01 FÍSICA

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119
C.T.A. – FÍSICA
Análisis Dimensional y Análisis Vectorial
ANÁLISIS DIMENSIONAL
INDICADORES DE LOGRO:
- Identificar los diferentes tipos de magnitudes en el S.I. y su
relación entre ellas.
- Encontrar las dimensiones de magnitudes desconocidas apli-
cando las reglas de las ecuaciones dimensionales.
MAGNITUD
Es todo aquello que es susceptible de ser medido y que se puede
percibir por algun medio. Por consiguiente, MAGNITUD es todo
aquello que se puede medir.
UNIDAD
Es aquella cantidad elegida como patrón de comparación, es decir,
patrón de medida.
MEDIR
Es averiguar cuántas veces está contenida la unidad de una magnitud.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
La 11a Conferencia General de Pesas y Medidas, en sus sesiones de
octubre de 1960 celebradas en París, cuna del Sistema Métrico Decimal,
estableció definitivamente el Sistema Internacional de Medidas (S.I.),
basado en 6 unidades fundamentales -metro, kilogramo, segundo,
ampere, Kelvin, candela-, perfeccionado y completado posteriormente
en las 12a, 13a y 14a Conferencias, agregándose en 1971 la séptima
unidad fundamental, la mol, que mide la cantidad de materia.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES
1. Por su origen:
1.1Magnitudes fundamentales
Son aquellas elegidas arbitrariamente como base para
establecer las unidades de un SISTEMA DE UNIDADES y en
función de las cuales se expresan las demás magnitudes.
Ejemplos:
Longitud, masa, tiempo, etc.
MAGNITUD FUNDAMENTAL DIMENSIÓN[ ] UNIDAD
SÍMBOLO 
DE LA 
UNIDAD
Longitud L metro mMasa
 
M
 
kilogramo kg
Tiempo T
 
segundo s
Temperatura 
 
kelvin K
Intensi dad de Corriente
Eléctrica I ampere A
Intensidad Luminosa J candela cd
Cantidad de Sustancia N mol mol
1.2 Magnitudes auxiliares
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO 
Ángulo plano 
Ángulo sólido 
radián 
estereoradián 
rad 
sr 
1.2. Magnitudes derivadas
Son aquellas magnitudes que se expresan en función de las
magnitudes asumidas como fundamentales.
Ejemplos:
Área, velocidad, fuerza, trabajo, etc.
2. Por su naturaleza
2.1. Magnitudes escalares
Son aquellas que enunciando su valor seguido de su
correspondiente unidad quedan perfectamente definidas, a
veces afectado de un signo negativo convencionalmente
elegido.
Ejemplos:
La masa: 120 kg
Son magnitudes escalares: longitud, masa, tiempo, volumen,
densidad, trabajo, potencia, energía, carga eléctrica,
intensidad de corriente eléctrica, potencial eléctrico,
iluminación, etc.
2.2. Magnitudes vectoriales
Son aquellas que además de conocer su módulo o valor, es
necesario conocer su dirección y sentido para que esté
completamente definida.
Son magnitudes vectoriales: desplazamiento, velocidad,
aceleración, fuerza, torque, impulso, cantidad de movimiento,
intensidad de campo eléctrico, inducción magnética, etc.
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas igualdades matemáticas que sirven para expresar las
magnitudes derivadas en función de las fundamentales.
a b c d e f gx L .M . T . .I . J .N   
Las unidades de «x» en el sistema internacional.
Unidades de (x) =ma . kgb . sc . Kd . Ae . cdf . molg
Notación:
[A]: dimensión de la magnitud física "A"
Ejemplos:
1. [Longitud]=L
2. [masa]=M
3. [tiempo]=T
4. [intensidad de corriente]= I
5. [temperatura]= 
6. [intensidad luminosa]=J
7. [cantidad de sustancia]=N
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
Si una fórmula física es correcta, todos los términos de la ecuación
deben ser dimensionalmente iguales.
"Todos los términos de las ecuaciones físicas deben de tener las
mismas dimensiones"
La ecuación dimensional: [A]+[B]=[C]–[D]
Será homogénea si: [A]=[B]=[C]=[D]
PROPIEDADES
a) Todo número es adimensional, para cálculos su dimensión es 1.
[3]=1, [0,025]=1, [5/6]=1
b) La dimensión de cualquier función trigonométrica es la unidad.
[sen 30°]=1, [tan 3x]=1, [cosec 20°]=1
c) La dimensión de cualquier función logarítmica es uno.
[log 300]=[(ln)275,3]=[log 1]=1
d) Toda constante numérica es adimensional.
[e]=[]=1
e) Las dimensiones de una constante física no es la unidad.
g =10m/s2, entonces: [g]=LT-2.
FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS
1. [Área]=L2 11.[Energía]=ML2T-2
2. [Volumen]=L3 12.[Potencia]=ML2T-3
3. [Densidad]=ML-3 13.[Presión]=ML-1T-2
4. [Velocidad Lineal]=LT-1 14.[Periodo]=T
5. [Aceleración Lineal]=LT-2 15.[Frecuencia]=T-1
6. [Fuerza]=MLT-2 16.[Velocidad angular]=T-1
7. [Trabajo]=ML2T-2 17. [Caudal]=L3T-1
8. [Aceleración Angular]=T-2 18. [Impulso]=MLT-1
9. [Distancia]=[Altura]=[Radio] = L 19.[Carga eléctrica]=IT
10. [Cantidad de movimiento]=MLT-1
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y ANÁLISIS
VECTORIAL1
120
C.T.A. – FÍSICA
Análisis Dimensional y Análisis Vectorial
ANÁLISIS VECTORIAL
INDICADORES DE LOGRO
* Identificar a un vector como un ente físico que es sumamente útil
para la descripción de los fenómenos físicos y asi comprender las
leyes físicas que los rigen.
* Establecer algoritmos para la adición, sustracción y multiplicación
de vectores.
VECTOR
Segmento de recta orientada que sirve para representar a las
magnitudes vectoriales.
y
x
Mó
du
lo
|A
|
A
 (Dirección)
Línea de
acción
SentidoM
N
A

= Vector «A»
A

= Módulo del vector «A»
M = Origen del vector
N = Extremo del vector
TIPOS DE VECTORES:
a) V. Codirigidos. Poseen igual dirección: A B
 
b) V. Contrariamente dirigidos. Poseen direcciones opuestas.
A B
 
c) V. Ortogonales. Son aquellos cuyas direcciones forman 90°: A B
 
.
IGUALDAD DE VECTORES
A B
A B
A B
  

 
 
OPUESTO DE UN VECTOR
Sea B

 el opuesto de A

, entonces:
A B
B A
A B
   

 
 
OPERACIONES CON VECTORES.
Suma de vectores  Vector resultante ( R )
R : Es aquel vector que reemplazará a dos o más vectores, causando
el mismo efecto.
B
A
* Para:  = 0º
B
A A B
R
R = A + Bmáx
* Para:  = 180º
B
A
R
R = A - Bmín
BA
* Para:  = 90º
R = A + B2 2
B
A
B
A
R
* Para "  " cualquiera:
R = A + B2 2 + 2.A.B.cos
B
A
R
 Casos especiales (Para dos vectores de igual módulo):
 
x
R
x
R = x 3
x
x R
R = x 2
x
x
R
R = x
 Método del polígono
B
A
A
B
R
R = A + B
Caso especial
"poligono cerrado"
R = 0
A
B
C
D
 Método de las componentes rectangulares.
Paso # 1: Los vectores a sumar se disponen partiendo del origen
de coordenadas.
Paso # 2: Los vectores inclinados respecto a los ejes se
reemplazan por sus componentes rectangulares.
Paso # 3: Se calcula la resultante parcial en el eje X, así como la
resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente
las componentes en cada eje.
R = x R = y
eje x eje y
vectores vectores
Paso # 4: Se calcula finalmente el módulo de la resultante, así:
Resultante = R + Rx y
2 2
121
C.T.A. – FÍSICA
Análisis Dimensional y Análisis Vectorial
¿Qué es el vector unitario?
Es un vector cuyo módulo es la unidad. Para un vector dado, se
define matemáticamente como el cociente entre dicho vector y el
módulo de este.
1
u
A
Es decir:
A
u
A



Observación:
Todo vector puede expresarse en función de su módulo y de su
vector unitario.
  
Vector V.UnitarioMódulo
A A . u
  
Vectores unitarios cartesianos
Son aquellos asociados a los ejes positivos del sistema de coordenadas
cartesianas. Se les denota por: ,i j k
  
.
* i j k 1  
  
* i j k 
  
 
x
y
z
j
k
i
Cualquier vector en este sistema podrá ser expresado en función de
estos vectores unitarios. Ejemplos:
1. En el plano 2. En el Espacio
A = Ax i + Ay j ..... (1)
AAy
Ax x
y
 
A = Ax i + Ay j + Az k ..... (2) 
Ax
Ay
A
z
y
x
Az
Las expresiones (1) y (2) son l lamados EXPRESIONES
VECTORIALES del vector A

.
Propiedades de los vectores espaciales
1.- zyx AAA


2.-
2 2 2
x y zA A A A  
   
3.- Cosenos directores:
* Eje x: cos
xA
A

* Eje y: cos
yA
A

* Eje z: cos γ
zA
A

4. 1coscoscos 222 
Los vectores también pueden expresarse en forma de coorde-
nada es decir:
)Az;Ay;Ax(k̂AĵAîAA zyx 

¿Qué es el productode vectores?
Es una operación en la que de dos vectores dados, puede resultar un
número o un vector; esto quiere decir que se tendrá dos clases de
producto.
a) Producto escalar:
El resultado es un número real. Se define así:

A
B
Si los vectores se expresan en forma de coordenada, entonces
el producto escalar también puede hallarse así:
 cos|B||A|BA

Siendo:
 : ángulo entre los vectores A y B
 
b) Producto vectorial
El resultado es un vector perpendicular al plano formado por
los dos vectores. Se define así:
A
BAx

B

 ˆ.sen|B||A|BxA

 
k̂)ABBA(ĵ)ABBA(î)ABBA(BxA
BBB
AAA
k̂ĵî
BxA
yxyxzxzxzyzy
zyx
zyx




En el sistema levógiro debes tener en cuenta que:
i j k
i k j
j i k
j k i
k j i
 
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
i i 0
j j 0
k k 0
 
 
 
 
 
  
i
j k
122
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática I
Ejemplo 01
Si la ecuación indica es homogénea.
UNA+UNI=IPEN
Tal que: U=energía, R=radio, entonces, determina las dimensio-
nes de [PERU]
a) L4M4T–4 b) L–4M2T4 c) L4M2T–4
d) L5M2T–4 e) L5M5T–4
Solución:
* [UNI]=[IPEN]
[U]=[PE]
* [PERU] =[URU]
=[U2R]
=(M2L4T–4)(L)
=M2L5T–4
Ejemplo 02
Determina la E.D. de la constante de gravitación universal.
a) LMT–1 b) LMT–2 c) LMT–3
d) L3MT–1 e) L3M–1T–2
Solución:
2
1 2
F.d
m .m
 
CINEMÁTICA I2
2 2
2
3 1 2
LMT .L
| |
M
| | L M T

 
 
 
Ejemplo 03
En el cubo determina en qué relación se en cuentran los módulos de
los vectores A B
 
 y A B
 
A
B
y
z
x
a) 1/3 b) 2 c) 
2
3
d) 
3
2
 e) 3
Solución:
i. Sea b la arista del cubo:
A b i b j b k
B b i o j b k
  
