Calculo Varias Variables - Thomas 12Edicion EXTREMOS RESTRINGIDOS

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En los ejercicios 66 a 68, use las ecuaciones (2) y (3) para obtener la rec-
ta de mínimos cuadrados para cada conjunto de puntos datos. Luego use la
ecuación lineal que obtenga para predecir el valor de y que correspondería
a x 5 4.
66. 67.
68. (0, 0), (1, 2), (2, 3)
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
En los ejercicios 69 a 74, explorará funciones para identificar sus extre-
mos locales. Use un SAC para ejecutar los siguientes pasos:
a. Trace la función en el rectángulo dado.
b. Trace algunas curvas de nivel en el rectángulo.
c. Calcule las primeras derivadas parciales de la función y use la 
solución de la ecuación del SAC para determinar los puntos críticos.
¿Cómo se relacionan los puntos críticos con las curvas de nivel
graficadas en el inciso (b)? ¿Cuáles puntos críticos, si existen, 
parecen tener un punto de silla? Justifique su respuesta.
s -1, 2d, s0, 1d, s3, -4ds -2, 0d, s0, 2d, s2, 3d
14.8 Multiplicadores de Lagrange 811
d. Calcule las segundas derivadas parciales de la función y obtenga el
discriminante f xx fyy 2 f xy2.
e. Use los criterios de máximos y mínimos para clasificar los puntos
críticos encontrados en el inciso (c). ¿Sus resultados son congruentes
con el análisis del inciso (c)?
69.
70.
71.
72.
73.
74.
-2 … x … 2, -2 … y … 2
ƒsx, yd = e x5 ln sx2 + y2d, sx, yd Z s0, 0d
0, sx, yd = s0, 0d 
,
-4 … x … 3, -2 … y … 2
ƒsx, yd = 5x6 + 18x5 - 30x4 + 30xy2 - 120x3,
-3>2 … y … 3>2
ƒsx, yd = 2x4 + y4 - 2x2 - 2y2 + 3, -3>2 … x … 3>2,
-6 … y … 6ƒsx, yd = x4 + y2 - 8x2 - 6y + 16, -3 … x … 3,
ƒsx, yd = x3 - 3xy2 + y2, -2 … x … 2, -2 … y … 2
ƒsx, yd = x2 + y3 - 3xy, -5 … x … 5, -5 … y … 5
14.8 Multiplicadores de Lagrange
Algunas veces necesitamos obtener los valores extremos de una función cuyo dominio está 
restringido a cierto subconjunto particular del plano (por ejemplo, un disco, una región triangu-
lar cerrada, o a lo largo de una curva). En esta sección, exploraremos un poderoso método para
determinar los valores extremos de funciones restringidas: el método de multiplicadores de 
Lagrange.
Máximos y mínimos con restricciones
Primero consideraremos el problema donde un mínimo con restricciones se puede obtener eli-
minando una variable.
EJEMPLO 1 Encuentre el punto P(x, y, z) del plano 2x 1 y 2 z 2 5 5 0 que esté más cer-
cano al origen.
Solución El problema nos pide obtener el valor mínimo de la función
sujeta a la restricción
Puesto que tiene un valor mínimo siempre que la función
tenga un valor mínimo, podemos resolver el problema si encontramos el valor mínimo de
f (x, y, z) sujeto a la restricción 2x 1 y 2 z 2 5 5 0 (eliminando la raíz cuadrada). Si consi-
deramos a x y y como las variables independientes en esta ecuación y escribimos z como
nuestro problema se reduce a la obtención de los puntos (x, y) en los cuales la función
hsx, yd = ƒsx, y, 2x + y - 5d = x2 + y2 + s2x + y - 5d2
z = 2x + y - 5,
ƒsx, y, zd = x2 + y2 + z2
ƒ OP
1
ƒ
2x + y - z - 5 = 0.
 = 2x2 + y2 + z2
 ƒ OP
1
ƒ = 2sx - 0d2 + s y - 0d2 + sz - 0d2
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Joseph Louis Lagrange
(1736–1813)
tiene sus valores mínimos. Puesto que el dominio de h es todo el plano xy, el criterio de la pri-
mera derivada de la sección 14.7 nos dice que cualquier mínimo que h pudiera tener debe estar
en puntos donde
Esto nos lleva a
y la solución es
Podemos aplicar un argumento geométrico junto con el criterio de la segunda derivada para
demostrar que estos valores minimizan h. La coordenada z del punto correspondiente en el
plano z 5 2x 1 y 2 5 es
Por lo tanto, el punto que buscamos es
La distancia de P al origen es 5y L 2.04.
Intentar resolver un problema de máximos o mínimos con restricciones a través de una
sustitución, como podríamos llamar al método del ejemplo 1, no siempre es sencillo. Ésta es
una de las razones para aprender el nuevo método de esta sección.
