final de algebra

Vista previa del material en texto

Álgebra y Geometŕıa Anaĺıtica 26-02-2019
Examen Final TEMA 1
Apellido y Nombres: .................................................................................. Legajo:............................
La condición para aprobar este examen es tener como mı́nimo tres ejercicios bien resueltos.
1 2 3 4 5 Calificación Final
Corrector: ....................................................................................................................................................................................
IMPORTANTE: Se debe presentar en las hojas de entrega el desarrollo de los ejercicios para justificar
las respuestas. NO USAR LÁPIZ.
1. Consideremos el haz de planos de ecuación
α(x− y + 1) + β(x+ y − 2z + 3) = 0.
(a) Hallar, si existe, un plano en el haz paralelo a la recta L :
{
x+ y − 2z = 0
x+ z = 0
(b) Hallar, si existe, un plano en el haz que pase por el origen de coordenadas.
2. Sea T : R3 → R2 la transformación lineal tal que MEB(T ) =
(
1 k 2
h 1 1
)
, siendo E la base canónica
de R3 y B = {(1, 1), (1,−1)} base de R2.
(a) Para h = 0, analizar si existe k ∈ R tal que T (1, 1, 2) = (11, 5).
(b) Estudiar si existen valores de h y k para que T no sea un epimorfismo (sobreyectiva).
3. Hallar la matrizA ∈ R3×3 sabiendo que es singular, diagonalizable ortogonalmente, que a11 = a22 = 0,
que su traza es nula y que (1, 1, 0) es un autovector de autovalor λ = 3.
4. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando adecuadamente en cada
caso.
(a) Sea A ∈ R4×4 con polinomio caracteŕıstico χA(λ) = (λ − 1)3(λ + 2) y tal que uno de sus
autoespacios es S = gen{(1, 0, 1, 1), (0,−1, 2, 1), (−a, a, 3, 2)}. Entonces A es diagonalizable si y
sólo si a = −1.
(b) Las rectas r1 : x = y + 2 =
z − 3
2
y r2 : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 1,−2) son alabeadas.
5. Consideremos la superficie de ecuación Mx2 + (y − 2)2 +Nz2 = 4.
(a) Hallar los valores de M y N para que la misma represente un cilindro circular que contenga al
eje z. Graficar la superficie para los valores hallados.
(b) Hallar los valores de M y N para que la intersección de la misma con el plano y = 2 sea la curva
de parametrización (x, y, z) =
(
1
2 sec(θ), 2,
1
2 tg(θ)
)
para θ ∈ [0, 2π)− {π2 ,
3
2π}.