  
   
   
ii. | A B| 3b 
 
; | A B| b 
 
Luego. 
| A B|
3
| A B|



 
 
CINEMÁTICA
INDICADORES DE LOGRO:
- Describir geométricamente al movimiento mecánico.
- Conocer los conceptos de desplazamiento, velocidad y acelera-
ción.
- Interpretar las leyes del movimiento rectilíneo uniforme y uni-
formemente variado.
- Interpretar las gráficas del movimiento e identificar sus propie-
dades.
En esta parte de la física nos proponemos describir geométrica y
matemáticamente al movimiento mecánico y conocer sus leyes y
propiedades; pero sin darle gran importancia a las causas que producen
cada tipo de movimiento, es decir no vamos analizar por que el
cuerpo se mueve de una manera u otra.
MOVIMIENTO MECÁNICO
"Es un cambio continuo de posición que experimenta una partícula
respecto a un sistema de referencia"
y
x1 x2
x
El móvil esta cambiando
de posición.
0
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO:
a) Según su rapidez: Uniforme y variado.
b) Según su trayectoria: Rectilíneo y curvilíneo
c) Según su orientación: Traslación, rotación, traslación y rota-
ción en forma simultánea.
SISTEMA DE REFERENCIA
Es un conjunto formado por el observador, el sistema cartesiano x-
y-z y reloj (sistema horarrio), el cual permite describir al movimiento
con gran precisión. Debe recordar que el observador siempre se
encontrará en el origen de coordenadas del sistema cartesiano xyz.
ELEMENTOS DESCRIPTIVOS DEL MOVIMIENTO.
El movimiento mecánico posee los siguientes elementos:
d
y
x
rA
rB
(A)
(B)
1. Vector posición ( r

)
Nos indica la posición del móvil en un instante de tiempo.
• Ar : Vector posición en (A)
• Br : Vector posición en (B)
123
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática I
2. Vector desplazamiento ( d

= r

 )
Es aquel vector que nos indica el cambio de posición del
móvil.
d

= AB rrr


3. Recorrido (e)
Es la longitud de la trayectoria entre 2 puntos cualquiera.
4. Distancia (d)
Es la longitud o módulo del vector desplazamiento.
 d | r |

MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
A. Velocidad ( V

)
Es una magnitud física vectorial que nos expresa mediante su
valor la rapidez con que un cuerpo cambia de posición y ade-
más nos indica en qué dirección se mueve el cuerpo.
Además la velocidad se puede medir en un intervalo de tiempo
(velocidad media) o en un instante (velocidad instantá-
nea).
Velocidad = Rapidez + dirección
Velocidad media ( mV

):  m
d
v m / s
t


Rapidez media ( MV

): M
e
V
t
 (m/s)
Velocidad instantánea ( V

): drV
dt


 (m/s) (Es tangente a la tra-
yectoria)
Aceleración media ( ma

) m
V
a
t




(m/s2)
Aceleración instantánea ( a

)
dV
a
dt


 (m/s2) (Esta orientada ha-
cia la concavidad de la trayectoria)
 
x
y
V1
V2
V3
a1
a3
a2
 
 
x
y
V1
V1
V1
V2
V2
V2
am
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Un móvil posee MRU, si su velocidad es constante. Esto supone que
la trayectoria es rectilínea y que su rapidez se mantiene siempre igual.
Cuando esto ocurre el móvil experimenta: «desplazamientos iguales
en tiempos iguales».
Puesto que la trayectoria es rectilínea y de una misma dirección, esto
equivale a decir que el móvil recorre desplazamientos iguales en
intervalos de tiempos iguales(t) .
LEYES DEL MRU:
V

=constante 
d
V t
1.- v=d/t
2.- d=vt
3.- t=d/v
Tiempo de encuentro: e
1 2
d
t
v v


Tiempo de alcance: a
1 2
d
t
v v


Tiempo de cruce: 
1 2
c
1 2
L L
t
V V



MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
VARIADO (MRUV)
En este movimiento el móvil experimenta cambios iguales en su
velocidad en intervalos de tiempo también iguales. Esto ocurre por
que el móvil está afectado de una aceleración constante.
TIPOS DE MOVIMIENTO VARIADO
a) Mov. acelerado. En este caso la velocidad aumenta de valor
dado que: v a
 
b) Mov. desacelerado: En este caso la velocidad disminuye de va-
lor dado que: v a
 
ECUACIONES ESCALARES
En estas ecuaciones no se consideran las características vectoriales
del desplazamiento, velocidad y aceleración:
a

=constante
f o
2 2
f o
2
o
o f
m
1) v v at
2) v v 2ad
a( ) movimiento acelerado 1
3) d v t at a( ) movimiento desacelerado2
v v d
4) v
2 t
  

 
  
   
  

NÚMEROS DE GALILEO
 
a
t t t
k 3k 5k
V=0
 (MRUA)
 
a
t t t
k3k5k
V
V =0F
 (MRUD)
En ambos casos si t= 1 s, entonces k=a/2 ¡No lo olvide!
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO
GRÁFICAS DEL MRU
1. Velocidad (V) vs Tiempo (t)
La gráfica es una recta paralela al eje del tiempo.
t t(s)
V
V(m/s)
Área=d
0
Note que la velocidad permanece constante en todo el movi-
miento. Para un determinado tiempo (t) el área del rectángulo
nos da la distancia.
2. Posición (x) vs tiempo (t)
f
o
t t(s)
X
X
x(m)
0
124
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática I
Análisis: La gráfica nos muestra el alejamiento del móvil del
origen de coordenadas hacia el eje positivo de las «x».
Propiedad:
tan velocidad 
Demostrando: de la figura se tiene:
F Ox x dTan V
t t

   
   
GRÁFICAS DEL M.R.U.V.
1. Aceleración (a) Vs Tiempo (t)
La aceleración es constante por lo tanto la gráfica es una línea
paralela al eje del tiempo.
t t(s)
a
a(m/s )
Área= V
0
2
En esta gráfica el área sombreada nos da el cambio de velocidad
que experimenta el móvil en un intervalo de tiempo (t).
De la figura se tiene:
Área = a.t
Vf - Vo = a.t
Por lo tanto: Área = Cambio de velocidad
2. Velocidad ( V

) Vs tiempo (t)
f
o
t t(s)
v
v
V(m)
0
A
A
1
2
En este caso la velocidad aumenta uniformemente desde Vo
hasta Vf.
El área debajo la gráfica es numéricamente igual a la distancia:
Demostrando: De la gráfica se obtiene:
Área =A1(rectángulo) + A2(triángulo rec.)
f oo
1
área V .t (V V ).t
2
  
  
Al segundo elemento de la ecuación multiplicamos y dividimos
por «t»:
f o
o
a
2
o
Dis tan cia
1 (V V )
área V .t .t.t
2 t
1
área V .t a.t
2
área DISTANCIA

 
 


 

 

* Además se puede notar que:
 
f o
Aceleración
V V
tan ( )
t
tan Aceleración

 
 
 

3. Posición(x) Vs Tiempo (t)
La gráfica es una parábola, debido a que la posición de la partí-
cula en movimiento varía con el cuadrado del tiempo.
2
0 0
1
x xv .t a t
2
  
   
Movimiento acelerado (aumento de velocidad).
o
t t(s)
x
x(m)
0
tan  =Velocidad, para el instante «t».
Movimiento desacelerado.
o
t t(s)
x
x(m)
0
Recta 
tangente
tan  = Velocidad….. Para el instante (t)
ECUACIONES VECTORIALES DEL M.R.U.V.
Permiten generalizar la descripción matemática del movimiento,
estas son:
* )tt(aVV oof 

* 2oooof )tt(a2
1
)tt(Vrr 

ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO
2 3 4 no o o O
1 1 1 1
x x v t a r bt c t ... zt
2 6 24 n!
  
     
donde z es la magnitud física que se mantiene constante en el
tiempo.
Ejemplo 01
Con una rapidez constante de 2 m/s un ciclista recorre 30m y a
causa de un obstáculo desvía su trayecto en 60° y recorre 50m
más. Determina el módulo de la velocidad media.
a) 1,09 m/s b) 1,25 m/s c) 1,45 m/s
d) 1,75 m/s e) 2,0 m/s
Solución:
i.
 
30m
50
m 2m/s
2m/s
d
60°
ii. d 10 9 25 2(3)(5) cos 60º 70m   
iii. m
70m
| V | 1,75m/s
40s
 

125
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática II
Ejemplo 02
Se muestra el impacto de una pelota que 0,2s. Determina su
aceleración media (en m/s2).
20m /s 10m /s
53°53°
y
x
a) 50 i 50 j 
 
b ) 100 i 150 j 
 
c) 50 i 100 j 
 
d) 50 j

e) 40 i 90 j 
 
Solución:
f o
m
2
m
V VV 8i 18j
a
t t 0,2
a ( 40i 90j)m / s
  
  
 
  
   
  
Ejemplo 03
En el gráfico mostrado, un móvil en t=0 se encuentra en
ox 15m

 ; determina su posición en t=7s.
2
8
113
t(s)
V(m /s)
a) –10m
b) –5m
c) +16m
d) +24m
e) +39m
Solución:
i.
4
8
113
t(s)
V(m /s)
7
A1 A2
ii. 1 2
2 8 4 8
d | A A | .3 .4
2 2
d 15 24 39m
          
   
  
iii. fx 39 15 24m   

CINEMÁTICA II3
MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (M.V.C.L)
1. Actúa únicamente la fuerza de gravedad, el cual origina una
aceleración constante denominada aceleración de la gravedad.
2. No se considera la forma, tamaño ni la masa del cuerpo tampoco
la viscosidad de aire.
3. La caída se realiza en el vacío en cercanías de la superficie de la
tierrra en donde consideramos el valor promedio de la grave-
dad g=9,81 m/s2.
ECUACIONES DEL MVCL.
f o
2 2
f o
2
o
o f
V V gt
V V 2gh
1
h V t gt
2
V V
h t
2
 
 
 
 
  
 




(+) : Cuerpo desciende ( ) : Cuerpo asciende
ECUACIONES ADICIONALES.
2
o o
vmáx
V 2V
h t
2g g
 
 Números de Galileo: (si la g = 10 m/s2)
5 m
15 m
25 m
35 m
45 m
50m/s
40m/s
30m/s
20m/s
10m/s
10m/s
20m/s
30m/s
40m/s
50m/s
V=0
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
126
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática II
MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (MPCL)
Movimiento
Parabólico =
Movimiento
Horizontal (M.R.U.)
Movimiento
Vertical (M.R.U.V.)+
1k
3k
5k
7k
v1
v2
v3
d
A
B
C
g
d d d
vx
vx
vx
vx
Vx
TIRO PARABÓLICO
Una partícula se ha lanzado desde "A" con una velocidad "vi" y una
inclinación "", tal como se muestra en la figura. Por efecto de la
gravedad, a medida que el proyectil sube de manera inclinada se ve
forzada a bajar, retornando al piso en "B".
d d d
L
H
Vx
VxV =0y
k
3kh
x x
Vx
VxV1y
V1
V2y V2

g
M

t
t
t
d
V0y

V
t
y
En el punto "A" las componentes de la velocidad son:
* Componente horizontal: vx = vOcos
* Componente vertical inicial: v0y = vOsen
Observación
En la figura, se verifica que:
a.  =  b. 1y 2yV V
 
 c. 1 2V V
 

Observación
* La velocidad total del proyectil es siempre tangente a la parábola
en cualquier punto de esta, y su valor se puede determinar así:
2
fy
2
xT vvv 
Tiro horizontal
Vy
V0
y
x
V0
t =
x = V .to
V = g.ty
V = V + VR
2
0
2y
g
2
y
Ecuaciones Auxiliares del Lanzamiento parabólico
1. Tiempo de vuelo (tV): 
o
Vuelo
2V Sen
t
g


2. Alcance horizontal (R): 
2 2
0 02V sen .cos V sen2R
g g
  
 
3. Altura máxima (Hmáx): 
22 2
oy0
máx
VV sen
H
2g 2g

 
4. Relación entre H y tv: 
2
vgtH
8

5. Ecuación de la trayectoria: 
2
2 2
0
g x
y x.tg
2v cos
  

x
y x.tg (1 )
R
  
6. Relación entre H y R: máxR 4H Ctg
7. Relación geométrica del movimiento parabólico.

V
MRU
d=
V.t
1
2
gt =h2
L
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME
( M . C . U . )
Cuando una partícula describe una circunferencia de manera que
recorre arcos iguales en tiempos también iguales, diremos que posee
un movimiento circunferencial uniforme. Este movimiento se
caracteriza por que la velocidad angular es constante.
V V
V
ac
ac
ac
S
S
S


W=cte
* Velocidad angular *Velocidad tangencial

 t


t
rad
rad/s
s t t
m
m/s
sV
S SV
Periodo (T)
Es el tiempo empleado en una vuelta.

