Desigualdad de Chebyshev(1)

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Prof. Laura Lanzarini
Desigualdad de Chebyshev
• Si conocemos la distribución de probabilidades 
de una v.a. X podemos calcular E(X) y V(X).
• La recíproca no es cierta. Dadas E(X) y V(X) no 
podemos reconstruir la distribución de 
probabilidades de X
• No podemos calcular P(|X-E(X)|>)  C.
• A través de la desigualdad de Chebyshev
podemos hallar una cota para esta probabilidad.
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Desigualdad de Chebyshev
• Sea X una v.a. con E(X)= y sea c un nro.real
cualquiera; entonces si E[(X-c) 2] es finita y  es 
cualquier número positivo, tenemos
 2
2
)(
1
)|(| cXEcXP 


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Desigualdad de Chebyshev
• Veamos la demostración para una v.a. X continua (si 
fuera discreta cambiar integral por sumatoria)





|:|
)()|(|
cxx
dxxfcXP
• Los x que cumplen que |x-c|> son los mismos 
que cumplen 
1
)(
2
2



cx
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Desigualdad de Chebyshev





|:|
)()|(|
cxx
dxxfcXP 


|:|
)(.1
cxx
dxxf
1
)(
2
2



cx
• Dado que






|:|
2
2
)(.
)(
cxx
dxxf
cx
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Desigualdad de Chebyshev







|:|
2
2
)(.
)(
)|(|
cxx
dxxf
cx
cxP




dxxf
cx
)(.
)(
2
2


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Desigualdad de Chebyshev




 dxxf
cx
cxP )(.
)(
)|(|
2
2







 
2
2)(

cx
E  22 )(
1
cxE 

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Desigualdad de Chebyshev
• Sea X una v.a. con E(X)= y sea c un nro.real
cualquiera; entonces si E[(X-c) 2] es finita y  es 
cualquier número positivo, tenemos
• Si elegimos c=E(X)=
 2
2
)(
1
)|(| 

  XEXP
)(XV
 2
2
)(
1
)|(| cXEcXP 


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Desigualdad de Chebyshev
• Sea X una v.a. con E(X)= ; entonces si V(X) es 
finita y  es cualquier número positivo, tenemos
• Si elegimos
)(
1
)|(|
2
XVXP

 
)(XVkk  
222
1
)(
)(
)(
)(
)|(|
kXVk
XV
k
XV
kXP 


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Desigualdad de Chebyshev
• Es un resultado estadístico que nos permite comprender 
cómo la varianza mide la variabilidad de una v.a. con 
respecto a su esperanza matemática.
2
1
)|(|
k
kXP  
k = 2
k = 3
k = 5
• En particular
No mas de ¼ de los valores se alejan de la media en 2 
desviaciones estándar (DE)
No mas de 1/9 se alejan de la media en 3 DE
No mas de 1/25 se alejan de la media en 5 DE
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Desigualdad de Chebyshev
• Es un resultado estadístico que nos permite comprender 
cómo la varianza mide la variabilidad de una v.a. con 
respecto a su esperanza matemática.
• En general
▫ No mas de 1/k2 de los valores se alejan de la media en 
k desviaciones estándar .
2
1
)|(|
k
kXP  
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Ejemplo
• Se desea estimar la siguiente probabilidad
• Sin conocer la distribución de X






 
2
3
|)(| XEXP
La desigualdad de Chebyshev permite obtener una cota 
superior para esta probabilidad.
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Ejemplo
• Según la desigualdad de Chebyshev
entonces si k=3/2
2
1
)|(|
k
kXP  
44.0
9
4
)2/3(
1
)
2
3
|(|
2
 XP
Es mejor que la 
cota trivial 1
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Ejemplo
• Se desea estimar la siguiente probabilidad
• Sabiendo que






 
2
3
|)(| XEXP







3
1
1,
3
1
1UX
Tenemos todos los datos. Podemos calcularla exactamente
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Ejemplo







3
1
1,
3
1
1UX
1
2
3
1
1
3
1
1
)( 







XE
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Ejemplo







3
1
1,
3
1
1UX
9
1
36
4
12
3
2
12
3
1
1
3
1
1
)(
22





















XV
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Ejemplo






 
2
3
|)(| XEXP





























2
3
2
1
1
2
1
|1|1
2
1
|1|
9
1
2
3
|1|
XPXP
XPXP
1)( XE
9
1

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Ejemplo
134.0
2
3
1
3
1
1
3
1
1
2
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
3
2
1
1
2
1
|1|


