EJEMPLO 2 Encuentre los puntos del cilindro hiperbólico x2 2 z2 2 1 5 0 más cercanos 
al origen.
Solución 1 El cilindro se muestra en la figura 14.49. Buscamos los puntos sobre el cilindro
que se encuentren más cercanos al origen. Éstos son los puntos cuyas coordenadas minimizan
el valor de la función
Cuadrado de la distancia
sujeta a la restricción x2 2 z2 2 1 5 0. Si consideramos x y y como variables independientes
en la ecuación de la restricción, entonces 
y los valores de f (x, y, z) 5 x2 1 y2 1 z2 en el cilindro están dados por la función
Para determinar los puntos sobre el cilindro cuyas coordenadas minimizan a f , buscamos los
puntos en el plano xy cuyas coordenadas minimizan a h. El único valor extremo de h se pre-
senta cuando
es decir, el punto (0, 0). Pero no existen puntos sobre el cilindro donde tanto x como y se anulen.
¿Qué estuvo mal?
Lo que ocurre es que el criterio de la primera derivada obtuvo (como debe ser) el punto 
en el dominio de h donde h tiene un valor mínimo. Por otro lado, nosotros queremos los puntos
del cilindro donde h tiene un valor mínimo. Si bien el dominio de h es todo el plano xy, el do-
hx = 4x = 0 y hy = 2y = 0,
hsx, yd = x2 + y2 + sx2 - 1d = 2x2 + y2 - 1.
z2 = x2 - 1
ƒsx, y, zd = x2 + y2 + z2
26
Punto más cercano: P a5
3
, 
5
6
, -
5
6
b.
z = 2 a5
3
b + 5
6
- 5 = -
5
6
.
x =
5
3
, y = 5
6
.
10x + 4y = 20, 4x + 4y = 10,
hx = 2x + 2s2x + y - 5ds2d = 0, hy = 2y + 2s2x + y - 5d = 0.
812 Capítulo 14: Derivadas parciales
(1, 0, 0)
z
y
x
x2 � z2 � 1
(–1, 0, 0)
FIGURA 14.49 El cilindro hiperbólico 
x2 2 z2 2 1 5 0 del ejemplo 2.
minio del cual podemos seleccionar las primeras dos coordenadas de los puntos (x, y, z) sobre
el cilindro se restringe a la “sombra” del cilindro en el plano xy, la cual no incluye la banda 
entre las rectas x 5 21 y x 5 1 (figura 14.50).
Podemos evitar este problema si consideramos a y y z como variables independientes (en
vez de x y y), expresando x en términos de y y z como
Con esta sustitución, f (x, y, z) 5 x2 1 y2 1 z2 se convierte en
y buscamos los puntos donde k asume su valor mínimo. El dominio de k en el plano yz con-
cuerda ahora con el dominio en el cual seleccionamos las coordenadas y y z de los puntos 
(x, y, z) sobre el cilindro. Por lo tanto, los puntos que minimizan k en el plano tendrán pun-
tos correspondientes sobre el cilindro. Los valores menores de k se presentan cuando
o bien, y 5 z 5 0. Esto nos lleva a
Los puntos correspondientes sobre el cilindro son (61, 0, 0). Podemos ver en la desigualdad
que los puntos (61, 0, 0) dan un valor mínimo de k. También podemos ver que la distancia
mínima del origen a un punto en el cilindro es una unidad.
Solución 2 Otra manera de encontrar los puntos sobre el cilindro más cercanos al origen es
imaginar una pequeña esfera, con centro en el origen, que crece como una burbuja de jabón
hasta tocar al cilindro (figura 14.5). En cada punto de contacto, el cilindro y la esfera tienen el
mismo plano tangente y la misma recta normal. Por lo tanto, si la esfera y el cilindro se repre-
sentan como las superficies de nivel que se obtienen igualando 
a cero, entonces los gradientes =f y =g serán paralelos cuando las superficies se toquen. Por lo
tanto, en cualquier punto de contacto debemos encontrar un escalar l (“lambda”), tal que 
o bien,
Así, las coordenadas x, y y z de cualquier punto de tangencia tendrán que satisfacer las tres
ecuaciones escalares
¿Para qué valores de l ocurrirá que un punto (x, y, z), cuyas coordenadas satisfacen estas
ecuaciones escalares, se encuentre también sobre la superficie x2 2 z2 2 1 5 0? Para contestar
esta pregunta aplicamos nuestro conocimiento de que ningún punto sobre la superficie tiene
una coordenada x nula para concluir que x Z 0. Por lo tanto, 2x 5 2lx sólo si
Para l 5 1, la ecuación 2z 5 22lz se convierte en 2z 5 22z. Si esta ecuación se satisface
también, z debe anularse. Puesto que y 5 0 también (de la ecuación 2y 5 0), concluimos que
todos los puntos que buscamos tienen coordenadas de la forma 
sx, 0, 0d.