 2T
En el S.I., el período se expresa en segundos (s).
Frecuencia (f)
t
N
f
tiempo
vueltasdenúmero
f 
127
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática II
VaT
ac
a
En medidas angulares En medidas lineales
 
f o
2 2
f o
t 2
o
o t
w w t
w w 2
1
w t
2
w w
t
2
  
  
   
 
   
 
f o
2 2
f o T
21
o T2
f
V V at
V V 2a S
S V t a t
(Vo V )
S
2
 
 
 


Usar: (+) MCUV acelerado
 ( - ) MCUV desacelerado
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO CIRCULAR
a. Fajas y Engranes
 
A 
B 
C 
D 
VA = VB VC = VD 
A A B Bw R w R C C D Dw R w R
b. Cuerpos rígidos por un eje.
  A A= =

VA
VB
A
B
A B
A B
V V
R R

Ejemplo 01
Dado el siguiente gráfico V Vs t 

, ubique verdadero (V) o
falso (F), según corresponda.
U
10
115
t(s)
V(m /s)
6
CN
P
( ) El valor de la aceleración en "UN" y "CP" es igual.
( ) El recorrido en los primeros 11s es 66m
( ) El tramo "NC" nos muestra en MRU
a) VFF b) VVF c) FVF d) VVV e) VFV
Velocidad tangencial (Vt)
Su módulo es constante durante todo el M.C.U.
tV .R
Donde  es la velocidad angular con que gira el radio vector ( r

) que
sigue a la partícula, comprobándose además que los vectores que
representan a tV

, r

 y  son perpendiculares entre sí, tal como se
puede observar en la figura.
Unidades S.I.: (  ) = rad/s, (r) = m, (vt) = m/s
Eje de giro
r
s t
vt
O
Aceleración centrípeta ( ca

)
Modifica la dirección de la velocidad tangencial.
r.
r
v
|a| 2
2
t
c 

 (m/s2)
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE
VARIADO(M.C.U.V.)
Es aquel movimiento alrededor de un circunferencia en el cual la
aceleración angular y el módulo de la aceleración tangencial
permanecen constante.
* Aceleración angular (  ) y aceleración tangencial ( Ta

)
wo
wF

Vo
VF
* Aceleración lineal o total ( a

)
 Es la suma vectorial de las aceleraciones tangencial y centrípeta.
128
C.T.A. – FÍSICA
Estática
ESTÁTICA4
Solución:
(V) 2UN
2
CP
| V | 10m / s
| a | | a | 2m / s
t 5s
10m / s
| a | 2m / s
5s

   

 
 

(F) El recorrido (e) lo encontramos con el área del trapecio.
(11 1).10
e 60m
2

 
(V) En NC se observa una velocidad constante por lo tanto
es un MRU.
Ejemplo 02
En el caso mostrado determina Vx. (g=10m/s
2)
80m
Vx
120m
g
a) 60 m/s b) 40 m/s c) 30 m/s d) 20 m/s e) 10 m/s
Solución:
h=K+3K+5K+7K=80m
t=4s
x
x
120m
V
4s
V 30 m/s
 

Ejemplo 03
La partícula realiza MCUV partiendo del reposo ¿En qué
instante (en s) su aceleración centrípeta será el doble de la
que era en el instante t=2s?
a) 2 2s b) 7 2 c) 10 2
d) 15 2 e) 20 2
Solución:
 2= t
 1= 2

f o
f
t
t
    
  
Consición del problema
c c2 1
2 2
2 1
2 2 2
a 2a
R 2 R
t 8
t 2 2s

  
  

INDICADORES DE LOGRO:
- Identificar las condicones para que un cuerpo se encuentre en
equilibrio.
- Encontrar el C.G de los cuerpos homogéneos y compuestos.
- Discriminar los distintos tipos de fuerza para establecer el equilibrio
de los cuerpos.
E S T Á T I C A
Es parte de la mecánica que estudia al sistema de fuerzas que actúan
sobre un cuerpo material haciendo que estos lo mantengan en
equilibrio mecánico.
PRIMERA LEY DE NEWTON
Llamada Ley de la Inercia
Si un cuerpo se halla en reposo; si está realizando M.R.U., continuarácon M.R.U a no ser que sobre él actúe una fuerza y modifique dicho
estado mecánico.
Equilibrio estático
Equilibrio cinético
V=0
V=cte (M.R.U.)
a=0
TERCERA LEY DE NEWTON
Llamada Ley de Acción y Reacción
Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (una "acción"),
entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una "reacción"). Estas dos
fuerzas tienen el mismo módulo pero dirección opuesta y actúan
sobre diferentes cuerpos.
Fuerza
Antes de estudiar las leyes de la estática debemos conocer el concepto
de fuerza. La fuerza es la medida vectorial de la intensidad de la
interacción entre dos o más cuerpos.
a) FUERZA GRAVITATORIA (Fg)
Se representa como un vector dirigido hacia abajo.
MT
RT
C.G.
FGh
C.G.
FGh
 
wws
en
wcos
GF m.g
m=masa (kg)
g=aceleración de gravedad (m/s2)
FG=fuerza gravitatoria (N)
b) FUERZA DE TENSIÓN ( T

)
Se da en todos los cuerpos cuando son sometidos a estiramientos
por agentes externos, pero es más frecuente encontrarlo en las
cuerdas haciendo un corte imaginario en él; esta fuerza siempre
ingresa al corte. Es una fuerza que se da a nivel molecular cuando
se intenta separar a las moléculas de un cuerpo.
129
C.T.A. – FÍSICA
Estática
c) FUERZA DE REACCIÓN NORMAL (FN , N o R)
Aparece en el interior de dos superficies en contacto, se le grafica
por un vector perpendicular al plano donde actúa, empujando
al cuerpo.
mg
FN
m ge
N1
N2


d) Fuerza Elástica ( Fe

)
Es una fuerza que surge al interior de los cuerpos con propieda-
des elásticas cuando están deformados (estirado o comprimido)
x
F
separación
imaginaria
(Fuerza
deformadora)
Lo
x=0
Fe
Fe
eF = k.x ..... Ley de Hooke
Donde:
Fe : módulo de la fuerza elástica (en N)
x : deformación del resorte (en m o cm)
K : rigidez (en N/m o N/cm)
e) Fuerza de rozamiento por deslizamiento
Es aquella fuerza que surge entre dos superficies ásperas y se
opone al deslizamiento o tendencia de deslizamiento entre di-
chas superficies.
Fuerza de rozamiento estático (fs)
Es la fuerza que surge cuando una superficie rugosa de un cuer-
po intenta deslizar sobre la superficie rugosa de otro cuerpo.
Fg
R=FN
V=0F=0
PISO
BLOQUE
Irregularidades
F1
Fg
Fs
FN
Cuando el bloque está a punto de deslizarse.
 
Fg
R
V=0
F
fs(máx)
FN
s
 
 
    
 
s s(max)
s(max)
s
N
s(max) s N
O f f
f
CTE tg
F
f .F
Donde:
s : coeficiente de rozamiento estático
gF

: fuerza de gravedad; R

: reacción del piso
NF

: fuerza normal
s(máx)f

: fuerza de rozamiento estático máximo
 Fuerza de rozamiento cinético (fk)
Es la fuerza que surge cuando la superficie rugosa de un cuerpo
desliza sobre otra que también es rugosa.
Donde:
:coeficiente de 
rozamiento cinético
IMPORTANTE: > 

 
k
s k
Fg V
F
fk
FN
k
 k k Nf F
Recuerde que cuando la superficie es rugosa la reacción del piso sobre
la base del bloque se obtiene asi:
2 2
NR f F 
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.)
Gráfico donde se aisla a un cuerpo o sistema para graficar sobre él
todas las fuerzas externas que actúan sobre él indicando el ángulo
entre las fuerzas.
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
Diremos que un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación cuando
presenta una aceleración lineal (a = 0), y esto ocurre cuando la resultante
de las fuerzas que lo afectan es cero.
x
R
y
F 0; ( ) ( )
F F 0
F 0; ( ) ( )
                  
  
• No olvidar que: llamamos equilibrio mecánico al estado de
reposo o de movimiento rectilíneo uniforme que presenta un
cuerpo en un determinado marco de referencia.
• Debes saber que: un cuerpo rígido permanece en equilibrio
bajo la acción de dos fuerzas si y solo si estas fuerzas tienen igual
módulo, y están dirigidas según la misma recta en sentidos con-
trarios.
mg
R
Observación !!!
Si un cuerpo está en equilibrio y le hacemos el D.C.L. y resulta que
solo le afectan tres fuerzas entonces dichas fuerzas deben se
concurrentes, y al ser dibujadas en secuencia formarán un triángulo.
Ejemplo:
FN
T
mg

mg
T
FN

MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE 
F
O(M ) .
Es una magnitud vectorial, cuyo módulo expresa el efecto o posible
efecto que tiene una fuerza para producir la rotación de un cuerpo
con respecto a un centro de giro.
130
C.T.A. – FÍSICA
Estática
F
b
Centro de 
giro
RMD
línea de
acción de FMFo
F: (N)
b: brazo de
 fuerza (m)
 : Momento de
 fuerza(N.m) 
MFo
CONVENCIÓN DE SIGNOS
+
Antihorario
 

Antihorario Horario
 
F
oM F.b


 
SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
Un cuerpo se encuentra en equilibrio rotacional cuando el momento
resultante respecto a cualquier punto, dentro o fuera del cuerpo, es
nulo.
EQUILIBRIO
ROTACIONAL  = 0 Mo
RES = 0 ó
  M(+)= M( )
 M = M
Mo
RES = 0
EQUILIBRIO MECÁNICO
Un cuerpo o sistema estará en equilibrio mecánico, si y solo si sobre
el cuerpo o sistema se cumple simultáneamente el equilibrio de
traslación y de rotación.
EQUILIBRIO
MECÁNICO
EQUILIBRIO
DE TRASLACIÓN ( FR = 0 ó a = 0 )
EQUILIBRIO
DE ROTACIÓN Mo
RES = 0 ó  = 0
TEOREMA DE LAS TRES FUERZAS
Cuando sobre un cuerpo actúan 3 fuerzas y no son paralelas ni
colineales entonces estas deben concurrir en un solo punto (de
hecho que se pueden prolongar sus líneas de acción y éstas son las
que se pueden cortar en un sólo punto).
Ejemplo:
La barra homogénea de 8 kg, está a punto de deslizar. Determina la
reacción de la pared rugosa (g=10 m/s2).
Liso Rugoso
37°
Resolución:
37°
N R
80N
37° 37°
Método del triángulo
F 0 ---- R=50 N 

