
 
 
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2 
0 1 0 
3 -5 -3 3 
4 1 4 2 
5 4 -1 0 
 
±3 ∗
2 0 1
4 −1 4
5 4 −1
 
 
 
2 
0 1 0 
3 -5 -3 3 
4 1 4 2 
5 4 -1 0 
 
 
±2 ∗
2 0 1
3 −5 −3
5 4 −1
 
 
2 
0 1 0 
3 -5 -3 3 
4 1 4 2 
5 4 -1 0 
 
±0 ∗
2 0 1
3 −5 −3
4 −1 4
 
 
Se puede notar que todavía no se definirá el signo por lo tonto se expresa ± más 
adelante se explicara que signo va a predominar 
Entonces tendremos: 
 ±0 ∗
3 −5 −3
4 −1 4
5 4 −1
 ± 3 ∗
2 0 1
4 −1 4
5 4 −1
 ± 2 ∗
2 0 1
3 −5 −3
5 4 −1
 ± 0 ∗
2 0 1
3 −5 −3
4 −1 4
 
 
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Como sabemos todo numero multiplicado por 0 da como resultado 0. Podemos 
observar que, de las 4 multiplicaciones de un escalar por una matriz, dos de ellas 
cumplen con lo antes mencionado (marcado con rojo). 
Para la multiplicación se debe proceder como lo hemos hecho antes en la matriz de 
3x3 
Entonces tendremos: 
1. 
2 0 1
4 −1 4
5 4 −1
⋮
2 0
4 −1
5 4
= (2 + 0 + 16) − (0 + 32 − 5) = 18 + 27 = 45 
 
2. 
2 0 1
3 −5 −3
5 4 −1
 ⋮
2 0
3 −5
5 4
 = (10 + 0 + 12) − (0 − 24 − 25) = 22 + 49 = 71 
 
Ahora procedemos a resolver los signos ± de la siguiente manera: 
0 ± 3 ∗ 45 ± 2 ∗ 71 + 0 
Para poder definir el signo de ±3, aplicaremos lo siguiente: 
(−1)𝑖+𝑗 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖𝑗 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 2 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 4 = 24 
(−1)2+4 = (−1)6 = +1 
De la misma manera para ±2 
(−1)𝑖+𝑗 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖𝑗 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 3 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 4 = 34 
(−1)3+4 = (−1)7 = −1 
Entonces se plantea de la siguiente forma: 
0 + 3(45) − 2(71) + 0 = 135 − 142 = 7 
La determinante de la matriz es: 
|𝐴| = 7 
 
 
 
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2.3 Análisis insumo-producto 
El modelo insumo-producto supone que los insumos para elaborar un producto se 
relacionan conforme a una función de costos lineal, la cual depende de los coeficientes 
insumo-producto y de los precios de los insumos. Este modelo se puede utilizar para 
estudiar la composición del valor agregado de los productos, hacer análisis de precios, 
calcular requerimientos de importaciones(Hernández, n.d.) 
La matriz insumo-producto se presentará en forma de matriz en donde va a estar 
conformada entre la oferta y la utilización de bienes y servicios de una economía. Hay 
que saber que es un proceso que tiene lugar en la economía de un país que 
generalmente se calcula de manera anual. 
La matriz de insumo producto consta de 3 cuadros: 
1. Determina la demanda interna o producción intermedia 
2. El valor agregado de cada sector 
3. Demanda final o producción final 
 
Ilustración 1 Tabla de matriz insumo-producto 
Fuente: (Universidad Externado de Colombia. Facultad de Economía, 2012) 
 
 
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Una de la fórmula para el cálculo de la matriz insumo-producto fue dada por Wassily 
Leontief, en 1973 obtuvo el premio Nobel de Economía por haber ideado las tablas 
Input-Output(TIO) 
Formula: 
𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐶 
 
Resolver los siguientes ejercicios propuestos. 
 
1. Teniendo el siguiente sistema de ecuaciones resolver por el método de Gauss-
Jordán. 
−𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏 
𝟒𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟐 
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑 
I. Se deben acomodar los coeficientes y los resultados en una matriz, en este 
caso tendremos una matriz de 3x3 
𝐴 =
−3 3 2
4 1 −1
1 −2 1
=
1
2
3
 
II. El –3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, según la matriz 
identidad, así que el paso siguiente será dividir entre -3 toda la fila. 
−
1
3
∗ 𝐹1 = 𝐹1 
𝐴 =
1 −1 −2/3
4 1 −1
1 −2 1
=
−1/3
2
3
 
III. Como en la matriz identidad se debe hacer 0 abajo del número 1 en la 
primera columna. 
En este caso se debe multiplicar por -4 la Fila 1 y luego sumarla con la Fila 2, 
tenido como siguiente paso: 
−4 ∗ 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹2 
𝐴 =
1 −1 −2/3
0 5 5/3
1 −2 1
=
−1/3
10/3
3
 
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IV. Para hacer 0 la siguiente Fila en este caso, la Fila 3 se debe multiplicar -1 la 
Fila 1 y sumarlo con la F3 para obtener nuestra nueva Fila 3 
−𝐹1 + 𝐹3 = 𝐹3 
𝐴 =
1 −1 −2/3
0 5 5/3
0 −1 5/3
=
−1/3
10/3
10/3
 