 XPXPXPXP
Este valor es menor a la cota obtenida por la 
desigualdad de Chebyshev
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Desigualdad de Chebyshev
• La desigualdad que acabamos de demostrar
también puede escribirse como
 2
2
)(
1
)|(| cXEcXP 


 2
2
)(
1
1)|(| cXEcXP 


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La ley de los grandes números
• La ley de los grandes números permite afirmar 
que cuando el número de repeticiones de un 
experimento aumenta fA, la frecuencia relativa 
del experimento A, converge a la probabilidad 
teórica P(A).
• Es lo que nos permite identificar la frecuencia 
relativa de un evento con la probabilidad del 
evento (para un número grande de repeticiones).
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La ley de los grandes números
• Sea un experimento y A un evento asociado con él. 
• Sea nA el número de veces que ocurre A en n
repeticiones independientes y sea fA=nA /n.
• Sea P(A)=p (igual para todas las repeticiones)
• Entonces para cualquier número positivo 
o también
2
)1(
)||(


n
pp
pfP A


2
)1(
1)||(


n
pp
pfP A


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La ley de los grandes números
• Sea nA el número de veces que ocurre el evento A.
• nA B(n,p)  E(nA)=np
V(nA)=n.p.(1-p).
• Ahora fA=nA /n  E(fA)=p 
V(fA)=p.(1-p)/n
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La ley de los grandes números
• fA=nA /n  E(fA)=p y V(fA)=p.(1-p)/n
• Aplicando la desigualdad de Chebyshev
2
1
1))(|)(|(
k
fVkfEfP AAA 
n
pp )1( p
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La ley de los grandes números
• fA=nA /n  E(fA)=p y V(fA)=p.(1-p)/n
• Aplicando la desigualdad de Chebyshev
2
1
1
)1.(
||
kn
pp
kpfP A 






 

)1.(
)1.( 22
pp
n
k
n
pp
ksi






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La ley de los grandes números
• fA=nA /n  E(fA)=p y V(fA)=p.(1-p)/n
• Aplicando la desigualdad de Chebyshev
 
2
)1.(
1||


n
pp
pfP A


  01||lim 

pfP A
n
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Ejemplo
• ¿Cuántas repeticiones del experimento deberían 
hacerse para tener una probabilidad de 0.95 de que 
fA difiera de p=P(A) en menos de 0.01?
 
2
)1.(
1||


n
pp
pfP A


0.01 0.95
222 )01.0(05.0
)1.(
05.0
)01.0(
)1.(
95.0
)01.0(
)1.(
1
pp
n
n
pp
n
pp 





 
2)01.0(05.0
)1.(
95.001.0||
pp
ncuandopfP A

Luego
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Ejercicio
• ¿Cuántas veces habría que tirar un dado regular para 
tener un 95% de seguridad de que la frecuencia 
relativa de que salga un seis diste a lo sumo 0.01 de 
la probabilidad teórica 1/6?
2)01.0(
6
5
.
6
1
195.001.0|
6
1
|
n
fP A 






27778
)01.0(05.0
36
5
05.0
)01.0(
36
5
22
 n
n
Nro. 
mínimo de 
veces
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La ley de los grandes números
• En muchos casos no conocemos el valor de p=P(A) y por 
lo tanto no podemos usar el límite anterior de n.
• En este caso podemos usar el hecho de que p(1-p) toma 
su valor máximo cuando p=1/2 y este valor máximo es 
igual a 1/4.
• Así, estaríamos seguros que si indicamos 
tenemos
    1|| pfP A
 24
1
n
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Ejemplo
• Sea p la probabilidad de que un artículo sea 
defectuoso. 
• Un gran número de artículos, n, se clasifican como 
defectuosos y no defectuosos.
• ¿Cuál debe ser el tamaño de n de modo que 
podamos estar un 99% seguros de que la frecuencia 
relativa de los defectuosos se diferencia de p en a lo 
sumo 0.05?
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Ejemplo
• Como desconocemos el valor de p utilizaremos 
su valor máximo 
con
• =0.05 y =0.01
• Luego si 
se satisface la condición pedida
    1|| pfP A  24
1
n
10000
01.0*05.0*4
1
2
n