40N
40N
37° 
37°
FN
R=50N
CENTRO DE GRAVEDAD
Es un punto interior o exterior a un cuerpo donde se supone concen-
trado todo el peso del cuerpo.
El centroide, el centro de gravedad y el centro de masa pueden
coincidir bajo ciertos parámetros, estos son cuando el cuerpo es ho-
mogéneo y del mismo espesor. Recuerda que el centroide es estricta-
mente geométrico y el centro de gravedad asi como el centro de masa
son características físicas del cuerpo.
Para el cálculo del centro de masas usaremos el teorema de Varignon
y se dividirá al cuerpo en pequeñas masas de tal modo que su centro
de masa de cada parte sea conocida y luego aplicamos.
CENTRO DE GRAVEDAD
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .w x .w ... x .w
X
w w .. w
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .w y .w ... y .w
Y
w w .. w
  

  
CENTRO DE MASAS
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .m x .m ... x .m
X
m m .. m
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .m y .m ... y .m
Y
m m .. m
  

  
CENTROIDES
De volumen (por comodidad trabajemos en el plano)
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .V x .V ... x .V
X
V V .. V
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
V .m V .m ... V .m
Y
m m .. m
  

  
De superficie
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .A x .A ... x .A
X
A A .. A
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .A y .A ... y .A
Y
A A .. A
  

  
De línea
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .L x .L ... x .L
X
L L .. L
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .L y .L ... y .L
Y
L L .. L
  

  
Para cuerpos homogéneos el C.G. coincidirá con el centro geométrico
del cuerpo.
CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS MÁS USUALES
De líneas
Figura Representación X i Yi
Barra
homogénea
C.G.x
L
L/2 0
Semicircun-
ferencia
y
x
y
xx
y
Eje de
simetría
R
R 2R
 
Cuarto de
circunferencia
y
xx
y
R
C.G.
C.G. 2R
 
2R
 
Sector circun-
ferencial
y
x
x
R
C.G.
R
Rsen
 
0
131
C.T.A. – FÍSICA
Estática
De supercficies y volúmenes
Figura Representación X i Yi
Rectángulo b/2 h/2
Triángulo
rectángulo
y
xx
y
Eje de
simetría
R
b
3
h
3
Semicírculo
y
xx
y
R
C.G.
C.G.
4R
 
Cuadrante de
círculo
2Rsen
 
Sector
Circular
y
xx
R
C.G.
R
y
xC.G.
y
x
C.G. h
b
y
x
x
y
b
h
R


4R
 
4R
 
0
De Volúmenes
Cilíndroy prisma
y
x
z
h
CG
x
y
hCG
z z
h
z
2

Cono y pirámide
z
z
x
y
CG
h
z
x
y
CG
h
z
h
z
4

Semiesfera
R
y
x
z
CG
z 3Rz
8

Ejemplo 01
En la figura se muestra una barra homogénea de 5kg. Determi-
na el valor de la tensión en al cuerda. (g=10m/s2). AB=3,6 m;
CD=2,5m
4kg
A D B
37°g
C
a) 395 N
b) 390 N
c) 200 N
d) 232 N
e) 195 N
Solución:
Tcos37°
50N40N
B
40 50 T cos 37
B B B
M 0
M M M
4 3
40(3,6) 50(1,8) T
5 2
T 195N
 
 
        
   

Ejemplo 02
La esfera mostrada pesa 10N. Determina la reacción normal del
piso horizontal sobre la esfera. Considerar las superficies lisas.
8N
45°
a) 0 N
b) 2 N
c) 7 N
d) 12 N
e) 16 N
Solución:
8N
R = ax
R = ayFN
10N
x y
x
Si : 45
R R a
F 0
a 8
  
  
 

y
N
N
N
F 0
F a 10
F 8 10
F 2N
 
 
 

Ejemplo 03
Determina, las coordenadas del c.g. del alambre homogéneo
mostrado.
132
C.T.A. – FÍSICA
Dinámica y Gravitación Universal
DINÁMICA Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL5
10
3
2
3
y(cm )
x(cm )
a) 1,844...; 3,6 ...) b) (1,194...; 3,361...) c) (3; 5)
d) (4; 6) e) (6, 5)
Solución:
L1=10 x1=0 y1=5
L2=3 x2=1,5 y2=0
L3=3 x3=3 y3=1,5
L4=2 x4=4 y4=3
L 18 
x 1,194...cm
y 3,361...cm


INDICADORES DE LOGRO:
- Identificar la relación causa y efecto del movimiento y aplicarlo en
la resolución de problemas.
- Aplicar la 2da ley de Newton y explicar la causa del movimiento
circular.
- Interpretar las leyes del movimiento de los planetas en torno al Sol.
Introducción
Dentro del contexto histórico podemos encontrar en Galileo el que
primero dió las primeras pautas acerca del estudio del movimiento
mecánico al examinarlo y describirlo bajo diversos puntos de vista,
estableciendo leyes cuantitativas que regían dichos movimientos.
De la misma manera el astrónomo y físico alemán Johanes Kepler
describe el movimiento de los planetas, estableciendo sus tres leyes
que cuantifican dicho movimiento.
Tiempos después aparece en la historia el Físico inglés Isaac Newton
quien va a sistematizar todos estos conocimientos previos y publicarlo
en su obra "Principios matemáticos de la filosofía natural" la cual es la
obra más famosa en lo que a aspecto científico se refiere, en ellas se
encuentran las "leyes del movimiento mecánico", "El análisis de la
composición de la luz", "La gravitación universal" y "El desarrollo del
cálculo diferencial e integral". En los cuales da sus tres leyes que rigen
el estudio de la mecánica, del mismo modo plantea la teoría corpuscular
de la luz e inventa una poderosa herramienta matemática para el estu-
dio minucioso y analítico de la física cual es el cálculo utilizando la
palabra "derivada" e "integral".
LEY DE LA INERCIA
Si la fuerza neta sobre un cuerpo es nula, no se producirá cambio alguno en
la rapidez o dirección del movimiento del cuerpo. Por consiguiente el
cuerpo estará en reposo (caso particular del MRU) o estará moviéndose en
línea recta y a velocidad constante.
La inercia se manifiesta como la oposición o resistencia al cambio de estado
mecánico, cuando sobre un cuerpo queremos cambiar su velocidad.
F =0R

Reposo
F =0R

MRU
liso
V
MASA (m)
La masa de un cuerpo está involucrada en su movimiento, porque influye
en el estado del mismo, la masa es la medida dinámica de la inercia de un
cuerpo. Si quisiéramos mover dos esferas, una de plástico y otra de
plomo, aunque ambas de forma idéntica, resulta más difícil mover la de
plomo, porque contiene más inercia, ya que tiene mayor masa. La unidad
de la masa en el SI es el kilogramo (kg).
SEGUNDA LEY DE NEWTON
(Ley de Fuerza y aceleración)
Para poder plantearlo examinaremos los siguientes ejemplos:
I. El bloque de 2 kg inicialmente en reposo sufre la acción de 2
fuerzas, estas mantienen en equilibrio al cuerpo.
 
 F =10N F =10N1 2
Se observa que: FR = 0, la opción es; que el cuerpo esté en
reposo o se mueva con MRU.
II. Si F1 = 40 N y F2 = 10 N; se nota que existe una fuerza resultante
F =30N (  ), esto presupone un movimiento hacia la derecha
en forma acelerada.
 F =40N F =10N1 2
 
F =30NR
a
Se observa que: a =30/2 = 15 m/s2
Luego la segunda Ley lo podemos plantear así:
«La aceleración que adquiere un cuerpo sometido a la acción de
una fuerza resultante es directamente proporcional a esta, e
inversamente proporcional a su masa».
m
FR
a
F = Fuerza resultante
m = masa
a = aceleración
Unidades en el S.I.
F = m.aR
m
Kg
a
m/s
F 
Newton (N)
R
R
APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY
I. Al movimiento rectilíneo
Ejemplo: Determina la aceleración con la que avanza el bloque:
(m = 5 kg)
133
C.T.A. – FÍSICA
Dinámica y Gravitación Universal
F = 1001 F = 602 
W
N
a
Las fuerzas perpendiculares al 
movimiento se anulan
2da Ley de Newton:
FRE = m.a
F1 - F2 = m.a
100 - 60 = 5.a
a = 8 m/s2
Aceleración en poleas móviles
 
a a
a
1 2
O
1 2
o
a a
a
2


 
Caso especial
 
a
a
a
1
2
o=a
=2a
=0 
La aceleración del 
centro es la mitad de 
la aceleración del extremo.
II. Aplicaciones al movimiento circular
Al analizar un movimiento curvilíneo cualquiera, observaremos que la
velocidad tangencial cambia continuamente de dirección; ello
presupone la existencia de una aceleración, la cual solo podrá justificarse
si existe una fuerza resultante que la produce. Esto nos conduce a la
aceptación del siguiente principio:
"Ningún cuerpo con movimiento curvilíneo
se encuentra en equilibrio".
Así pues, los movimientos de trayectoria curva se deberán analizar
como un caso especial de la dinámica, a la que denominaremos
dinámica circular, para lo cual la segunda ley de Newton se reformula
utilizando los conceptos de aceleración y fuerza centrípeta.
DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL
Es la parte de la física que estudia las condiciones que debe cumplir
un cuerpo para que se encuentre en movimiento circunferencial.
En este caso se aplica la segunda ley en los ejes "Radial" y "Tangencial"
en forma separada.
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Llamada también aceleración normal y es perpendicular a la velocidad
tangencial, su función es cambiar de dirección y sentido a la velocidad,
provocando así un movimiento circunferencial. La aceleración
centrípeta siempre está dirigida hacia el centro de la circunferencia.
2
2
c
V
a W .R
R
 
= Aceleración centrípeta
= Velocidad tangencial
= Velocidad angular
= Radio de la circunferencia
aC


R
FUERZA CENTRÍPETA
Es una fuerza resultante de todas las fuerzas radiales, que genera la
aceleración centrípeta y siempre va dirigida hacia el centro de
curvatura.
Por la segunda ley de Newton:
FT
FC
aT
aC m
R
Eje
tangencial
Eje Radial
W
V
Se observa las fuerzas 
c TF y F
 
 que es la resultante en dirección
radial y tangente respectivamente, luego la segunda ley de Newton
se aplica asi;
Eje radial
 cp cpF ma
 
=m
2V
R
=m 2W .R
 cp ingresan salen del
al centro al centro
(radial) (radial)
F F F   
Eje tangencial
T TF ma
 
