Intervalos de confianza(1)

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Prof. Laura Lanzarini
Intervalos de confianza
 Se ha visto como construir a partir de una 
muestra aleatoria un estimador puntual de un 
parámetro desconocido. 
 A veces resulta más conveniente dar un 
intervalo de valores posibles del 
parámetro desconocido, de manera tal que 
dicho intervalo contenga al verdadero 
parámetro con determinada probabilidad.
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza
 A partir de una muestra aleatoria se 
construye el intervalo donde los 
extremos y son dos estadísticos, tal 
que
 21 ˆ,ˆ 
1̂ 2̂
     1ˆ,ˆ 21P
Parámetro 
desconocido a 
estimar
valor real entre cero 
y uno dado de 
antemano
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.1
 Si =0.05, se quiere construir un intervalo 
tal que
o escrito de otra forma
 21 ˆ,ˆ 
   95.0ˆ,ˆ 21 P
  95.0ˆˆ 21  P
Prof. Laura Lanzarini
Interpretación 
 Si medimos la muestra 100 veces tendremos 100 
intervalos distintos de los cuales aprox.5 no contendrán 
al verdadero parámetro.
  95.0ˆˆ 21  P

 Al valor 1− se lo llama 
nivel de confianza del 
intervalo.
 También se suele definir 
como nivel de confianza al 
100(1- )%.
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de una 
v.a. X  N(,2) con 2 conocido.
 Se quiere construir un intervalo de confianza 
para  de nivel 1-. Supongamos =0.05
PASO 1
Tomamos un 
estimador 
puntual de .
PASO 2
Con el estimador y 
construimos el 
estadístico Z de 
distribución conocida
PASO 3
Obtener el 
intervalo a partir 
de la 
distribución de Z
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Paso 1
Tomamos un estimador puntual de .
Sabemos que
es un estimador con buenas propiedades
X̂
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Paso 2
A partir de construimos el estadístico
 Note que Z contiene al verdadero parámetro 
 y que tiene distribución N(0,1)
X̂
n
X
Z



Prof. Laura Lanzarini
96.1975.0)(  zz
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Paso 3
Como conocemos la distribución de Z 
podemos hallar el valor z tal que
95.0)(  zZzP
95.01)(2)()()(  zzzzZzP
Prof. Laura Lanzarini
 Por lo tanto
 Sólo resta despejar  para tener algo de la 
forma
 El intervalo pedido es 
95.096.196.1)96.196.1( 













n
X
PZP


  95.0ˆˆ 21  P
 21 ˆ,ˆ 
Prof. Laura Lanzarini
 Multiplicando a ambos lados por 
obtenemos
 Restando 
 Multiplicando por -1
n
X
n
n
X 




96.196.196.196.1 


n

X
n
X
n




96.196.1
X
n
X
n
X



96.196.1 
Prof. Laura Lanzarini
 Es decir
`
 Por lo tanto
n
X
n
X



96.196.1 
n
X
n
X



96.196.1 
95.096.196.1 






n
X
n
XP



Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Es decir que el intervalo de confianza para 
que tiene nivel de confianza 0.95 o 95% es







n
X
n
X

96.1;96.1
Repetiremos el proceso para un nivel de 
confianza 1-
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Paso 1
Dada una muestra (X1, X2, …, Xn), partimos 
de la esperanza muestral
Sabemos que es un estimador insesgado y 
consistente de .



n
i
iX
n
X
1
1
̂
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Paso 2
Construimos el estadístico Z llamado pivote
 Z cumple con las condiciones para ser 
pivote: su expresión depende de  pero su 
distribución no.
)1,0(N
n
X
Z 




Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Paso 3
Para construir el intervalo de confianza al 
nivel de confianza 1-  partiendo del pivote Z, 
comenzamos por plantear la ecuación
donde la incógnita es el número real z.
 1)( zZzP
Prof. Laura Lanzarini
 Reemplazando la v.a. Z por su expresión
 Despejamos  como hicimos en el ejemplo 
anterior
















 1z
n
X
zP










 1
n
zX
n
zXP
1̂ 2̂
Prof. Laura Lanzarini
  1)(
22
zZzP
2
1
2

 



 zF
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza conocida
 Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de 
una v.a. X  N(,2),2 conocido, un 
intervalo de confianza para  de un nivel 
1- es







n
zX
n
zX


22
;
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.2
 La resistencia a la compresión del concreto está 
distribuida aprox.de manera normal, con 
varianza 1000 (psi)2. Al tomar una muestra 
aleatoria de 12 especímenes, se tiene que 
x = 3250 psi.
a) Construya un intervalo de confianza del 95% 
para la resistencia a la compresión promedio.
b) Idem a) para un intervalo de confianza del 99%.
 Compare el ancho de los intervalos de a) y b).
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.2
 La v. a. de interés es Xi: “resistencia a la 
compresión del concreto en un espécimen i”
 n = 12 especímenes. 
 Xi  N(,
2) con i=1,2,…,12 con 2 = 1000
a) Queremos un intervalo de confianza de nivel
95% por lo tanto =0.05 de la forma







n
zX
n
zX


22
;
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.2
 Buscamos en la tabla de la normal 
estándar el valor de 
96.1025.0
2
 zz
025.0)( 025.0  zZP2
1
2

