¿Por qué el algoritmo de eliminación gaussiana es aplicable a toda matriz, sin importar si es aumentada o no? Debería aplicarse sólo a matrices...

Precisemos un poco:

Si estás resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, la matriz que contiene toda la información del sistema es la matriz aumentada A¯¯¯¯A¯, de orden, supongamos, n×(n+1).n×(n+1). La matriz AA, de orden n,n, contiene sólo los coeficientes del miembro izquierdo de las ecuaciones.

Conviene conceptualizar la solución de un sistema en dos etapas separadas, por cualquiera de los métodos de eliminación (Gauss, Crout, Doolittle, Gauss-Jordan, etc.):

1.- Triangularización: que transforma la matriz AA en una matriz triangular superior BB mediante transformaciones lineales, y, por consiguiente, afecta sólo a los términos de AA. Esta matriz triangularizada es muy importante, porque puede sustituir con ventaja a la matriz inversa cuando se trata de calcular el producto de la inversa por otra matriz. Esto sucede muy a menudo, no sólo para resolver sistemas.

2.- Preparatoria y complementaria: Una vez triangularizada AA, esta segunda parte puede aplicarse a cualquier matriz CC n×mn×m para resolver simultáneamente m sistemas.

La fase preparatoria es una extensión más simple de la triangularización que emplea los mismos factores previamente calculados en 1 (los cuales pueden dejarse almacenados en el triángulo inferior de BB). Ya no es, en realidad la propia trangularización, porque no requiere calcular otros factores de eliminación, ni reordenar las ecuaciones para controlar la propagación de erores de redondeo. Por eso no se puede decir, como lo dices tú, que haya que hacer la triangularización sobre los términos independientes.

La fase complementaria es muy similar a la preparatoria, pero, en lugar de recorrer las ecuaciones de la primera a la última, ahora se asciende desde la última hacia la primera. Al hacerlo, los resultados del sistema que corresponde a la columna recorrida quedan calculados en esa columna.

En perspectiva, la triangularización se hace una única vez sobre la matriz AA, obteniendo la matriz BB.

Si se quieren resolver luego m sistemas que tengan AA como matriz de coeficientes, sobre cada uno de ellos se realizan la preparatoria y complementaria. O, si se dispone simultáneamente de los m vectores independientes y no se tienen restricciones de almacenamiento, se puede agruparlos en una sola matriz CC, y organizar el cálculo de todos a la vez.

Cabe anotar que la triangularización puede tener otros usos, no necesariamente la solución de sistemas lineales, y en ese caso, obviamente, habrá que hacer solamente la triangularización sobre AA.