En dirección tangente se aplicará para movimientos variados. En el
MCU la Ta

 es nula por lo tanto 
TF

=0.
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Introducción
Desde tiempos muy remotos el movimiento de los planetas fue motivo
de estudio y formulación de diversas teorías que trataban de explicarlo.
Entre las más importantes tenemos la Teoría Geocéntrica de
«Ptolomeo» quien sostenía que la Tierra era el centro del Universo.
Otra teoría importante es la de Copérnico llamada Heliocéntrica por
que sostenía que el Sol era el centro del Sistema Solar y que las
órbitas de los planetas eran circulares. Durante mucho tiempo ambas
teorías fueron discutidas sin que pudiera aprobarse ninguna de las
dos.
Un astrónomo llamado Ticho Brahe tomo datos sobre el movimiento
de los planetas por más de 20 años sin poder determinar cual era la
verdadera. Fue un discípulo suyo el que formuló las siguientes leyes:
LEYES DE KEPLER
1. LEY DE LAS ÓRBITAS:
El movimiento de los planetas es alrededor del Sol describiendo
órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
2. LEY DE LAS ÁREAS:La línea que une el Sol con un planeta (radio vector) describe
áreas iguales en tiempos iguales.
Sol
A1
A2
(A)
(B)
(D)
C( )
t1
t2
134
C.T.A. – FÍSICA
Dinámica y Gravitación Universal
En general se tiene: 
1 2
1 2
A A
t t

3. LEY DE LOS PERÍODOS:
Los cuadrados de los períodos de revolución del movimiento de
los planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a
los cubos de sus distancias al Sol.
M
1
2
R2
R1
 
2 2
1 2
3 3
1 2
T T
K(constante)
R R
T = Período (tiempo empleado en una vuelta en torno al Sol)
R = Radio medio de orbita
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Fue enunciada por Isaac Newton y establece que:
«La fuerza de atracción entre dos masas cualquiera en- cualquier
parte del universo -es directamente proporcional al producto de las
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
separa a sus centros geométricos»
r
F F
m1 m2
1 2
2
Gm .m
F
r

Donde:
Unidades S.I.
F= Fuerza gravitacional (N)
G= Constante de gravitación universal: 6,67.10-11Nm2 / kg2
m1 y m2= masas (kg)
r = distancia entre centros de las masas (m)
Observaciones
1. Las masas se consideran puntuales cuando sus dimensiones son
pequeños en comparación con la distancia que las separa.
2. Toda esfera maciza y homogénea puede considerarse como una
masa concentrada y puntual en su centro.
3. En todo cascarón esférico no existe fuerza de gravitación sobre
una pequeña masa que se encuentre en su interior por lo tanto
no existe campo gravitacional en el interior del cascarón.
F 0
g 0
m
¿Cómo podemos determinar la aceleración de la gravedad
en la superficie, en el interior y en puntos fuera de un
planeta?
Para ello utilizamos la ley de gravitación universal de Newton, el cual
actuaría sobre una masa puntual y seguidamente aplicamos la 2da
Ley de Newton; tal como mostramos en cada uno de los casos:
a) En la superficie del planeta(gA):
 
b) A una altura «h» sobre la superficie del planeta (gh).
h
M
F
m
R
 
2
h A
R
g g
R H
   
  
c) En el interior del planeta.
Mx
Cm
x
El cascaron no ejerce ninguna fuerza gravitacional sobre «m», solo
se tiene la fuerza gravitatoria ejercida por la esfera de radio «x», así:
F = peso(x)
(x)
c2
GM m
mg
x

gC = (x)2
GM
....................(1)
x
r(x) =x
(considerando a la tierra como un planeta de densidad uniforme)
(x)
(x)
M M
V V

(x)
3 3
M M
4 4
x R
3 3

 
M(x) = 
3
3
Mx
R
En (1):
3
3
int 2
Mx
G
Rg
x
  gC = 2
GM x
R R
 
 
  
o
int
g .x
g
R

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA (U)
Es el trabajo que se debe realizar para mover una masa «m» desde
el infinito hasta un punto del campo gravitacional de una esfera o
planeta de masa «M».
r
M
F
m
135
C.T.A. – FÍSICA
Trabajo, Potencia y Energía
Si. E = 0 Velocidad de escape.
Ejemplo 01
En el momento mostrado, el resorte se encuentra estirado en
40cm. Determina el módulo de la aceleración de cada bloque (en
m/s2) desprecie el rozamiento (K=100N/m)
4kg 10kg
A B 
a) 10–10 b) 10–8 c) 10–2 d) 10–4 e) 5–2
Solución:
i.
2
2
A
Fe Kx
100.40.10 4a
a 10m / s




ii. 2
2
B
100.40.10 10a
a 4m / s
 

Ejemplo 02
El bloque mostrado en la figura se mueve sobre la superficie. Si
se aplica una fuerza F=50N éste adquiere una aceleración a1, si
se aplica una fuerza F=80N acelera con a2. Determina la relación
1
2
a
a (g=10m/s
2)
1kg
FK= 0,35
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/10
Solución:
1kg
F
fk mg
N
i. F1–fK=ma1
ii. F2–fK=ma2
1
2
a 1
a 3
 
Ejemplo 03
En el caso mostrado se deja deslizar un bloque. Si este llega al punto
A en 3s. Determina el coeficiente de rozamiento. (g=10m/s2).
6m
V = 0o
µ= ??
37°
A
a) 3/4 b) 4/5 c) 3/5 d) 4/15 e) 17/36
Solución:
2
2
1
10m .a.(3s)
2
20 m
a
9 s


2 2
20 m m 3 4
10 µ.
9 5 5s s
17
µ
36
    
 

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA6
INDICADORES DE LOGRO:
- Reconocer al trabajo mecánico como la medida de la transferencia
de movimiento de una fuerza a un cuerpo.
- Identificar la naturaleza escalar del trabajo, potencia y energía.
- Identificar los casos en lo cuales la energía se conserva y en que
casos la energía se modifica.
- Evaluar la rapidez con la cual se realiza trabajo mecánico.
TRABAJO MECÁNICO
La transferencia de movimiento mecánico de un cuerpo a otro
recibe el nombre de Trabajo Mecánico
TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE ( FW )
Sea una fuerza constante y paralela al desplazamiento, el trabajo que
esta fuerza desarrolla sobre el bloque al desplazarlo una distancia “d”
viene dado por:
 
F F
V=0
V
A Bd
d.FwF BA 

Donde:
F: Módulo de fuerza que realiza el trabajo (en N).
d: Distancia (en m).
FW : Trabajo de la fuerza “F”..
UNIDAD DEL TRABAJO
La unidad del trabajo que utilizamos con mayor frecuencia es el
“Joule” que es el trabajo desarrollado por una fuerza de un newton
al mover su punto de aplicación un metro en su propia dirección,
esto es:
Joule = Newton x metro; 1 J = 1 N x m.
El nombre de Joule se adoptó en honor del físico inglés James Prescott
Joule (1818-1869), cervecero de profesión, pero a quien su
acomodada posición económica, permitió hacer notables
investigaciones en la física.
Al ubicar un eje de coordenadas (eje x) en la dirección del
movimiento, se puede observar como varía “F” en relación a su
posición “x” para luego graficar “F” vs “X”.
En nuestro caso, F es constante y presenta el mismo valor en cualquier
posición, siendo su gráfico (F vs X) el siguiente.
Al calcular el trabajo obtenemos:
136
C.T.A. – FÍSICA
Trabajo, Potencia y Energía
 
1 2
F
x x 2 1
desplazamiento
W = F x - x

Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:
Área:  2 1F x – x .
¡El área bajo la gráfica “F vs X” es numéricamente igual al
trabajo!
1 2
F
x xW Área 
Para una fuerza no constante
Si la fuerza es de módulo variable pero de dirección constante,
entonces, el área bajo la gráfica “F vs X” sigue siendo igual al trabajo,
aunque en este caso puede que el área no sea de una región
conocida.
En este caso el módulo de la fuerza toma distintos valores para cada
posición, sin embargo, el área bajo la curva "F vs X" sigue siendo
igual al trabajo.
variable
1 3
F
x xW =Área
Para el caso de una dependencia lineal de “F” respecto de “X” se
puede utilizar el concepto de fuerza media.
 1 2 2 1
media
F + F
Área = x - x
2
Área = F . d
 
 
  
TRABAJO TOTAL O NETO (WNETO)
El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cual actúan
varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizados por cada
fuerza independientemente de las demás:
F1
F2
F3
A B
d
...WWWW 3F BA
2F
BA
1F
BA
NETO
BA  

Nótese que esta suma es escalar, los sumandos pueden ser positivos,
negativos o cero, lo mismo ocurre con el resultado.
También se puede hallar el trabajo neto como el trabajo de la fuerza
resultante, así, si:
2 3R 1F =F +F +F +...
Nótese que es una suma vectorial, para obtener RF hay que tener
bastante cuidado con las direcciones y los módulos de cada fuerza.
 
FR
d
 




Cos d.Fw
ww
R
NETO
BA
RF
BA
NETO
BA

Si RF 0 (cuerpo en equilibrio) 
NETOW = 0
• Si el movimiento del bloque es uniforme (movimiento a
rapidez constante). F V
90º
R 
 = 
NETOW = 0
Por propia experiencia sabemos que necesitamos fuerza para alterar
la rapidez de un objeto, para vencer el rozamiento, para comprimir
un resorte, para moverse en contra de la gravedad; en cada caso
debe realizarse trabajo. En tal sentido, el trabajo es vencer siempre
una resistencia. Luego, entendemos por trabajo a la facultad que
tienen las fuerzas para generar movimiento venciendo siempre una
resistencia, sea esta una fuerza o bien la propia inercia de los cuerpos,
y solo habrá trabajo sobre un cuerpo si este se desplaza a lo largo de
la línea de acción de la fuerza aplicada.
POTENCIA
La definición de trabajo no mencionó el tiempo empleado, por ejemplo,
si se quiere desplazar un bloque una distancia horizontal de 5m
mediante una fuerza horizontal de 10 N el trabajo que se tiene que
desarrollar sería:  FW = F. d =10 N 5 m = 50 J independientemente
de cuanto tiempo nos tardemos, pues podría ser 1 s, 1 día, 1 año, etc.
Pero muchas veces necesitamos conocer la rapidez con la cual se
efectúa un trabajo, esto se describe en términos de potencia que es
el trabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:
m
Trabajo F .dPotenciamedia= F .V
Tiempo t
 
Eficiencia de una máquina (  )
Toda máquina necesita de un suministro de potencia para realizar
algún tipo de trabajo, esto es, para desarrollar una potencia útil. Así
se define la eficiencia de una máquina como la razón entre las potencias
útiles a la entregada a la máquina.
útil
entregada
P
P

Note que la eficiencia es un número adimensional y que  < 1 pues:
entregada útilP P
Esto es, toda la potencia que se entrega a una máquina no es
aprovechada íntegramente por esta para realizar trabajo, pues hay
pérdidas por rozamiento que normalmente se presencia en forma de
calor (la máquina se calienta).
137
C.T.A. – FÍSICA
Trabajo, Potencia y Energía
entregada perdidaútilP P P 
Observación
La potencia se suele expresar también en términos de tanto por
ciento esto es:
útil
entregada
P
100%
P
  
ENERGÍA MECÁNICA
Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, esto es transmitir mo-
vimiento mecánico.
Energía cinética (EK)
Es la energía asociada al movimiento de los cuerpos.
2
K
1E mV
2

Donde:
m : masa del cuerpo (en kg)
V : rapidez del cuerpo (en m/s)
EK: energía cinética (en J)
Energía potencial (Ep)
Es la energía que tienen los cuerpos y que está asociada a la interacción
con otros cuerpos, esto es, depende de su ubicación o posición
frente a otros cuerpos. Estudiaremos las siguientes clases de energía
potencial.
1. Energía potencial gravitatoria (Epg)
Si dicha posición es una altura respecto a la tierra o a cualquier
nivel de referencia, donde se asume dicha energía como nula.
pgE mgh
Donde:
m: masa del cuerpo (en kg)
h: altura (en m)
g: aceleración de la gravedad (en m/s2)
Epg: energía potencial gravitatoria (en J)
Observación:
La "Epg" es relativa; pues depende del nivel de referencia que se
tome como cero.
2. Energía potencial elástica (Epe)
Si dicha posición es una desviación respecto a una posición de
equilibrio, la presentan comúnmente los cuerpos elásticos cuan-
do son deformados.
 