2 = 2l, o l = 1.
2x = 2lx, 2y = 0, 2z = -2lz.
2xi + 2yj + 2zk = ls2xi - 2zkd.
§ƒ = l§g,
ƒsx, y, zd = x2 + y2 + z2- a2 y gsx, y, zd = x2 - z2 - 1
ks y, zd = 1 + y2 + 2z2 Ú 1
x2 = z2 + 1 = 1, x = ;1.
ky = 2y = 0 y kz = 4z = 0,
ks y, zd = sz2 + 1d + y2 + z2 = 1 + y2 + 2z2
x2 = z2 + 1.
14.8 Multiplicadores de Lagrange 813
En esta parte, En esta parte,
x � �z2 � 1
x
z
–11
y x � –1
x � 1
El cilindro hiperbólico x2 �� z2 � 1
x � –�z2 � 1
FIGURA 14.50 La región del plano xy a
partir de la cual se seleccionan las primeras
dos coordenadas de los puntos (x, y, z) del
cilindro hiperbólico x2 2 z2 5 1 excluye la
banda 21 , x , 1 en el plano xy
(ejemplo 2).
z
y
x
x2 � y2 � z2 � a2 � 0
x2 � z2 � 1 � 0
FIGURA 14.51 Una esfera con centro en 
el origen que crece como una burbuja de
jabón hasta que toca justamente el cilindro
hiperbólico x2 2 z2 2 1 5 0 (ejemplo 2).
¿Cuáles puntos sobre la superficie x2 2 z2 5 1 tienen coordenadas de esta forma? Los puntos
(x, 0, 0) para los cuales
Los puntos sobre el cilindro más cercanos al origen son los puntos (61, 0, 0).
Método de multiplicadores de Lagrange
En la solución 2 del ejemplo 2, usamos el método de multiplicadores de Lagrange. El mé-
todo dice que los valores extremos de una función f (x, y, z), cuyas variables están sujetas a una
restricción g(x, y, z) 5 0, se encuentran sobre la superficie g 5 0 en los puntos donde 
para algún escalar l (llamado multiplicador de Lagrange).
Para explorar el método y saber por qué funciona, haremos primero la siguiente observa-
ción, la cual establecemos como un teorema.
§ƒ = l§g
x2 - s0d2 = 1, x2 = 1, o x = ;1.
814 Capítulo 14: Derivadas parciales
TEOREMA 12: Teorema del gradiente ortogonal Suponga que f (x, y, z) es
derivable en una región cuyo interior contiene una curva suave
Si P0 es un punto de C donde f tiene un máximo o un mínimo local relativo a sus va-
lores sobre C, entonces =f es ortogonal a C en P0.
C: rstd = gstdi + hstdj + kstdk.
Comprobación Demostraremos que =f es ortogonal al vector velocidad de la curva en P0.
Los valores de f en C están dados por la composición f (g(t), h(t ), k(t )), cuya derivada con 
respecto a t es
En cualquier punto P0 donde f tiene un mínimo o un máximo local relativo a sus valores sobre
la curva, dfydt 5 0, entonces
Al eliminar en el teorema 12 los términos en z, obtenemos un resultado similar para fun-
ciones de dos variables.
§ƒ # v = 0.
dƒ
dt
=
0ƒ
0x
 
dg
dt
+
0ƒ
0y
 
dh
dt
+
0ƒ
0z
 
dk
dt
= §ƒ # v.
COROLARIO DEL TEOREMA 12 En los puntos de una curva suave 
r(t) 5 g(t )i 1 h(t )j, donde una función derivable f (x, y) asume sus máximos 
y mínimos locales en relación con sus valores en la curva, =f ? v 5 0, donde 
v 5 drydt.
El teorema 12 es la clave del método de los multiplicadores de Lagrange. Suponga que
f (x, y, z) y g(x, y, z) son derivables y que P0 es un punto en la superficie de g(x, y, z) 5 0, donde
f tiene un valor máximo o mínimo local en relación con sus otros valores sobre la superficie.
Suponemos también que =g Z 0 en los puntos sobre la superficie g(x, y, z) 5 0. Así, f asume
un máximo o un mínimo local en P0 en relación con sus valores en todas las curvas derivables
que pasan por P0 sobre la superficie g(x, y, z) 5 0. Por lo tanto, =f es ortogonal al vector ve-
locidad de todas las curvas derivables que pasan por P0. Esto también ocurre con =g (ya que
=g es ortogonal a la superficie de nivel g 5 0, como vimos en la sección 14.5). Por lo tanto, en
P0, =f es algún múltiplo escalar l de =g.
