Introducción al Cálculo Diferencial: Límites y Continuidad

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INTRODUCCION AL CÁLCULO DIFERENCIAL
 Límite de una función real.Definición de límite. 
Teoremas fundamentales. Limites y continuidad. Ejercicios
Al finalizar la semana de
aprendizaje el estudiante conoce,
interpreta y aplica la noción y el
concepto del Límite de una
función y su continuidad en las
soluciones de ejercicios y
problemas .
CONTENIDO GENERAL
LIMITES DE UNA FUNCION
DEFINICION DE LIMITES
TEOREMAS 
FUNDAMENTALES
EJERCICIOS.
Alguna vez ha estado Ud. en una competencia de atletismo , en la cuál
dos o mas de ellos llegaron a la meta prácticamente “juntos”, pero uno
de ellos ganó el premio?. Esta noción de estar cada vez más cerca de
algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual
está involucrada el concepto de límite, que es la base del cálculo
diferencial e integral.
NOCION DE LIMITE
Cuando una variable de una función
“se aproxima” a un valor particular,
podemos examinar el efecto que
tiene sobre los valores de la
función.
Noción de límite
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
REAL
Resulta adecuado empezar el estudio del cálculo diferencial,
investigando los límites y sus propiedades. El concepto fundamental de
límite es muy importante para precisar otros tales como la continuidad
y la derivación.
Punto de acumulación: se dice que 𝑥0 es un punto de
acumulación del dominio de una función 𝐷𝑓 , si todo intervalo abierto 
que lo contiene, también contiene puntos del 𝐷𝑓.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL
 Resulta adecuado empezar el estudio del cálculo diferencial,
investigando los límites y sus propiedades. El concepto
fundamental de límite es muy importante para precisar otros tales
como la continuidad y la derivación.
Punto de acumulación: Se dice que 𝑥0 es un punto de acumulación del dominio de
una función 𝐷𝑓, si todo intervalo abierto que lo contiene, también contiene puntos del
𝐷𝑓.
Límite de una Función f
- Definición
Si 𝑥0 es un punto de acumulación del 𝐷𝑓, se dice que el límite de 𝑓(𝑥) 
cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 es igual a 𝐿 y se simboliza así:
Si es posible aproximar arbitrariamente los valores de
𝑓(𝑥) hacia L (tanto como se desee), escogiendo a 𝑥
suficientemente cerca de 𝑥0, pero no igual a 𝑥0.
l í m f ( x )  L
x  x 0
Límite de una Función f (x) 
Definición
 Si 𝑥0 es un punto de acumulación del 𝐷𝑓, se dice que el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥
tiende( ) a 𝑥0 es igual a 𝐿 y se simbolizaasí:
 l í m f ( x )  L
x  x 0
 Si es posible aproximar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) hacia L (tanto 
como se desee),escogiendo a 𝑥 suficientemente cerca de 𝑥0, pero no igual a 𝑥0.
Límite de una función real –
Ejemplo:
x f(x)
0,9 0,5263
0,99 0,5025
0,999 0,50025
... ...
↓ ↓
1 1/2
x f(x)
1,1 0.476
1,01 0,4975
1,001 0,49975
... ...
↓ ↓
1 1/2
Por ejemplo para hallar el límite: 𝐥𝐢𝐦 𝒙−𝟏
𝒙→𝟏 𝒙𝟐−𝟏
Podemos obtener valores de la función 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟏 para valores de
𝒙𝟐−𝟏
x que se aproximan a 1 sin ser nunca iguales a 1. En la tabla dada a
continuación, observamos que el valor de f(x) se aproxima a 1/2.
TEOREMAS FUNDAMENTALES
1.- Teorema de la Unicidad del Límite:
Si el límite de una función existe, entonces es único.
Lim f (x)  L2  L1  L2
xa
Si : Lim f (x)  L1 y
xa
TEOREMAS FUNDAMENTALES
 1.- Teorema de la Unicidad del Límite:
 Si el límite de una función existe, entonces es único.
Lim f (x )  L2  L1  L2
xa
Si : Lim f (x ) L1 y
xa
2.-Teorema de la compresión (del Sandwich)
Sean 𝒇, 𝒈 𝑦 𝒉 funciones tales que:
a)Si f (x)  g(x)  h(x), xN(x0 ) con x  x0
l i m g ( x )  L
x  x 0
Entonces se cumple que:
y b) lim f (x)  lim h (x)  L
x x0x x0
g(x)
h(x)
f(x)
𝑥0 x
y
𝒩𝑥0 : es una vecindad de 𝑥0
TEOREMAS FUNDAMENTALES
3.- Teoremas sobre propiedades operacionales:
Suponiendo que c es una constante y que:
L i m f ( x ) ex i s t e
x  x 0
L i m g ( x ) exis te
x  x 0
x x0 x x0
a) Lim[ f (x)  g(x)]  Lim f (x)  Lim g(x)
x x0 x x0 x x0
b) Lim c f (x )  cL i m f (x )
3.- Teoremas sobre propiedades operacionales:
c) Lim[ f (x).g(x)]  Lim f (x). Lim g(x)
x x0 x x0 x x0
d ) Lim[ f (x) / g(x)]  Lim f (x) / Lim g(x)
x x0 x x0 x x0
El límite de un producto de funciones, es igual al producto de los 
límites de dichas funciones.
El límite del cociente de funciones, es igual al cociente de los límites
de dichas funciones, siempre que el límite de la función denominador
sea diferente de cero .
Teorema del cambio de
Variable
𝒙→𝒙𝟎
Si lim 𝒇 𝒙 = 𝑳, entonces haciendo 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒉, secumple:
𝒉→𝟎
lim 𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 = 𝑳
Observación: En la práctica este procedimiento consiste en hacer el
cambio de variable de la siguiente forma:
𝐿 = lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑓(𝑥0 + ℎ)
𝑥→𝑥0 𝑥−𝑥0→0 ℎ→0
Donde: 𝑥 − 𝑥0 = ℎ ⇒ 𝑥 = 𝑥0 + ℎ
Ejemplo
s