K
x
Sin
deformar
21Ep Kx
2

Donde:
x: deformación del resorte (en m).
K: constante de fuerza del resorte en (N/m).
Epe: energía portencia elástica (en J).
En conclusión
La energía mide las diversas formas de movimiento e interacción de
las partículas que conforman un sistema.
RELACIÓN ENTRE EL TRABAJO Y LA ENERGÍA
 
El joven realizó trabajo (+) sobre el bloque y este adquirió energía
cinética.
La “ kf ” realiza sobre el bloque trabajo (–) reduciendo su energía
cinética.
Neto KW =ΔE
0Neto Kf KW = E -E
FUERZAS CONSERVATIVAS
Son aquellas fuerzas cuyo trabajo está asociado a una función poten-
cial, esto es, su trabajo puede expresarse como una diferencia de
energías potenciales en sus puntos final e inicial independientemente del
trayecto seguido. Las fuerzas conservativas más comunes son:
• Fuerza de gravedad  asociada a la Epg
• Fuerza elástica  asociada a la Epe
• Fuerza eléctrica  asociada a la eléctricaEp
F.conservW Ep  
 F.conserv o fW Ep Ep 
A B C DM M M M
E E E E  
Caso especial: de la conservación de la energía mecánica:
 
Ahora, si sobre un cuerpo realizan trabajo fuerzas conservativas y
no conservativas tenemos:
F.conserv F.no conserv
K
Ep
W W E
 
  
138
C.T.A. – FÍSICA
Cantidad de Movimiento y M.A.S.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y M.A.S.7
 
f
F.N.conserv
K p
K p
M M Mo
W E E
E E
E E E
   
  
   
F.N.conserv
MW E 
Ejemplo 01
Una esfera de masa 4kg, se suelta de cierta altura impacta con el
suelo luego de 3s. Determina el valor del trabajo realizado por el
peso de la esfera (g=10m/s2).
a) 3,6 KJ b) 2,7 KJ c) 1,8 KJ d) 1,2 KJ e) 0,9 KJ
Solución:
3s
2
h 45m K 3K 5K
W mgh
W 4Kg.10m / s .45m
W 1,8KJ
   
 



Ejemplo 02
Un bloque 40N es abandonado en la posición que se indica en la
figura, cuando el resorte de K=20N/cm está sin deformar, halla la
máxima deformación que presenta el resorte.
K
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm
Solución:
i. La máxima deformación se da cuando el bloque después de
haberse soltado se detiene.
K
m
m
VC
(A)
(B) V = 0B
h= x
N. Ref.
A B 2
H M
1
E E mgx Kx
2
2mg 2.40
x x
K 2000
4
x m x 4cm
100
 
 
  
Ejemplo 03
03. El bloque de 2kg se suelta a partir del reposo en el caso mostra-
do. Determina la energía elástica acumulada en el resorte cuan-
do el bloque presiona al resorte. (K=24 N/m; g=10m/s2)
m
V
= 0
0
20
0c
m
K
37°
= 0
a) 24 J b) 36 J c) 48 J d) 60 J e) 96 J
Solución:
* Por conservación de energía:
2
2
1
mg(2 x)sen37 Kx
2
x x 2 0
x 2m
  
  

2
Pe
PR
1 N
E .24 .4m
2 m
E 48J
 

INDICADORES DE LOGRO:
- Establecer la relación entre el impulso y la cantidad de
movimiento.
- Reformular las leyes de Newton de la Mecánica, en términos de
la cantidad de movimiento e impulso.
- Analizar las leyes del movimiento armónico simple.
- Interpretar la conservación de la energía en el M.A.S.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTUM LINEAL (p

)
¿Qué entendemos por cantidad de movimiento?
Es una medida vectorial del movimiento mecánico cuya transmisión
es instantánea y se hace por vía del impulso. Para un movimiento de
traslación esta dado por el producto de la masa y la velocidad.
P m v
 

Unidad (S.I.):
m= kg; v= m/s; y p = kg.m/s
Si comparamos a un tren de 3 500 kg que se desplaza a una velocidad
de 0,01m/s y una bala de fusil de 0,1 kg con velocidad de 350 m/s,
notaremos que ambos tienen la misma cantidad de movimiento (p =
35 kg.m/s).
CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
(
SISP
 )
¿Cómo se puede determinar la cantidad de movimiento de
un sistema de partículas?
Para este caso se debe tener presente que la cantidad de movimiento
es vectorial y se le debe tratar como tal. Cada partícula integrante del
sistema de partículas crea su propia cantidad de movimiento, luego la
cantidad de movimiento del sistema de partículas se obtiene ( P

sist)
sumando vectorialmente cada una de la cantidad de movimiento de
cada partícula, así:
sist 1 2 nP P P ... P
   
   
Así pues, cuando las partículas se desplazan sobre el eje x-x se debe
tener en cuenta el sentido del movimiento y convencionalmente se
adopta si la partícula se desplaza hacia la derecha: (p) es positivo y si
es hacia la izquierda (p): es negativo, lo mismo se debe tener en
cuenta con las velocidades.
Ejemplo 1
Determina la cantidad de movimiento del sistema de partículas que se
muestra.
139
C.T.A. – FÍSICA
Cantidad de Movimiento y M.A.S.
+3m/s
2kg
-5m/s
4kg
-6m/s
5kg
+4m/s
3kg
+2m/s
2kg
Resolución
Teniendo en cuenta la regla de signos y trabajando en el S.I. se
tiene:
         SIT
SIT
SIT
P 2. 3 4 5 3 6 3 4 2 2
P 6 20 18 12 4
P 10kg.m/s 10i m/s
         
    
   


 
Ejemplo 2
Determina la cantidad de movimiento del sistema.
V =8m/s2
V =6m/s1
3kg
3kg
Resolución
Haciendo uso de los vectores se tiene (p2 = 3.8 = 24 kg.m/s y p1 =3.6
= 18 kg.m/s).
18 kg.m/s
24kg.m/s
P =30kg.m/sSist
Así mismo en el gráfico se observa la cantidad de movimiento del
sistema como el vector resultante en donde su valor se puede
obtener por triángulos notables o haciendo uso del teorema de
Pitágoras.
2 2
Sist
Sist
P 18 24
P 30 kg.m / s
 

IMPULSO ( I

)
¿Qué entendemos por impulso?
El impulso nos indica el grado de efectividad que posee una fuerza
para poner en movimiento a un cuerpo (su acción es instantánea).
Así pues, su valor es directamente proporcional a la fuerza F aplicada
y con el tiempo (  t) que duró su aplicación.
I F. t 
 
Unidad (S.I.):
F: fuerza (N);  t:tiempo (s), y I: impulso (N.s); el equivalente
de N.s es kg.m/s.
¡Importante!
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo comúnmente son variables
y es por ello si realizamos un gráfico Fuerza versus tiempo podemos
comprobar que el área debajo la gráfica es igual al impulso que
recibe un cuerpo en un intervalo de tiempo dado.
F(N)
Fmáx
t(s)t
J=A
Área Impulso
TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
¿Qué pasa con la cantidad de movimiento de un cuerpo cuando
sobre él actúa un impulso?
Todo impulso que se ejerce sobre un cuerpo le ocasiona un cambio
en su cantidad de movimiento, de tal manera que el impulso es igual
a la variación en su cantidad de movimiento.
f 0I p p 
  
Ejemplo
Una pelota de tenis impacta sobre una raqueta en forma horizontal
con +12 m/s y rebota en forma opuesta con -8 m/s, si la masa de la
pelota es de 400 g, determina el impulso que recibió la pelota por
parte de la raqueta.
Resolución
Haciendo un gráfico esquemático:
+12m/s
-8m/s
F
I
m
m
0p

=(0,4 kg)(-8 m/s)= -3,2 kg.m/s
fp

=(0,4 kg)(+12m/s)= +4,8 kg.m/s
Por el teorema del impulso y la cantidad de movimiento se tiene
f 0I p p 
  
I

= +4,8 – (-3,2)
I

= +8 N.s …..Rpta.
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
¿En qué casos la cantidad de movimiento se conserva, es
decir no sufre variaciones?
Cuando la fuerza resultante externa que actúa sobre el cuerpo o el
sistema es nulo (sistema aislado) la cantidad de movimiento se
conserva.
Como externasF 0 

 entonces el impulso es nulo por tanto I

=0,
luego la conservación de la cantidad de movimiento queda así:
inicial final
sist sistP P
 
i i i im .v (iniciales) m .v (finales)  
 
Ejemplo
Un cañón de 100 kg, apoyado sobre una superficie lisa, dispara un
proyectil es de 2 kg con 160 m/s, ¿cuánto tiempo le tomará al cañón
para retroceder 32 m?
a) 5 s b) 10 s c) 15 s
d) 20 s e) 25 s
Resolución
Realizando un diagrama interpretativo del problema, en el cual se
muestra la posición inicial y final de la bala y el cañón.
u2 u =160m/s1100kg
2kg
Inicial 
Final
32m
t=?
Como no hay rozamiento la cantidad de movimiento se conserva.
en x-x:
140
C.T.A. – FÍSICA
Cantidad de Movimiento y M.A.S.
inicial final
sist sist
x x x x
P P
 

 
0 = 100 (-u2) +2.160
u2 =3,2 m/s
Luego como no hay fricción el cañón retrocederá con M.R.U., para
recorrer una distancia de 32 m, empleará un tiempo de:
2
d 32
t
u 3,2
 
t=10 s ..................Rpta
Clave (b)
CHOQUES O COLISIONES
Son impactos violentos en los cuales se produce disipación de
energía en forma de calor.
CLASIFICACIÓN
Por la trayectoria que siguen antes y después del choque se clasifican
en:
1. Choques Frontales
Ocurre cuando la trayectoria de los móviles antes y después del
choque es el mismo. Para este tipo de choque se define el
concepto de coeficiente de restitución (e).
Coeficiente de restitución (e)
Es un factor adimensional que nos da la relación entre la
velocidad relativa de alejamiento después del choque y la
velocidad relativa de acercamiento antes del choque, así:
V1 V2 u1 u2
Antes del choque Después del choque
21
12
VV
uu
e



Se debe tener en cuenta que el coeficiente de restitución varía
entre 0 y 1(0  e  1).
2. Choques excéntricos
Ocurre cuando la línea de acción de las partículas antes y después
del choque son diferentes inclusive lo cuerpos después del
choque pueden estar girando.
¿De acuerdo a la disipación de energía como se clasifican
los choques?
Se clasifican en:
1. Choque elástico (e=1)
En este choque no se produce disipación de energía, es decir
la energía mecánica de los cuerpos antes y después del choque
se conserva.
A.ch D.ch
M ME E
2. Choque inelástico (0<e<1)
En este choque se produce deformación en los cuerpos y por
ende se disipa energía en forma de calor de tal forma que:
A.Ch. D.Ch.M M
E E Q(calor) 
3. Choque totalmente inelástico o Plástico (e=0)
En este choque los cuerpos sufren deformaciones permanentes,
la energía mecánica no se conserva. Los cuerpos después del
choque quedan adheridos es decir tienen la misma velocidad.
M MA.Ch. D.Ch.
E E Q(calor) 
¡Para tener en cuenta!
En todo choque la cantidad de movimiento se conserva:
sisA.Ch. sisD.Ch.P P
Ecuaciones adicionales:
 