Se debe tener cuidado al aplicar este método. Es posible que un valor extremo no exista en rea-
lidad (ejercicio 41).
EJEMPLO 3 Obtenga los valores mayores y menores que toma la función
sobre la elipse (figura 14.52)
Solución Queremos encontrar los valores extremos de f (x, y) 5 xy sujetos a la restricción
Para hacerlo, primero hallamos los valores de x, y y l para los cuales
La ecuación del gradiente en las ecuaciones (1) nos da
de donde tenemos 
de manera que y 5 0 o l 5 62. Ahora consideraremos estos dos casos.
Caso 1: Si y 5 0, entonces x 5 y 5 0. Pero (0, 0) no está en la elipse. Por lo tanto, y Z 0.
Caso 2: Si y Z 0, entonces l 5 62 y x 5 62y. Al sustituir esto en la ecuación g(x, y) 5 0,
tenemos
Por lo tanto, la función f (x, y) 5 xy toma sus valores extremos sobre la elipse en los cuatro pun-
tos (62, 1), (62, 21). Los valores extremos son xy 5 2 y xy 5 22.
Geometría de la solución Las curvas de nivel de la función f (x, y) 5 xy son las hipérbo-
las xy 5 c (figura 14.53). Cuanto más lejos estén las hipérbolas del origen, mayor será el valor
absoluto de f . Queremos obtener los valores extremos de f(x, y), dado que el punto (x, y) tam-
bién está en la elipse x2 1 4y2 5 8. ¿Cuáles hipérbolas cortan a la elipse que se encuentra más
lejos del origen? Las hipérbolas que apenas rozan a la elipse, aquellas que son tangentes a ella,
son las más lejanas. En estos puntos, cualquier vector normal a la hipérbola es normal a la
s ;2yd2
8
+
y2
2
= 1, 4y2 + 4y2 = 8 y y = ;1.
y =
l
4
 x, x = ly, y y = l
4
 slyd = l
2
4
 y,
yi + xj =
l
4
 xi + lyj,
§ƒ = l§g y gsx, yd = 0.
gsx, yd = x
2
8
+
y2
2
- 1 = 0.
x2
8
+
y2
2
= 1.
ƒsx, yd = xy
14.8 Multiplicadores de Lagrange 815
El método de multiplicadores de Lagrange
Suponga que f (x, y, z) y g(x, y, z) son derivables y que =g Z 0 cuando g(x, y, z) 5 0.
Para determinar los valores máximos y mínimos locales de f sujeta a la restricción
g(x, y, z) 5 0 (si ésta existe), se obtienen los valores de x, y, z y l que satisfacen en
forma simultánea las ecuaciones 
(1)
Para funciones de dos variables independientes, la condición es similar, pero sin la
variable z.
§ƒ = l§g y gsx, y, zd = 0.
y
x
0 2�2
�2 � � 1
x2
8
y2
2
FIGURA 14.52 El ejemplo 3 muestra cómo
obtener los valores mayores y menores del
producto xy sobre esta elipse.
FIGURA 14.53 Cuando está sujeta a la
restricción g(x, y) 5 x2y8 1 y2y2 2 1 = 0, 
la función f (x, y) 5 xy toma los valores
extremos en los cuatro puntos (62, 61).
Éstos son los puntos sobre la elipse cuando
=f (en negro) es un múltiplo escalar 
de =g (en azul) (ejemplo 3).
x
y
xy � –2 ∇f � i � 2jxy � 2
∇g � i � j12
xy � –2xy � 2
0 1
1
elipse, así que =f 5 y i 1 x j es un múltiplo (l 5 62) de g 5 (xy4)i 1 y j. En el punto (2, 1),
por ejemplo,
En el punto (22, 1),
EJEMPLO 4 Determine los valores máximos y mínimos de la función f (x, y) 5 3x 1 4y
sobre la circunferencia x2 1 y2 5 1.
Solución Modelamos esto como un problema de multiplicadores de Lagrange con
y buscamos los valores de x, y y l que satisfacen las ecuaciones 
La ecuación gradientes en las ecuaciones (1) implica que l Z 0 y resulta
Estas ecuaciones nos dicen, entre otras cosas, que x y y tienen el mismo signo. Con estos va-
lores para x y y, la ecuación g(x, y) 5 0 da 
de manera que
Por lo tanto,
y f (x, y) 5 3x 1 4y tiene valores extremos en (x, y) 5 6(3y5, 4y5).