 



 zF
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.2
 Reemplazando







n
zX
n
zX


22
;









12
1000
96.13250;
12
1000
96.13250
 89227.3267;10773.3232
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.2
b) Repetimos el proceso para =0.01
58.2005.0
2
 zz
005.0)(  zZP
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.2
 Reemplazando







n
zX
n
zX


22
;









12
1000
58.23250;
12
1000
58.23250
 55207.3273;44793.3226
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.2
 La longitud del intervalo en a) es: 35.78454
 La longitud del intervalo en b) es: 47.10414
 Notar que la seguridad de que el verdadero 
parámetro se encuentre en el intervalo hallado 
es mayor en el intervalo b) que en el a), pero la 
longitud del intervalo b) es mayor que la del 
intervalo a).
Prof. Laura Lanzarini
Precisión de la estimación
 Al aumentar el nivel de confianza se perdió 
precisión en la estimación, ya que a menor 
longitud hay mayor precisión en la estimación.
 Longitud del intervalo
n
zL


2
2
Si n y  están fijos, 
a medida que 
disminuye, 
aumenta y por lo 
tanto L aumenta.
2
z
Prof. Laura Lanzarini
Precisión de la estimación
 Al aumentar el nivel de confianza se perdió 
precisión en la estimación, ya que a menor 
longitud hay mayor precisión en la estimación.
 Longitud del intervalo
n
zL


2
2
Si  y  están fijos, 
a medida que n
aumenta, L
disminuye.
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.3
 ¿Qué tamaño n de muestra se necesita 
para que el intervalo tenga nivel de 
confianza 99% y longitud la mitad de la 
longitud del intervalo hallado en a)?
n
zL


2
2
89227.172 005.0 
n
zL

Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.3
 Reemplazando
 Despejando
 Se necesitan 84 especímenes
89227.172 005.0 
n
zL

89227.17
1000
*58.2*2 
n
L
170.83n
Prof. Laura Lanzarini
Elección del tamaño de la 
muestra
 La fórmula general para el tamaño de la 
muestra n necesario para asegurar una 
extensión de intervalo l es
2
2
2 






l
zn


Prof. Laura Lanzarini
Precisión del estimador
 Si estimamos puntualmente al parámetro μ con 
X estamos cometiendoun error en la estimación 
menor o igual a
que se conoce como precisión del estimador
n
z
L 

22

Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.4
 Se estima que el tiempo de reacción a un 
estímulo de cierto dispositivo electrónico está 
distribuido normalmente con desviación 
estándar de 0.05 segundos. 
 ¿Cuál es el número de mediciones temporales 
que deberá hacerse para que la confianza de 
que el error de la estimación de la esperanza no 
exceda de 0.01 sea del 95%?
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.4
 Nos piden calcular n tal que
con =0.05
01.0
2 2

n
z
L 

96.1025.0 z
04.96)5*96.1(
01.0
05.0
96.1 2
2






n
97 n
Prof. Laura Lanzarini
Precisión del estimador
 El intervalo 
proporciona buenos resultados para 
muestras tomadas de una población normal 
o para muestras de tamaño n30







n
zX
n
zX


22
;
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza desconocida
 Nuevamente usamos como estimador a X
 Pero como pivote usamos
n
S
X
T


Se puede probar que T 
tiene una distribución 
llamada Student con 
parámetro n-1
T  tn-1
Prof. Laura Lanzarini
Distribución Student con k 
grados de libertad
 Características
Está centrada en cero, tiene forma de 
campana como la normal pero tiende a cero 
más lentamente.
Se puede probar que cuando k  la fdp de 
la Student tiende a la fdp de la N(0,1).
Prof. Laura Lanzarini
Distribución Student con k 
grados de libertad
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza desconocida
 Ahora que conocemos la distribución de T 
podemos hallar el valor t tal que
 Es decir
 1)( tTtP















 1t
n
S
X
tP
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza desconocida
 Despejamos  como hicimos en el ejemplo 
anterior
 





 1
n
S
tX
n
S
tXP
1̂ 2̂
Prof. Laura Lanzarini
  1)( 3,
2
3,
2
tTtP
2
1
3,
2

 



tF
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza desconocida
 Por simetría se deduce que el valor de t que 
verifica
es el que cumple con
siendo F(t) la fda de la v.a. T  tn-1 y lo 
denominaremos
 1)( tTtP
 
2
1

tF
1,
2
n
t
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distrib.normal, varianza desconocida
 Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de 
una v.a. X  N(,2),2 desconocido, un 
intervalo de confianza para  de un nivel 
1- es








n
S
tX
n
S
tX
nn 1,1, 22
; 
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.5
 Se hicieron 10 mediciones sobre la resistencia 
de cierto tipo de alambre con las que se calculó
 Suponga X  N(,2)
 Se desea obtener un intervalo de confianza para 
la esperanza poblacional μ al 90 %.