V. Para lograr la matriz identidad lo siguiente será convertir el 5 de la Fila 2 en 
1, para poder obtenerlo se deberá dividir toda la Fila 2 por 5. 
1
5
∗ 𝐹2 = 𝐹2 
 
𝐴 =
1 −1 −2/3
0 1 1/3
0 −1 5/3
=
−1/3
2/3
10/3
 
VI. Ahora se procede hacer 0 los números ubicados en la posición 𝑎12 𝑦 𝑐32. 
Fácilmente podremos hacerlo de la siguiente forma. 
1. 𝐹2 + 𝐹1 = 𝐹1 
𝐴 =
1 0 −1/3
0 1 1/3
0 −1 5/3
=
1/3
2/3
10/3
 
 
2. 𝐹2 + 𝐹3 = 𝐹3 
𝐴 =
1 0 −1/3
0 1 1/3
0 −1 6/3
=
1/3
2/3
2
 = 𝐴 =
1 0 −1/3
0 1 1/3
0 0 2
=
1/3
2/3
4
 
 
VII. Como en la matriz identidad se procederá hacer 0 la posición 𝑐33, entonces 
tendremos que dividir la Fila 3 sobre 2.Entonces tendremos 
1
2
∗ 𝐹3 = 𝐹3 
𝐴 =
1 0 −1/3
0 1 1/3
0 0 1
=
1/3
2/3
2
 
 
 
 
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VIII. En el siguiente paso necesitaremos hacer la 0 la posición 𝑎13 𝑦 𝑏23. 
Fácilmente lo podremos hacer de la siguiente forma: 
1. 
1
3
∗ 𝐹3 + 𝐹1 = 𝐹1 
𝐴 =
1 0 0
0 1 1/3
0 0 1
=
3/3
2/3
2
 = 𝐴 =
1 0 0
0 1 1/3
0 0 1
=
1
2/3
2
 
2. −
1
3
∗ 𝐹3 + 𝐹2 = 𝐹2 
 = 𝐴 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1
0
2
 
IX. Una vez hallamos la matriz identidad obtendremos las soluciones que serían 
las siguientes: 
𝑥 = 1 
𝑦 = 0 
𝑧 = 2 
X. Podremos comprobar nuestras las respuestas reemplazándolas en las 
ecuaciones. 
−3(1) + 3(0) + 2(2) = −3 + 4 = 1 
4(1) + (0) − (2) = 4 − 2 = 2 
(1) − 2(0) + (2) = 1 + 2 = 3 
2. Teniendo el siguiente sistema de ecuaciones resolver por el método de Gauss. 
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟕 
𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟒 
−𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟏𝟎 
𝐴 =
1 −2 3
2 1 1
−3 2 −2
=
7
4
−10
 
 
Para la solución de manera escalonada se deberán realizar los siguientes pasos: 
1. 𝐹1(−2) + 𝐹2 = 𝐹2 
𝐴 =
1 −2 3
0 5 −5
−3 2 −2
=
7
−10
−10
 
 
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2. 𝐹1(3) + 𝐹3 = 𝐹3 
𝐴 =
1 −2 3
0 5 −5
0 −4 7
=
7
−10
−11
 
 
 
3. 
1
5
∗ 𝐹2 = 𝐹2 
𝐴 =
1 −2 3
0 1 −1
0 −4 7
=
7
−2
−11
 
 
 
4. F2(4) +F3=F3 
𝐴 =
1 −2 3
0 1 −1
0 0 3
=
7
−2
3
 
 
 
5. 
1
3
∗ 𝐹3 = 𝐹3 
𝐴 =
1 −2 3
0 1 −1
0 0 1
=
7
−2
1
 
 
 
Ahora se procederá a sustituir de manera escalonada y resolver las ecuaciones. 
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 7 
𝑦 − 𝑧 = −2 
𝑧 = 1 
 
1. Reemplazamos z en la segunda ecuación para obtener y 
𝑦 − (1) = −2 
𝑦 = −2 + 1 
𝑦 = −1 
 
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2. Reemplazamos los valores de (y,z) en la primera ecuación. 
𝑥 − 2(−1) + 3(1) = 7 
𝑥 + 2 + 3 = 7 
𝑥 = 7 − 2 − 3 
𝑥 = 2 
 
Entonces tendremos los siguientes valores. 
𝑥 = 2 
𝑦 = −1 
𝑧 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Bibliografí a 
ESPOL. (2006). FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Para Bachillerato (ICM-ESPOL). Guayaquil. 
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https://onedrive.live.com/?authkey=%21AMV0u_hNv9GNlqA&id=49A282C415C5C153%213246
&cid=49A282C415C5C153 
Salazar, C. (2015). FUNDAMENTOS BASICOS DE LA MATEMATICA APLICADOS A LA ECONOMIA. 
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR - FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS, 257. Retrieved 
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http://www.dspace.uce.edu.ec/bitstream/25000/6382/3/Fundamentos%20b%C3%A1sicos%2
0de%20matem%C3%A1tica%20aplicados%20a%20la%20econom%C3%ADa.pdf 
 
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http://www.dspace.uce.edu.ec/bitstream/25000/6382/3/Fundamentos%20b%C3%A1sicos%20de%20matem%C3%A1tica%20aplicados%20a%20la%20econom%C3%ADa.pdf
http://www.dspace.uce.edu.ec/bitstream/25000/6382/3/Fundamentos%20b%C3%A1sicos%20de%20matem%C3%A1tica%20aplicados%20a%20la%20econom%C3%ADa.pdf