Al calcular el valor de 3x 1 4y en los puntos 6(3y5, 4y5), vemos que sus valores máxi-
mos y mínimos sobre la circunferencia x2 1 y2 5 1 son
La geometría de la solución Las curvas de nivel de f (x, y) 5 3x 1 4y son las rectas 
3x 1 4y 5 c (figura 14.54). Cuanto más lejos se encuentran las rectas del origen, mayor será 
el valor absoluto de f . Queremos encontrar los valores extremos de f (x, y), dado que el punto
(x, y) también está sobre la circunferencia x2 1 y2 5 1. ¿Cuáles de las rectas que cortan la cir-
cunferencia se encuentran más lejos del origen? Las rectas tangentes a la circunferencia son las
más lejanas. En los puntos de tangencia, cualquier vector normal a la recta es normal a la circun-
ferencia, de manera que el gradiente =f 5 3i 1 4j es un múltiplo (l 5 65y2) del gradiente 
=g 5 2x i 1 2y j. En el punto (3y5, 4y5), por ejemplo,
§ƒ = 3i + 4j, §g = 6
5
 i +
8
5
 j y §ƒ = 5
2
 §g.
3 a3
5
b + 4 a4
5
b = 25
5
= 5 y 3 a- 3
5
b + 4 a- 4
5
b = - 25
5
= -5.
x =
3
2l
= ;
3
5
, y = 2
l
= ;
4
5
,
9
4l2
+
4
l2
= 1, 9 + 16 = 4l2, 4l2 = 25 y l = ; 5
2
.
a 3
2l
b2 + a2
l
b2 - 1 = 0,
x =
3
2l
, y = 2
l
.
 gsx, yd = 0: x2 + y2 - 1 = 0.
 §ƒ = l§g: 3i + 4j = 2xli + 2ylj
ƒsx, yd = 3x+ 4y, gsx, yd = x2 + y2 - 1
§ƒ = i - 2j, §g = - 1
2
 i + j, y §ƒ = -2§g.
§ƒ = i + 2j, §g = 1
2
 i + j, y §ƒ = 2§g.
816 Capítulo 14: Derivadas parciales
y
x
3x � 4y � 5
3x � 4y � –5
x2 � y2 � 1 ⎛
⎝
⎛
⎝
3
5
4
5,
∇f � 3i � 4j �� ∇g52
�∇g � i � j65
8
5
FIGURA 14.54 La función f (x, y) 5 3x + 4y
asume su valor máximo sobre la circunferen-
cia unitaria g(x, y) 5 x2 1 y2 2 1 5 0 en 
el punto (3y5, 4y5), y su valor mínimo 
en el punto (23y5, 24y5) (ejemplo 4). 
En cada uno de estos puntos, =f es un
múltiplo escalar de =g. La figura muestra 
los gradientes en el primer punto, pero 
no en el segundo.
Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones
Muchos problemas nos exigen encontrar los valores extremos de una función derivable f (x, y, z)
cuyas variables están sujetas a dos restricciones. Si las restricciones son
y g1 y g2 son derivables, y =g1 no es paralela a =g2, obtenemos los mínimos y máximos locales
con una restricción de f introduciendo dos multiplicadores de Lagrange l y m. Es decir, lo-
calizamos los puntos P(x, y, z) donde f asume sus valores extremos con una restricción, obte-
niendo los valores de x, y, z, l y m que satisfacen simultáneamente las ecuaciones
g1sx, y, zd = 0 y g2sx, y, zd = 0
14.8 Multiplicadores de Lagrange 817
(2)§ƒ = l§g1 + m§g2, g1sx, y, zd = 0, g2sx, y, zd = 0
Las ecuaciones (2) tienen una agradable interpretación geométrica. La superficies g1 5 0 y 
g2 5 0 (por lo general) se cortan en una curva suave, digamos C (figura 14.55). Buscamos a lo
largo de esta curva los puntos donde f tiene valores máximos y mínimos locales en relación
con sus otros valores sobre la curva. Éstos son los puntos donde =f es normal a C, como vimos
en el teorema 12. Pero =g1 y =g2 también son normales a C en estos puntos porque C se en-
cuentra en las superficies g1 5 0 y g2 5 0. Por lo tanto, =f está en el plano determinado por
=g1 y =g2, lo cual significa que =f 5 l=g1 1 l=g2 para algunas l y m. Como los puntos que
buscamos también están en ambas superficies, sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones
g1(x, y, z) 5 0 y g2(x, y, z) 5 0, las cuales son los requisitos restantes de las ecuaciones (2).
EJEMPLO 5 El plano x 1 y 1 z 5 1 corta al cilindro x2 1 y2 5 1 en una elipse (figura
14.56). Encuentre los puntos sobre la elipse que se encuentran más cercanos y más lejanos 
del origen.