  3 
121
8  x 
1. Hallar : lim

x2 2  x
Solución.- efectuando la expresión dentro del paréntesis resulta:
lim = lim
𝑥2 + 2𝑥− 8 −(2 − 𝑥)(𝑥 + 4)
2 2𝑥→2 (2 − 𝑥)(𝑥 + 2𝑥 + 4) 𝑥→2 (2 − 𝑥)(𝑥 + 2𝑥 + 4)
Como 𝒙 ≠ 𝟐 entonces (𝟐 − 𝒙) ≠ 𝟐, por tanto:
−(2−𝑥)(𝑥+4)
𝑥→2 (2−𝑥)(𝑥2+2𝑥+4)
lim = lim
−(𝑥+4) = −6 = − 1
𝑥→2 𝑥2+2𝑥+4 12 2
Ejemplo
s

 

t 2
t 2  9  3 
2. Calcular : lim
t0 
Solución.- racionalizando el numerador resulta:
lim
𝑡
→0
𝑡2 𝑡
→0
𝑡2 + 9 − 3 
= lim
( 𝑡2 + 9− 3)( 𝑡2 + 9 + 3)
𝑡2( 𝑡2 + 9 + 3)
Como 𝒕 ≠ 𝟎 entonces:
lim
𝑡2
𝑡→0 𝑡2( 𝑡2+9+3)
= lim
𝑡
→0
1 1
𝑡2+9+3
=
6
NOTA:
Aplicando las propiedades operacionales , pueden establecerse los 
siguientes límites útiles:
00

n
 x  x
1. Lim [ f (x ) ] n  L i m f ( x )  , ( n  0)
x  x
4. Lim n f (x)  n Lim f (x)
xx0 xx0
3. l im n x  n x0
x  x0
n
0
2. l im x n  x
x  x 0
(Para 𝑛 = 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒:
𝑥→𝑥0
lim 𝑓(𝑥) > 0:
Ejercicio
1.- Calcular el siguiente límite la función irracional:


4  x 1 
6  x  3 lim
x3
a)2 / 3
b)1/ 3
c)1
d ) 1/ 3
e)  2 / 3
RESULTADOS DE ALGUNAS INDETERMINACIONES
 OPERACIONES CON INDETERMINACIONES:
Muchas gracias!