 
V
U h
H
Vo=0
 
2
2n
n
h He 1 rebote
h He n rebote
U eV
 
 

 
 
i r
Normal a la
superficie
tan(i)
e
tan(r)



MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)
¿Qué se entiende por M. A. S?
* Es un movimiento rectilíneo, periódico y oscilatorio.
Lo más común es el estudio del sistema masa – resorte.
m
K
-A +A
P.Eq.
* PERIODO (T)
Tiempo empleado en una oscilación completa (ida y vuelta),
debe ser igual en cada oscilación.
P.Eq.P.E. P.E.
T/2
T/2
-A +A
K
Por dinámica, para una posición cualquiera del bloque, se
tiene:
Posición
cualquiera
P.Eq.
x
Fe=Kx
aMAS
Fe = m.aM.A.S.
Kx = m w2 x
K
w
m

Por teoría se sabe que:
T
π2
W   
w
π2
T   
K
m
π2T 
En el S.I. se tiene:
m: masa (kg); T: Periodo (s)
W : frecuencia angular (rad/s)
AMPLITUD (A)
Es la máxima deformación, es la longitud recorrida entre la posición
de equilibrio y una posición extrema. Es decir la masa oscila entre
dichas amplitudes.
ECUACIONES DEL M.A.S
Como se observa el M.A.S. es un movimiento con aceleración variable
asimismo con velocidad variable, entonces para calcular su velocidad
141
C.T.A. – FÍSICA
Cantidad de Movimiento y M.A.S.
(V), posición (x) y aceleración en función del tiempo (t) transcurrido
se tendrá en cuenta el movimiento oscilatorio que realizan y basados
en un análisis matemático y sus aproximaciones las ecuaciones serán:
1. Posición(x):
Se mide respecto de la posición de equilibrio positivo a la derecha
de la P.Eq. y negativo a la izquierda de esta.
 x ASen wt 

Debe recordar:
w = frecuencia angular o circular (rad/s)
t = tiempo transcurrido (s)
 = ángulo de desfase se determina con las condiciones .
2. Velocidad ( MASV

)
Es positiva si se dirige hacia la derecha y negativa si se dirige
hacia al izquierda cuando el movimiento se realiza sobre el eje x
– x (en realidad depende de la posición de equilibrio(P.eq.) y el
plano de oscilación.
MAS
2 2
MAS
V Aw cos(wt )
V w A x
  
 

El signo a elegir va a depender del plano de oscilación como ya
se manifestó.
Si: x = ± A y v = 0
(En las posiciones extremas)
x = 0 y vmáx = wA
(En la posición de equilibrio)
3. Aceleración (aMAS)
Es proporcional al desplazamiento:
aMAS = - Aw
2 Sen(wt +  )
aMAS = ± w
2 x
El máximo valor de la aceleración se da en los extremos del
movimiento y el mínimo valor de la aceleración se da en la posición
de equilibrio (amax=w
2A).
4. Energía en el M.A.S.
Es notorio que cuando un cuerpo desarrolla un M.A.S. en un
plano horizontal están presentes la energía potencial elástica y la
energía cinética. Analizando las posiciones fundamentales del
M.A.S. se concluye que en los extremos la energía mecánica es
igual a la energía potencial elástica y en la posición de equilibrio
la energía cinética es máxima(x=0) e igual a la energía mecánica
del oscilador armónico.
K
P.Eq.
m
P. Ext.
+A
v=0 V =wAmáx
mm
x
V
22222
M kx2
1
mV
2
1
AmW
2
1
kA
2
1
E 
 en x=A en x=0 en una pos. cualquiera
5. ACOPLAMIENTO DE RESORTES
5.1 En Serie 5.2 En Paralelo
K1
K2
K3
K1 K2 K3
321e K
1 
K
1 
K
1 
K
1  321e K K K K 
MOVIMIENTO PENDULAR
L
 
Periodo de oscilación
L
T=2
g

3. Periodo en sistemas acelerados
efectiva
L
T 2
g
 
efecg g a 
  
 a

: aceleración del lugar donde se encuentra el péndulo.
Ejemplo 01
Un cañón de 5kg comprime el resorte 10cm al retorceder cuan-
do dispara una bala de 30g con una rapidez de 500 m/s. Deter-
mina la constante del resorte en KN/m.
a) 2,5 b) 3,5 c) 4,5 d) 5,5 e) 9,0
Solución:
o f
C
C
o e
2 2
P P
5Kg.V 0,03Kg.500m / s
V 3m / s
EK EP
1 1
.5.3 K.(0,1)
2 2





K=4500 N/m K=4,5KN/m
Ejemplo 02
El período de oscilación de un péndulo simple es 10s , si su
longitud disminuye en un 10%. Determina su nuevo período.
a) 1s b) 2s c) 3s d) 2s e) 3 9s
Solución:
1
1
1
L
T 2 10s
g
0,9L
T 2
g
T 0,9L
T 3s
10 L
  
 
   
Ejemplo 03
Un cuerpo de 1kg realiza un MAS de 25cm de amplitud y un
período de 0,5s. Determina su energía cinética cuando el cuerpo
pase por el punto de equilibrio.
a) 2/2J b) 22 J c) 22 J d) 23 J e) 2 / 4J
Solución:
máx
2
k máx
rad
4
s
1
A m
4
m
V A
s
1
E m V
2
  

   

m
P. E.
2
KE J2


142
C.T.A. – FÍSICA
Hidrostática - Hidrodinámica
INDICADORES DE LOGRO:
- Conocer las propiedades básicas de los fluidos.
- Comprender la naturaleza de la presión, sus formas de transfe-
rencia y la ley que la fundamenta.
- Interpretar los principios de Arquímedes y Pascal. Resuelve ejer-
cicios relacionados con la hidrostática.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Es la parte de la Física que estudia las propiedades de los fluidos
(líquidos y gases), y que tiene la finalidad de analizar el
comportamiento y efectos físicos que originan los fluidos en el estado
de reposo y en el estado dinámico.
FLUIDO
Es toda sustancia que se deforma continuamente cuando es sometido
a un esfuerzo cortante o tangencial, aún por muy pequeño que sea
este.
La mecánica de fluidos se puede clasificar de la siguiente manera:
Está tica
- H id ro s tá t ica
d e
- N eu m o stá ticaM EC Á N IC A F lu id o s
D E 
D in ám icaF LU ID O S - H id ro d inám ica
d e
- N eu m o d in ám ica
F lu ido s

 




  

La Hidrostática: Es parte de la mecánica de fluidos que estudia a los
fluidos en reposo.
La Hidrodinámica: Es rama de la mecánica de fluidos que se
encarga de estudiar los líquidos en movimiento. Cuando los líquidos
fluyen, sus moléculas componentes se mueven describiendo curvas
llamadas líneas de corriente.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
I. PRESIÓN Y DENSIDAD
La presión "p" se define como una magnitud física tensorial que
expresa la distribución normal de una fuerza sobre una superficie.
 

La presión es directamente proporcional a la fuerza
e inversamente proporcional a la superficie.
Magnitud tensorial implica que la presión tiene infinitos puntos
de aplicación y manifestación normal sobre todas las superficies.
 
Fuerza Normal Presión 
Área  
 FP
A
Unidades de Presión:
En el S.I., la unidad de presión es: 1 N/m2 = 1 Pascal
Otras unidades prácticas de presión frecuentemente empleadas
son el milímetro de mercurio (mmHg) y la atmósfera (atm).
1 atm = 760 mmHg = 1,01325 x 105 N/m2
La densidad () de un fluido homogéneo representa la masa (m)
por la unidad de volumen (V).
 = m/v
Unidades: kg/m3, g/cm3
HIDROSTÁTICA - HIDRODINÁMICA8
II. PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOS EN REPOSO
• La superficie de un líquido, que está en equilibrio es plana y
horizontal.
• La fuerza ejercida por un líquido sobre una superficie
cualquiera es siempre perpendicular a esta superficie.
• Si en un recipiente echamos diversos líquidos se establece el
equilibrio colocándose unos sobre otros, según el orden de
sus densidades; así, el más denso se coloca en el fondo.
III.PRESIÓN ATMOSFÉRICA
La presión atmosférica es la presión ejercida sobre todos los
objetos de la Tierra por la capa de aire de varios kilómetros de
altura que envuelven nuestro planeta. La atmósfera terrestre
ejerce presión sobre cualquier parte de la superficie terrestre.
Fue Torricelli, físico italiano del siglo XVII, quien hizo la primera
demostración al llenar de mercurio un tubo de vidrio y colocarlo
en posición invertida sobre un recipiente, este bajó en el tubo
hasta un cierto nivel. Como no hay aire en la parte superior
cerrada del tubo, se concluye que el peso de la columna de
mercurio, situada por encima del nivel del depósito, es equilibrado
por la presión atmosférica.
Presión
atmosférica
Vacío
Altura de
columna de
mercurio
Esquema de 
un barómetro 
de mercurio
El tubo de Torricelli no es otra cosa que un barómetro de
mercurio. Toda variación en la altura de la columna de mercurio
corresponde a una variación de la presión atmosférica, llamada
también presión barométrica.
IV. PRESIÓN DE UN LÍQUIDO EN REPOSO (PRESIÓN
HIDROSTÁTICA)
Es la presión que soporta todo cuerpo sumergido en forma
parcial o total en un líquido en reposo relativo. La presión
hidrostática se debe a la acción de la gravedad sobre el líquido.
Consideremos un recipiente que contiene un líquido de densi-
dad " L ".
 
A
h
A
h
PH
mg
143
C.T.A. – FÍSICA
Hidrostática - Hidrodinámica
Se puede observar que la columna del líquido ejerce una presión
sobre la superficie del área "A" debido a su peso, esto es:
PH = 
NF
A
; pero: FN = mg
PH = 
mg
A = 
L(p Vol)g
A
= L
p (A.h)g
A
PH =.g.h
L: Densidad del líquido (kg/m
3)
h: Profundidad (m)
PRINCIPO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA
«La diferencia de presiones hidrostáticas entre los puntos situados
en un mismo líquido en reposo relativo es igual al producto de la
densidad del líquido por la altura entre dichos puntos por la
gravedad».
 
2h
1h
H
Nivel 1
Nivel 2
2 liq 2
1 liq 1
P gh
P gh



 
2 1 liq 2 1
2 1 liq
liq
P P g(h h )
P P gH
P gH



  
 
 
Donde: 2 1H h h 
Nota: Si: 1 2h h (a un mismo nivel)
2 1P P 0   2 1 P P 
 Se denominan líquidos inmiscibles a aquellos que cuando se juntan
no llegan a mezclarse. Los menos densos tienden a subir a la
superficie y los demás tratan de quedarse en el fondo.
 