Solución Obtenemos los valores extremos de 
[el cuadrado de la distancia de (x, y, z) al origen] sujeta a las restricciones
(3)
(4)
La ecuación de gradientes de las ecuaciones (2) nos da entonces
o bien,
(5)
Las ecuaciones escalares de la ecuación (5) generan
(6)
Las ecuaciones (6) se satisfacen simultáneamente si l 5 1 y z 5 0, o l Z 1 y
x 5 y 5 zy(1 2 l).
Si z 5 0, al resolver las ecuaciones (3) y (4) en forma simultánea para obtener los puntos
correspondientes sobre la elipse, obtenemos los dos puntos (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Esto tiene sen-
tido cuando observamos la figura 14.56.
 2y = 2ly + 2z Q s1 - ldy = z.
 2x = 2lx + 2z Q s1 - ldx = z, 
2x = 2lx + m, 2y = 2ly + m, 2z = m.
 2xi + 2yj + 2zk = s2lx + mdi + s2ly + mdj + mk
 2xi + 2yj + 2zk = ls2xi + 2yjd + msi + j + kd
 §ƒ = l§g1 + m§g2
g2sx, y, zd = x + y + z - 1 = 0.
g1sx, y, zd = x2 + y2 - 1 = 0
ƒsx, y, zd = x2 + y2 + z2
Cilindro x2 � y2 � 1
Plano
x � y � z � 1
z
(0, 1, 0)
(1, 0, 0) y
x P1
P2
FIGURA 14.56 En la elipse donde el plano
y el cilindro se encuentran, encontramos los
puntos más cercanos y más lejanos al origen
(ejemplo 5).
C
g2 � 0
g1 � 0
∇f
∇g2
∇g1
FIGURA 14.55 Los vectores =g1 y =g2
están en un plano perpendicular a la curva C
porque =g1 es normal a la superficie g1 5 0,
y =g2 es normal a la superficie g2 5 0.
Si x 5 y, entonces las ecuaciones (3) y (4) nos dan
Los puntos correspondientes sobre la elipse son
Sin embargo, debemos tener cuidado. Si bien P1 y P2 dan máximos locales de f sobre la elipse,
P2 está más alejado del origen que P1.
Los puntos sobre la elipse más cercanos al origen son (1, 0, 0) y (0, 1, 0). El punto sobre la
elipse más lejano del origen es P2.
P1 = a222 , 222 , 1 - 22b y P2 = a- 222 , - 222 , 1 + 22b.
 x = ;
22
2
 z = 1 < 22.
 2x2 = 1 z = 1 - 2x x2 + x2 - 1 = 0 x + x + z - 1 = 0
818 Capítulo 14: Derivadas parciales
Ejercicios 14.8
Dos variables independientes con una restricción
1. Extremos en una elipse Determine los puntos sobre la elipse 
x2 1 2y2 5 1, donde f (x, y) 5 xy asume valores extremos.
2. Extremos en una circunferencia Obtenga los valores extremos de
f (x, y) 5 xy sujeta a la restricción g(x, y) 5 x2 1 y2 2 10 5 0.
3. Máximo en una recta Determine el valor máximo de f (x, y) 5
49 2 x2 2 y2 sobre la recta x 1 3y 5 10.
4. Extremos sobre una recta Obtenga los valores extremos locales 
de f (x, y) 5 x2y sobre la recta x 1 y 5 3.
5. Mínimo con una restricción Determine los puntos sobre la curva
xy2 5 54 más cercanos al origen.
6. Mínimo con una restricción Obtenga los puntos de la curva 
x2y 5 2 más próximos al origen.
7. Use el método de multiplicadores de Lagrange para determinar
a. Mínimo en una hipérbola El valor mínimo de x 1 y, sujeto a
las restricciones xy 5 16, x . 0, y . 0
b. Máximo sobre una recta El valor máximo de xy, sujeto a la 
restricción x 1 y 5 16.
Comente acerca de la geometría de cada solución.
8. Extremos en una curva Determine los puntos de la curva x2 1
xy 1 y2 5 1 en el plano xy más cercanos y más lejanos al origen.
9. Área superficial mínima con volumen fijo Obtenga las dimensio-
nes de la lata cilíndrica circular recta y cerrada con menor área su-
perficial cuyo volumen sea de 16p cm3.
10. Cilindro en una esfera Determine el radio y la altura del cilindro
circular recto y abierto de mayor área superficial que puede inscri-
birse en una esfera de radio a. ¿Cuál es la mayor área superficial?
11. Rectángulo de mayor área en una elipse Use el método de multi-
plicadores de Lagrange para encontrar las dimensiones del rectángulo
de mayor área que se puede inscribir en la elipse 
con lados paralelos a los ejes coordenados.