10
1
48.10
10
1
i
ixx   36.1
9
1 10
1
2
 
i
i xxS
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo 8.5
 Tenemos que 1−  = 0.90  = 0.1
 De la Tabla de la t de Student tenemos que 
t0.05,9=1.8331. 
 Entonces el intervalo de confianza buscado es:







10
36.1
8331.148.10;
10
36.1
8331.148.10
 27.11;69.9
Prof. Laura Lanzarini
Intervalo de confianza para la media de 
una distribución, varianza desconocida
 Si la muestra se toma de una distribución con 2 
desconocido, y el tamaño de la muestra es 
grande (n30), el estadístico







n
S
zX
n
S
zX
22
; 
)1,0(N
n
S
X
Z 



El nivel de este intervalo para 
es aproximadamente 1-
Prof. Laura Lanzarini
T  tn-1
Intervalo de confianza
n  30
  conocida
  desconocida
n < 30
  conocida y distribución 
normal
 Si no







n
zX
n
zX


22
;







n
S
zX
n
S
zX
22
; 







n
zX
n
zX


22
;








n
S
tX
n
S
tX
nn 1,1, 22
; 
Z  N(0,1)
Z  N(0,1)
Z  N(0,1)
Prof. Laura Lanzarini
Intervalos de confianza unilaterales
 Puede ocurrir que sólo se requiera uno de los 
límites del intervalo.
 Ejemplo
 Límite superior de 95% para el tiempo de reacción 
promedio de una persona a un estímulo.
 Límite de confianza inferior para el tiempo de vida 
promedio de cierto tipo de componentes.
Prof. Laura Lanzarini
IC unilaterales
 Si se dispone de una muestra grande, un límite 
de confianza para  es
n
S
zx  
n
S
zx  
)1,0(N
n
S
X
Z 



Límite Superior Límite Inferior
   1zF
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo
 Una muestra de 48 observaciones de resistencia al 
corte de cierto material tiene una media muestral de 
17.17 y una desviación estándar muestral de 3.28. 
 Un límite inferior para la resistencia al corte 
promedio  con nivel de confianza de 95% es 
n
S
zx  
39.1678.017.17
48
)28.3(
)645.1(17.17 
95.0)645.1( ZP
Prof. Laura Lanzarini
IC para la varianza de una distribución 
normal
 Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de 
una v.a. X  N(,2). Tomamos como 
estimador puntual de 2 a 
 




n
i
i XX
n
S
1
22
1
1
Prof. Laura Lanzarini
IC para la varianza de una distribución 
normal
 Luego construimos el estadístico
 Este estadístico contiene al parámetro 
desconocido a estimar 2 y tiene una distribución 
conocida, se puede probar que X tiene una 
distribución llamada ji-cuadrado con n-1 
grados de libertad
2
2)1(

Sn
X


Prof. Laura Lanzarini
Gráfica de funciones de 
densidad ji-cuadrado
Prof. Laura Lanzarini
Distribución ji-cuadrada
 Sea 2,k, llamado valor crítico ji-cuadrado, el 
número en el eje de medición tal que  del área 
bajo la curva de ji-cuadrada con k grados de 
libertad se ubica a la derecha de 2,k.
Prof. Laura Lanzarini
IC para la varianza de una distribución 
normal
 Para desarrollar el intervalo de confianza 
planteamos hallar dos números a y b tales que
 1)( bXaP 



 1)
)1(
(
2
2
b
Sn
aP
 Se puede probar que 
2
1,
2
1 

n
a


2
1,
2


n
b


Prof. Laura Lanzarini
IC para la varianza de una distribución 
normal
Prof. Laura Lanzarini
 Por lo tanto
de donde se obtiene


  



1)
)1(
( 2
1,
2
2
2
2
1,
2
1 nn
Sn
P



 















1
)1()1(
2
1,
2
1
2
2
2
1,
2
2
nn
SnSn
P
Prof. Laura Lanzarini
IC para la varianza de una distribución 
normal
 Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de 
una v.a. X  N(,2), un intervalo de 
confianza para 2 de un nivel 1- es












2
1,
2
1
2
2
1,
2
2 )1(
;
)1(
nn
SnSn
 
Prof. Laura Lanzarini
IC para la desviación estandar de una 
distribución normal
 Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de 
una v.a. X  N(,2), un intervalo de 
confianza para  de un nivel 1- es