 
C
B
A
Ch
Bh
Ah
 Si: A B C   
A A B B C CP h h h    
VASOS COMUNICANTES
En todo vaso comunicante, los puntos que se encuentran a igual
profundidad soportaran igual presión hidrostática.
A B C
PRINCIPIO DE PASCAL
En el gráfico se muestra un líquido dentro de un recipiente provisto
de un pistón al cual podemos aplicar cualquier presión externa.
P =2Pa1
P =6Pa2
A=1m2
Si ahora aplicamos sobre el émbolo una fuerza de 2N observamos
que:
P’ =4Pa1
P’ =8Pa2
F=2N
La presión ejercida por la fuerza de 2N sobre el líquido es:
P=
F
A = 2
2N
1m
= 2 Pa
Que justamente es igual a la variación de la presión en las dos lecturas:
(P1 - P1 y P2 - P2)
"El fluido (gas o líquido) transmite la presión que se ejerce en todas
las direcciones y con igual valor".
PRENSA HIDRÁULICA
Es una máquina simple que tiene por objetivo multiplicar la fuerza
que se le comunica. Sus aplicaciones se dan para levantar cargas
pesadas.
Aquí se cumple el principio de Pascal
 
2F
2Area A 1Area A
1F
 
1 1
2 2
F A
F A
Desplazamiento de émbolos
Los volúmenes de líquido desplazado son iguales, de donde se
establece que:
Al ejercer sobre el pistón de área "A1" una fuerza F1 este trasmite al
líquido una presión P1 dada por:
P1 = 
1
1
F
A
Luego, el líquido le trasmite al pistón de área "A2" una presión P2
dada por:
P2 = 
2
2
F
A
Pero, de acuerdo al principio de Pascal.
P1 = P2
1 2
1 2
F F
A A
 
De donde:
2
2
1
1
A
F F
A
 
  
 
 ; 
1 1 2
2 2 1
F A h
F A h
 
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
«Todo cuerpo sumergido parcial o totalmente en un líquido recibe
una fuerza vertical de abajo hacia arriba, denominada empuje cuyo
valor es igual al peso del líquido desalojado».
Si colocamos un bloque de madera sobre un recipiente lleno de
agua, observaremos que éste flota. ¿Cómo se puede explicar esto?
144
C.T.A. – FÍSICA
Hidrostática - Hidrodinámica
Consideramos un cuerpo en forma de paralelepípedo sumergido
dentro de un líquido de densidad "PL" tal como se muestra.
 
Las fuerzas que actúan en las caras laterales son iguales y se
equilibran, es decir, F3 = F4. Por el efecto de estas fuerzas el cuerpo
solo se comprime.
En la vertical, como P2 > P1 entonces F2 > F1 por esta razón el cuerpo
es empujado por una fuerza resultante F2 - F1 a la cual se denomina
empuje hidrostático (E).
E = F2 - F1
 = P2A - P1A= (P2 - P1) A
 = ( Lgh2 - Lgh )A
 = Lg(h2 - h1)A
E= L.g.Vsum
Generalizando este resultado
VsumM
E
 sumL V.g.E 
LEYES DE FLOTACIÓN
1ª Ley: «Si el peso específico del cuerpo es mayor que el del líquido
en el cual se sumerge, entonces, el cuerpo se hunde hasta el fondo,
con una aceleración a

>>.
 
L
C
CV
W
Ea
1 
líq
cuerpo
a g


 
   
 
2ª Ley: «Si el peso específico del cuerpo es igual a la del líquido en
el que se sumerge, entonces el cuerpo flota entre las aguas.
 C líq 
3ª Ley: "Si el peso específico del cuerpo es menor que el peso
específico del líquido, entonces, el cuerpo flota con parte de su
volumen fuera del líquido"
Vsum
Vcuerpo
L
Sum
Cuerpo L
Cuerpo
V
V
 
     
 
PESO APARENTE
Se llama así a la diferencia entre el peso real de un cuerpo, (peso
medido en el vacío) y el empuje del fluido en el que se encuentra el
cuerpo.
Empuje=Peso Real Peso Aparente
En el caso de un cuerpo sumergido en líquidos inmiscibles, el empuje
se obtiene de la siguiente manera:
 
1
2
3
1V
W
2V
3V
 1 2 3TE E E E   T 1 1 2 2 3 3E V V V    
 El empuje hidrostático en recipientes acelerados, es perpendicular
a la superficie libre del líquido y dicha superficie se inclina tal como se
muestra.
 
 
 a g tan 
H I D R O D I N Á M I C A
Es la rama de la Mecánica de Fluidos que se encarga de estudiar el
comportamiento de los líquidos en movimiento.
TIPOS DE FLUJO
Cuando los líquidos fluyen sus moléculas componentes se mueven
describiendo curvas llamadas líneas de corriente. Lo pueden hacer
mediante un movimiento. Si estas no cambian en el tiempo el
movimiento se llamará estacionario y si lo hace se denomina turbulento.
Y la corriente se llamará estacionario y si lo hace se denomina
turbulento. Y la corriente se llamará uniforme si las líneas de corriente
son paralelas, notándose que la velocidad es la misma en todos los
puntos del fluido.
a) Flujo de régimen estable: Cuando en cualquier punto del fluido
el vector velocidad es idéntico (en módulo y en dirección).
b) Flujo de régimen variable: Cuando el vector velocidad varía
con el tiempo.
c) Flujo de régimen turbulento: Es el más frecuente de los casos
prácticos. Se trata cuando las partículas del fluido se mueven
siguiendo trayectorias muy irregulares.
d) Flujo real o viscoso: Cuando se considera el rozamiento o vis-
cosidad.
e) Flujo ideal o no viscoso: Es cuando se supone sin rozamiento o
sea, viscosidad nula y que no es turbulento.
f) Flujo compresible: Cuando la densidad del fluido es función de
la posición en el espacio y del tiempo (x, y, z, t).
g) Flujo Incompresible: Cuando la densidad es constante.
h) Flujo rotacional: Cuando las partículas del fluido en cada punto,
tienen una velocidad angular neta con respecto a ese punto.
i) Flujo irrotacional: Cuando se tiene el caso contrario al flujo
rotacional.
CAUDAL
Se denomina así al volumen que atraviesa la sección recta de una
corriente en cada unidad de tiempo.
Q: La rapidez de flujo de volumen es el volumen del flujo de fluido
que pasa por una sección por unidad de tiempo.

 

3V m
Q A.V. ;
t s
W: La rapidez de flujo de peso es el peso del fluido que fluye por una
sección por unidada de tiempo.  
O N
W Q ;
s
M:la rapidez de flujo de masa es la masa del fluido que fluye por una
sección por unidad de tiempo.  
O Kg
M Q;
s
145
C.T.A. – FÍSICA
Hidrostática - Hidrodinámica
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
El volumen de fluido que atraviesa en la unidad de tiempo cualquier
sección recta de la corriente es el mismo. Si tenemos:
1 1 2 2Q A ; A  
Donde: 1 1A ; 2 2A ;=Sección transversal (m2)
1 1A ;2 2A ; =rapidez (m/s)
ECUACIÓN DE BERNOULLI
La energía total de un fluido incompresible con movimiento
estacionario se mantiene constante.
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
p v gh p v gh cte
2 2
        
 
2V
2A
2h
1h
1V
1A
Esta ecuación se cumple con gran aproximación en los líquidos pero
es mucho más exacta para gases debido a su gran compresibilidad.
21 v p cte
2
  
Esta expresión nos indica que allí donde la velocidad es mayor la
presión es menor.
APLICACIONES
a) Teorema de Torricelli v 2g h
b) Contador de Venturi 
1 2
2 1 2 2
1 2
2(p p )
v A
(A A )



c) Tubo de Pitot 02
2g h
v



0 : Líquido manométrico
d) Atomizador Spray “donde mayor es la velocidad menor es la
presión”.
e) Sustentación del ala de un avión 
2 2
2 1
1
F (v v )A
2
 
f) Empuje sobre un cohete 
0
esc
emp 0 0
2(p p )
v
F 2A (p p )

 
 

  
VISCOSIDAD
Es la oposición que ofrecen las moléculas de un fluido al desplazamiento
de un cuerpo en contacto con ellas.
Fuerza de Viscosidad:
A.v
F
h

 : Coeficiente de viscosidad
A : Área de la lámina
v : Velocidad de la lámina
h : Altura de líquido
Ley de Stokes
F 6 R v  (Esfera)
En general:
F k v (Velocidades pequeñas)
2F k v (Velocidades grandes)
Ejemplo 01
Un tubo en U contiene mercurio, si cuendo en su rama derecha
se vierte 27,2 cm de agua, ¿qué altura se eleva el mercurio en la
rama izquierda a partir de su nivel inicial? ( 3Hg 13,6g / cm  )
a) 0,5 cm b) 1,0 cm d) 1,5 cm d) 2,0 cm e) 2,5 cm
Solución:
Hg
x
x
27,2 cm
H O2g
Hg H O2
g(2x) g(27,2)
13,6(2x) 27,2
x 1cm
  


Ejemplo 02
Un bloque cúbico de 10cm de arista y densidad 0,5 g/cm3 flota
en un recipiente que contiene agua y aceite. Si el espesor de la
capa de aceite es 5cm y su densidad es 0,8 g/cm3. Determina qué
longitud de la arista del cubo está por encima de la superficie del
aceite.
aceite
g
Agua
a) 1 cm b) 2 cm c) 2,5 cm d) 3 cm e) 4 cm
Solución:
1° D.C.L. del bloque cúbico:
 
EH2O
Wb
Eaceite
x
5cm
h
g
2° 2H O ACEITEE E Wb 
H O AC b2
gAx gA(5) P gA(10)
x 4 5 x 1cm; h 5cm 1cm 10cm
   
      
Luego: h=4cm
Ejemplo 03
En un barómetro la altura de la columna líquida es 2,28m. Deter-
mina la densidad del líquido respecto a la densidad de mercurio.
a) 1/8 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/5 d) 1/2
Solución:
L L Hg Hgp .g.h .g.h   
HgL
Hg L
h 76cm 1
h 228cm 3

  

146
C.T.A. – FÍSICA
Fenómenos Térmicos
INDICADORES DE LOGRO:
- Reconocer un fenómeno térmico y la energía interna.
- Analizar e interpreta el comportamiento térmico de los cuerpos
cuando cambian de temperatura y cambian de fase.
- Diferenciar estado termodinámico y fase.
FENÓMENOS TÉRMICOS
Temperatura: Es una magnitud física tensorial, mide el grado de
agitación molecular de una sustancia.
Ley Cero de la Termodinámica
Dos sistemas en equilibrio térmico con un tercero, están en equilibrio
térmico entre sí.
baja E altaT T T 
Escalas termométricas
 
Escala
Absoluta
Escala
Relativa
273
0
100
460
32
212
0
273
373
0
492
672
 R KºFºC
Punto de ebullición 
del agua
Punto de fusión
del agua
Relación entre la variación de temperatura:
   
    
C K F R
T
5 5 9 9
Creación de nuevas escalas:
2
2 2
Escala" x" Pto de fusión de H O
Pto de ebullición de H O Pto de fusión de H O


Los puntos de fusión y ebullición deben estar expresados en la nueva
escala.
DILATACIÓN
Es el fenómeno que consiste en la variación de las dimensiones de un
cuerpo como resultado del aumento de temperatura. Para sólidos y
líquidos se cumple que:
Dilatación lineal: Es el aumento de longitud que experimentan los
cuerpos lineales al aumentar su temperatura.
Estado inicial
 
0T
0L
Estado final
 
fT
0L L
fL
  f 0T T T    0L L T
Como: f 0L L L     f 0L L (1 T)
Donde:  : coeficiente de dilatación lineal
     1 1º C , K
 T : Variación de temperatura
Dilatación superficial:Es el aumento de superficie de aquellos cuer-
pos (planchas, placas) debido al incremento de temperatura.
FENÓMENOS TÉRMICOS9
Estado inicial
 
0T0A
Estado final
 
FTF
  f 0T T T    0A A T
Como: f 0A A A     f 0A A (1 T)
Donde:   2 : coeficiente de dilatación superficial
     1 1º C , K
T : Variación de temperatura en ºK
Dilatación volumétrica: Es el aumento de volumen por
aumento de temperatura.
Estado inicial