Limite y continuidad

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ÍNDICE 
 
 
1. Información de la unidad / Tema de la semana 
 
2. Información de los subtemas 
 
2.1. Introducción al límite 
 
2.2. Propiedad de los límites 
 
2.3. Continuidad de funciones 
 
3. Bibliografía 
 
 
 
3 
 
4 
 
4 
 
 
6 
 
8 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
1. Informacio n de la unidad 
Tema de la semana: 
 
 
» Objetivo: 
Desarrollar las destrezas que permitan interpretar los límites y sus tipos 
mediante el análisis de la construcción. 
 
» Tema: 
Límite y continuidad. 
 
» Subtemas: 
1. Introducción al límite. 
2. Propiedad de los límites. 
3. Continuidad de funciones. 
 
» Unidad: 
Introducción al cálculo 
 
» Duración de horas semanales 
10 H 
 
 
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2. Informacio n de los subtemas 
2.1 ¿Qué son los límites? 
 Los límites aportan mucha ayuda para los problemas que se presentan en la física, 
ingeniería y ciencias sociales. El área que estudia los límites es el cálculo. Para poder 
calcular el límite de x cuando tiende a un número real, bastará con aplicar las fórmulas 
ya definidas por el cálculo simplemente sustituyéndolas. 
Ejemplo: 
Observaremos como una función f se comporta con la regla de correspondencia 
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏en cercanía de 𝒙 = 𝟐 
Dándole valores a x realizando la siguiente tabla podremos observar como ase acercan 
a 2: 
 
Ilustración 1 Tabla de valores 
Fuente: (Leithold, 1998) 
 
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Como podemos observar en la tabla como los valores se aproximan a 2 viniendo en las 
direcciones mostradas por las flechas. Podemos definir que la función se acerca a 5 
cada vez que su variable x se acerca al 2. Entonces podremos decir que una función f 
tiene límite L en un punto 𝑥0, si f se aproxima a tomar el valor de L cada vez que su 
variable independiente x se aproxima a tomar el valor de 𝑥0, lo que se denota como: 
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Una vez hemos definido el concepto limite también lo haremos con el de entorno. El 
entorno del punto 𝑥0 con un radio abierto r es un intervalo abierto que contiene al 
punto 𝑥0como punto medio. Este entorno se expresara como 𝐸(𝑥0, 𝑟) = {𝑥|𝑥 − 𝑥0| <
𝑟} 
Ejemplo: 
Aplicar la definición formal del límite para demostrar(Berman, 1983) lim
𝑥→
1
2
 
4𝑥2−1
2𝑥−1
= 2 
Sabemos que debemos excluir el punto 𝑥0 ≠
1
2
, entonces. 
𝑓(𝑥) =
4𝑥2 − 1
2𝑥 − 1
=
(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)
2𝑥 − 1
= 2𝑥 + 1 
Para demostrar la existencia de un límite, debemos determinar un valor para 𝜗 > 0, tal 
que si |𝑥 −
1
2
| < 𝜗, entonces se cumple |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀. Supongamos que el límite es 2, 
cuando x tiende a 
1
2
. . Así que. 
|(2𝑥 + 1) − 2| < 𝜀 
|2𝑥 − 1| < 𝜀 
|𝑥 −
1
2
| <
𝜀
2
 
 
 
 
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2.2 Propiedad de los límites 
Unicidad del límite 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
Propiedad de la suma 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
 
Propiedad de la resta 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
 
Propiedad del producto 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
 
Propiedad de la función constante 
lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 
 
Propiedad del factor constante 
lim
𝑥→𝑎
[𝑘. 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑘. 𝑔(𝑥) 
 
 
Propiedad del cociente 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
 
 
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Siempre y cuando lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
Propiedad de la función potencial 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)𝑘 = [lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)]𝑘 
 
Propiedad de la función exponencial 
lim
𝑥→𝑎
𝑘𝑔(𝑥) = 𝑘
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
 
 
Propiedad de la raíz 
lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛
= √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 
 
Propiedad de la función logarítmica 
lim
𝑥→𝑎
[log𝑘 𝑓(𝑥)] = log𝑘[lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3 Continuidad de funciones 
Para determinar cuándo una función es continua se requiere comprobar lo siguiente 
(cita bibliográfica): 
 La función existe en a 
 Existe límite de f(x) cuando x tiende a 𝑎 
 El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales 
Cuando no se cumple podremos denotar por obviedad que es una función descontinua. 
La continuidad en funciones conocidas(Continuidad & Propuestos, n.d.): 
 Una función polinomial es continua en todo número real 
 Una función racional es continua en todo su dominio, es decir en todo número 
excepto donde el denominador es cero 
 La función valor absoluto es continua en todo número real 
 La función seno y coseno son continuas en todo número real 
 Las funciones tangentes, cotangente, secante y cosecante son continuas en todo 
su dominio, es decir en todo numero excepto donde el denominador es cero 
Propiedades de las funciones continuas 
 En las sumas y restas de ambas, es una función continua en ese punto o intervalo 
 La multiplicación entre ambas funciones es una función continua en ese punto 
 La división entre ambas funciones, es una función continua en este punto 
excepto en las que el denominador se anula. 
 La composición entre dos funciones 𝑓(𝑥)𝑦 𝑔(𝑥)es continua en 𝑓(𝑎), entonces 
las funciones también es continua en a 
 
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Resolver los siguientes ejercicios propuestos. 
 
1. Demostrar formalmente que lim
𝑥→2
 
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−2
 
lim
𝑥→2
 
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−2
= lim
𝑥→2
 
22−5(2)+6
(2)−2
=
0
0
 
A primera vista parece que tendremos una indeterminación, pero no lo es debemos 
factorizar. 
lim
𝑥→2
 
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
 𝑥 − 3 = 2 − 3 = −1 
 
Gráficamente podremos observar que cuando 𝑥 = 2 y 𝑦 = −1, es donde se 
encuentra el punto 
 
 
 
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2. Identificar la continuidad en una función. 
𝑓(𝑥) =
𝑥2+5𝑥−6
𝑥−1
=
(𝑥+6)(𝑥−1)
𝑥−1
, no esta definida en x=1 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 6; 𝑥 ≠ 1, no es continua en 𝑥 = 1 
 
 
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3. Bibliografí a 
ESPOL. (2006). FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Para Bachillerato (ICM-ESPOL). Guayaquil. 
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https://onedrive.live.com/?authkey=%21AMV0u_hNv9GNlqA&id=49A282C415C5C153%213246
&cid=49A282C415C5C153 
Salazar, C. (2015). FUNDAMENTOS BASICOS DE LA MATEMATICA APLICADOS A LA ECONOMIA. 
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR - FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS, 257. Retrieved 
from 
http://www.dspace.uce.edu.ec/bitstream/25000/6382/3/Fundamentos%20b%C3%A1sicos%2
0de%20matem%C3%A1tica%20aplicados%20a%20la%20econom%C3%ADa.pdf 
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http://www.dspace.uce.edu.ec/bitstream/25000/6382/3/Fundamentos%20b%C3%A1sicos%20de%20matem%C3%A1tica%20aplicados%20a%20la%20econom%C3%ADa.pdf