¿Cómo se ha determinado el método para calcular matemáticamente las determinantes de matrices? ¿En base a qué se decidió por el algoritmo de...

Yo entiendo esta pregunta en otro sentido que los compañeros que han contestado.

A mi juicio, esta pregunta está preguntando por la génesis del concepto de determinante; por cómo se definió así, cómo se le ocurrió a alguien, y cómo se pudo definir en términos de determinantes menores, en particular de adjuntos (o al menos probar la equivalencia de las dos definiciones, la primera y la basada en determinantes menores) .

El tema es muy extenso, pero muy interesante, y si se estudiara como se debe (sin prisa y verificando las cosas por uno mismo) cualquiera llegaría, más pronto o más tarde a la misma o muy parecida definición que encontraron y exprimieron Leibniz, Cramer, Bézout, Vandermonde, Laplace, Lagrange, Euler, Cayley, Cauchy…

Se pueden encontrar cosas fascinantes, a este respecto, en el libro hiper-clásico "The theory of determinants in the HISTORICAL ORDER OF DEVELOPMENT" de Thomas Muir (Volúmenes 1 y 2, escritos entre 1841 y 1860). Historia de los determinantes. La primera idea de este algoritmo, al menos la primera vez que está respaldada documentalmente (con relación a los documentos de que disponemos, claro) es de Leibniz, que se la comunica por carta al marqués De L'Hôpital (o De L'Hospital, en libros anglosajones); yo lo llamo el marqués de 0/0.

Parte de esa correspondencia epistolar, jugosísima si se quiere conocer la génesis de las ideas matemáticas relacionadas con los determinantes, que siempre está emboscada, cuando no alterada y falsificada en los libros de texto corrientes, se halla en el extenso tratado de Muir.

Básicamente, por abreviar, los determinantes surgen antes que las matrices (!!): en serio, así fue. El arreglo de números o letras solo se veía como un conjunto de datos para calcular el determinante, no como una entidad matemática en sí misma. De hecho en muchos textos, bien entrado el siglo XIX, se empleaban las palabras "determinante" y "matriz" como sinónimas.

Todo empieza al resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, y tratar de encontrar una fórmula que dé las soluciones de manera fácil de recordar, en forma mnemotécnica. Sea dado el sistema, con coeficientes reales o racionales (entonces se empleaban los reales intuitivamente, sin conocer bien lo "imaginarios" que eran…):

a₁₁ x +a₁₂ y = c₁

a₂₁ x + a₂₂ y = c₂

Empleando cualquiera de los métodos elementales, conocidos para eliminar incógnitas y resolver sistemas lineales (sustitución, igualación y reducción; pero también había otro viejo método, en desuso desde que se descubrieron los determinantes, llamado método de los factores indeterminados), se llega a:

x= (c₁ a₂₂ - c₂ a₁₂) / (a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁)

y= (c₂ a₁₁ - c₁ a₂₁) / (a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁)

Hoy día las llamamos fórmulas de Cramer, porque él extrajo de ellas varias propiedades que después empleó para generalizar la definición de los determinantes, empezando desde el caso 2x2 y llegando hasta el caso nxn.

Al final, se llamó determinante de la matriz 2x2

|a₁₁ a₁₂|

|a₂₁ a₂₂ |

al número a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁, que ulteriormente Sarrus calculó con su célebre y práctica regla mnemotécnica para determinantes 3x3 ; esos que también se obtienen igualmente, resolviendo sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. El denominador de todas las incógnitas es siempre el mismo, el determinante de los coeficientes.

Se estrujaron el cerebro muchos matemáticos para escribir y definir mediante una regla, el determinante general n x n, hasta que con mucha observación vieron que los términos con un número de inversiones de la misma paridad en las permutaciones de filas y columnas llevaban signo positivo y los que presentaban diferente paridad eran negativos.

Por ejemplo, en el término a₁₁ a₂₃ a₃₂, correspondiente al determinante 3x3, las permutaciones de filas y columnas son (1,2,3) y (1,3,2). Como (1,2,3) tiene cero inversiones (par) mientras que (1,3,2) tiene 1 inversión (impar) el término es negativo: -a₁₁ a₂₃ a₃₂, y se vio que el determinante debía componerse de todos los productos formados eligiendo de todos los modos posibles un factor de cada fila y de cada columna y asignando el signo correspondiente según las paridades de las inversiones.

Enseguida se vio que sacando un término concreto como factor común aparecía un determinante menor, con el signo adecuado según las filas y columnas y de nuevo, su paridad, llegándose así a los conceptos de los menores complementarios y de los adjuntos.

Muchísimo más tarde, acabando el XIX y a principios del XX se empieza a vislumbrar el álgebra lineal, de la que antes solo había retazos dispersos e inconexos, como rama independiente de la matemática y se reacomoda el determinante, como función de las filas o columnas de una matriz, concepto que adquiere un significado especial y preponderante en toda la teoría que hoy conoce cualquier estudiante de 2º de Bachillerato.

Véase, si se está interesado en la génesis de los determinantes, al menos el primer tomo del libro de Muir, porque contiene centenares de suculentas páginas que por supuesto aquí no caben…