2
1,
2
1
2
2
1,
2
2 )1(
;
)1(
nn
SnSn
 
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo
 Un fabricante de detergente busca que todas las 
botellas sean llenada de la misma forma con 
una desviación estándar  del proceso de 
llenado menor a 0.15 onzas de líquido. Suponga 
que la distribución del volumen de llenado es 
normal. 
 Se toma una muestra de 20 botellas y se 
obtiene S2 = 0.0153. 
 Hallar el IC de nivel 0.95 para la verdadera 
varianza del volumen de llenado.
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo
 La v.a. de interés es X:”volumen de llenado de 
una botella”. X  N(,2) con  desconocido.
 Tenemos 1- = 0.95   = 0.05.
 S2 = 0.0153
 El intervalo se calcula así: 












2
1,
2
1
2
2
1,
2
2 )1(
;
)1(
nn
SnSn
 
Busquemos en la 
tabla de 2 los 
datos que faltan.
Prof. Laura Lanzarini
Ejemplo
91.82 19,975.0
2
1,
2
1


 
n
85.322 19,025.0
2
1,
2



n





 













91.8
)0153.0)(120(
;85.32
)0153.0)(120()1(
;
)1(
2
1,
2
1
2
2
1,
2
2
nn
SnSn
 
)0326.0;00884.0(
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IC para una proporción
 Sean X1, X2, …, Xn donde cada Xi  B(1,p), con 
sólo dos valores posibles 0 o 1 (éxito), donde 
éxito identifica a un individuo u objeto que posee 
una característica de interés.
 La v.a. X = X1+X2+…+Xn es una B(n,p).
 Por lo tanto
n
X
P ˆ representa la proporción de 
individuos exitosos de la muestra
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IC para una proporción
 Paso 1
Tomaremos como estimador a 
por tener las siguientes características
Es insesgado
Es consistente
n
X
P ˆ
Vamos a verificarlo
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IC para una proporción
 Paso 1
pnp
n
XE
nn
X
EPE 






1
)(
1
)ˆ(
n
pp
pnp
n
XV
nn
X
VPV
)1(
)1(
1
)(
1
)ˆ(
22








Por lo tanto es insesgado y consistente
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IC para una proporción
 Paso 2
Tomaremos como pivote a la v.a.
n
PP
pP
n
pp
pP
PV
pP
Z
)ˆ1(ˆ
ˆ
)1(
ˆ
)ˆ(
ˆ








Porque P es consistente
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IC para una proporción
 Paso 2
Tomaremos como pivote a la v.a.
)1,0(
)ˆ1(ˆ
ˆ
N
n
PP
pP
Z 



Si n es grande
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IC para una proporción
 Paso 3
Para construir el intervalo de confianza al 
nivel de confianza 1-  partiendo del pivote Z, 
planteamos la ecuación
donde la incógnita es el número real z.
 1)( zZzP
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IC para una proporción
 Si es la proporción de observaciones de una 
muestra aleatoria de tamaño n que verifica una 
propiedad de interés, entonces un IC para la 
proporción p de la población que cumple dicha 
propiedad de nivel aproximadamente 1- es
P̂







 



n
PP
zP
n
PP
zP
)ˆ1(ˆˆ;
)ˆ1(ˆˆ
22

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IC para una proporción
 La forma utilizada para obtener el IC para una 
proporción depende de la aproximación normal 
a la distribución binomial. 
 Por lo tanto el IC se puede utilizar si 
y 
es decir, la muestra debe contener un 
mínimo de diez éxitos y diez fracasos.
10ˆ Pn 10)ˆ1( Pn
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Ejemplo
 Un fabricante desea saber la proporción de 
productos que están fallados. De 140 elegidos 
al azar, 35 están fallados.
a) Calcular un IC del 99% para la proporción 
poblacional p.
b) ¿De qué tamaño deberá extraerse la muestra a 
fin de que la proporción muestral no difiera de la 
proporción poblacional en más de 0.03 con un 
95% de confianza?
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Ejemplo
 n=140 (muestra grande);
 El nivel de confianza es 1- = 0.99  /2=0.005
 z0.005 = 2.58 (de la tabla normal estandarizada)
 El intervalo buscado es 
25.0
140
35ˆ P







 



140
)025.1(25.0
58.225.0;
140
)025.1(25.0
58.225.0
)34441.0;15558.0(
Resumen
 Intervalo de confianza
 Interpretación
 IC para N(,2) con 2 
conocida.
 Precisión
 De la estimación
 Del estimador
 Elección del tamaño de la 
muestra
 IC para N(,2) con 2 
desconocida.
 IC para  con 2 
desconocida, n30
 IC unilaterales
 IC para una proporción
 IC para 2 de una normal.