12. Rectángulo del mayor perímetro en una elipse Determine las di-
mensiones del rectángulo de mayor perímetro que puede inscribirse
en la elipse x2ya2 1 y2yb2 5 1 con lados paralelos a los ejes coorde-
nados. ¿Cuál es el mayor perímetro?
x2>16 + y2>9 = 1
13. Extremos en una circunferencia Obtenga los valores máximos y
mínimos de x2 1 y2, sujetos a la restricción x2 2 2x 1 y2 2 4y 5 0.
14. Extremos en una circunferencia Determine los valores máximos
y mínimos de 3x 2 y 1 6, sujetos a la restricción x2 1 y2 5 4.
15. Hormiga en una placa de metal La temperatura en un punto (x, y)
de una placa de metal es T(x, y) 5 4x2 2 4xy 1 y2. Una hormiga ca-
mina sobre la placa alrededor de una circunferencia de radio 5 con
centro en el origen. ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima
encontradas por la hormiga?
16. Tanque de almacenamiento más económico Se ha pedido a su em-
presa diseñar un tanque de almacenamiento para gas líquido. Las espe-
cificaciones del cliente demandan un tanque cilíndrico con extremos
semiesféricos, y el tanque debe alojar 8000 m3 de gas. El cliente tam-
bién quiere usar la menor cantidad posible de material en la construc-
ción del tanque. ¿Qué radio y altura recomendaría para la porción
cilíndrica del tanque?
Tres variables independientes con una restricción
17. Distancia mínima a un punto Determine el punto sobre el plano
x 1 2y 1 3z 5 13 más cercano al punto (1, 1, 1).
18. Distancia máxima a un punto Determine el punto sobre la esfera
x2 1 y2 1 z2 5 4 más lejano del punto (1, 21, 1).
19. Distancia mínima al origen Obtenga la distancia mínima de la 
superficie x2 2 y2 2 z2 5 1 al origen.
20. Distancia mínima al origen Obtenga el punto sobre la superficie
z 5 xy 1 1 más cercano al origen.
21. Distancia mínima al origen Determine los puntos sobre la super-
ficie z2 5 xy 1 4 más cercanos al origen.
22. Distancia mínima al origen Obtenga el(los) punto(s) sobre la su-
perficie xyz 5 1 más cercano(s) al origen.
23. Extremos en una esfera Determine losvalores máximos y míni-
mos de
sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 30.
ƒsx, y, zd = x - 2y + 5z
24. Extremos en una esfera Obtenga los puntos sobre la esfera 
x2 1 y2 1 z2 5 25, donde f (x, y, z) 5 x 1 2y 1 3z tiene sus va-
lores máximos y mínimos.
25. Minimizar una suma de cuadrados Obtenga tres números rea-
les cuya suma sea 9 y la suma de sus cuadrados sea lo más pequeña
posible.
26. Maximizar un producto Determine el mayor producto que pueden
tener los números positivos x, y y z, si x 1 y 1 z2 5 16.
27. Caja rectangular de mayor volumen en una esfera Determine las
dimensiones de la caja rectangular cerrada con mayor volumen que
puede inscribirse en una esfera unitaria.
28. Caja con vértice en un plano Determine el volumen de la mayor
caja rectangular cerrada en el primer octante que tiene tres caras en
los planos coordenados y un vértice en el plano xya 1 yyb 1 zyc 5 1,
donde a . 0, b . 0 y c . 0.
29. Punto más caliente en una sonda espacial Una sonda espacial en
forma del elipsoide
entra a la atmósfera de la Tierra y su superficie se empieza a calentar.
Después de una hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la su-
perficie de la sonda es 
Encuentre el punto más caliente sobre la superficie de la sonda.
30. Temperaturas extremas en una esfera Suponga que la tempera-
tura Celsius en el punto (x, y, z) sobre la esfera x2 1 y2 1 z2 5 1 es 
T 5 400xyz2. Localice las temperaturas máxima y mínima sobre la
esfera.
31. Maximizar una función de utilidad: un ejemplo de economía En
economía, la utilidad de las cantidades x y y de dos bienes de capi-
tal G1 y G2 se mide algunas veces por una función U(x, y). Por ejem-
plo, G1 y G2 podrían ser dos sustancias químicas requeridas por una
compañía farmacéutica, y U(x, y) la ganancia de fabricar un producto
cuya síntesis requiere diferentes cantidades de las sustancias, depen-
diendo del proceso utilizado. Si G1 cuesta a dólares el kilogramo, 
G2 cuesta b dólares el kilogramo, y la cantidad total asignada para la
compra de G1 y G2 combinada es de c dólares, entonces los gerentes
de la compañía quieren maximizar U(x, y), dado que ax 1 by 5 c. Por
lo tanto, necesitan resolver un problema típico de multiplicadores de
Lagrange.
Suponga que
y que la ecuación ax 1 by 5 c se simplifica como 
Determine el valor máximo de U y los valores correspondientes de
x y y sujetos a esta última restricción.
32. Localización de un radiotelescopio Usted es el encargado de ins-
talar un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. Para mini-
mizar la interferencia, quiere colocar el radiotelescopio donde el
campo magnético del planeta sea más débil. El planeta es esférico,
con un radio de 6 unidades. Con base en un sistema de coordena-
das cuyo origen es el centro del planeta, la fuerza del campo mag-
nético está dada por M(x, y, z) 5 6x 2 y2 1 xz 1 60. ¿Dónde debe
ubicar el radiotelescopio?
Valores extremos sujetos a dos restricciones
33. Maximice la función f (x, y, z) 5 x2 1 2y 2 z2 sujeta a las restriccio-
nes 2x 2 y 5 0 y y 1 z 5 0.
2x + y = 30.
Usx, yd = xy + 2x
Tsx, y, zd = 8x2 + 4yz - 16z + 600 .
4x2 + y2 + 4z2 = 16
14.8 Multiplicadores de Lagrange 819
34. Minimice la función f (x, y, z) 5 x2 1 y2 1 z2, sujeta a las restric-
ciones x 1 2y 1 3z 5 6 y x 1 3y 1 9z 5 9.
35. Distancia mínima al origen Determine el punto más cercano al
origen sobre la recta de intersección de los planos y 1 2z 5 12 y
x 1 6 5 6.
36. Valor máximo en la recta de intersección Encuentre el valor má-
ximo de f (x, y, z) 5 x2 1 2y 2 z2 sobre la recta de intersección de 
los planos 2x 2 y 5 0 y y 1 z 5 0.
37. Extremos en una curva de intersección Determine los valores 
extremos de f (x, y, z) 5 x2yz 1 1 en la intersección del plano z 5 1
con la esfera x2 1 y2 1 z2 5 10.
38. a. Máximos en una recta de intersección Obtenga el valor 
máximo de w 5 xyz sobre la recta de intersección de los dos
planos x 1 y 1 z 5 40 y x 1 y 2 z 5 0.
b. Exponga un argumento geométrico para apoyar su afirmación 
de que encontró un valor máximo de w y no un mínimo.
39. Extremos sobre una circunferencia de intersección Determine
los valores extremos de la función f (x, y, z) 5 xy 1 z2 sobre la 
circunferencia donde el plano y 2 x 5 0 corta a la esfera 
x2 1 y2 1 z2 5 4.
40. Distancia mínima al origen Obtenga el punto más cercano al 
origen sobre la curva de intersección del plano 2y 1 4z 5 5 y 
el cono z2 5 4x2 1 4y2.
Teoría y ejemplos
41. La condición =f 5 l=g no es suficiente Si bien =f 5 l=g es una
condición necesaria para la existencia de un valor extremo en f (x, y)
sujeta a las condiciones g(x, y) 5 0 y =g Z 0, no es en sí una ga-
rantía para que exista. Como un buen ejemplo, intente usar el méto-
do de multiplicadores de Lagrange para obtener un valor máximo de
f (x, y) 5 x 1 y sujeta a la restricción xy 5 16. El método identificará
los dos puntos (4, 4) y (24, 24) como candidatos para la localiza-
ción de valores extremos. Hasta ahora, la suma (x 1 y) no tiene va-
lores máximos en la hipérbola xy 5 16. Cuanto más lejos vaya del
origen sobre esa hipérbola en el primer cuadrante, mayor será la suma 
f (x, y, z) 5 x 1 y.
42. Un plano de mínimos cuadrados El plano z 5 Ax 1 By 1 C se
“ajusta” a los siguientes puntos (xk, yk, zk):
Determine los valores de A, B y C que minimizan
la suma de los cuadrados de las desviaciones.
43. a. Máximo en una esfera Demuestre que el valor máximo de
a2b2c2 en una esfera de radio r con centro en el origen de un 
sistema de coordenadas abc cartesianas es (r3y3)3.
b. Medias geométrica y aritmética Use el inciso (a) para
demostrar que para números no negativos de a, b y c,
es decir, la media geométrica de tres números no negativos es
menor que o igual a su media aritmética.
44. Suma de productos Considere n números positivos a1, a2, …, an.
Obtenga el máximo de sujeta a la restricción ©i = 1
n xi
2
= 1.©i = 1
n ai xi
sabcd1>3 … a + b + c
3
;
a
4
k = 1
sAxk + Byk + C - zkd2 ,
s0, 0, 0d, s0, 1, 1d, s1, 1, 1d, s1, 0, -1d.