Unidad 4 Trabajo De Investigacion

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Ingeniería en Energías Renovables 
Calculo Diferencial 
Unidad 4 
Aplicación de la derivada 
Actividad 1 
Trabajo de investigación 
Nombre: Kevin Jared Amaya Amaya 
Docente: Dr. Jesús Manuel Lugo Quintal 
 
Recta tangente 
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función 
en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto x=a es aquella que pasa por 
el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a). 
Formula 
y−f(a)=f'(a)⋅(x−a) 
Procedimientos 
Sabemos que la ecuación de una recta viene dada por y=m·x+n, siendo: 
• m la pendiente de la misma 
• n es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y 
Por tanto, para determinar la ecuación de la recta tangente debemos calcular m y n. Por 
la definición de recta tangente que hemos dado sabemos que: 
1. La pendiente de la recta tangente en x=a coincide con el valor de la derivada 
en x=a, con lo que m=f'(a) 
2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en 
la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n 
Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos: 
f(a)=m⋅a+n=⇒==m=f'(a)f(a)=f'(a)⋅a+n⇒n=f(a)−f'(a)⋅a 
Ya tenemos, por tanto, los valores de m y n que buscábamos. Sustituyendo y 
reagrupando obtenemos la expresión buscada: 
y=f'(a) m⋅x+f(a)−f'(a)⋅a n⇒y−f(a)=f'(a)⋅(x−a) 
 
Ejemplo 
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: 
 
para que dicha tangente sea paralela a la recta de ecuación: 
 
En este caso no sabemos ninguna coordenada del punto donde la recta es tangente a la 
curva, pero nos dan el dato de que debe ser paralela a otra recta, por lo que 
indirectamente nos están dando la pendiente. 
Igual que antes, la ecuación de la recta tangente la obtendremos a partir de la ecuación 
punto-pendiente: 
 
Por lo que necesitamos saber las coordenadas del punto y la pendiente: 
 
 
La pendiente la obtenemos a partir de la recta que nos da el enunciado. Vamos a calcular 
la pendiente de esa recta. Para ello despejamos la «y» y el número que quede delante 
de la x, será la pendiente: 
 
La pendiente de la recta que nos da el enunciado es -3, y como nos dice que es paralela 
a la recta tangente, la pendiente de la recta tangente también es -3: 
 
Ahora vamos a calcular las coordenadas del punto P. 
Sabemos que la pendiente en cualquier punto de la curva es igual al valor de la derivada 
en ese punto: 
 
Como ya sabemos la pendiente, sólo nos queda calcular la pendiente y obtendremos la 
coordenada x que cumple que la pendiente de la recta tangente a ese punto sea -3 
Calculamos la derivada de la función: 
 
La derivada de la función en un punto cualquiera será: 
 
La igualamos al valor de la pendiente: 
 
Y nos queda una ecuación de primer grado, de la que tenemos que despejar X0, que es 
la coordenada x del punto que estamos buscando: 
 
 
Para calcular la coordenada «y», obtenemos el valor de la función para x=-1, por lo que 
sustituimos la x por -1 en la función y operamos: 
 
 
El valor de la función en x=-1 es 0, por lo que la coordenada y=0. 
Ya tenemos la coordenada del punto y el valor de la pendiente: 
 
 
En la ecuación punto pendiente: 
 
Sustituimos la pendiente y las coordenadas del punto por sus valores: 
 
Operamos: 
 
 
Y llegamos finalmente a la ecuación de la recta tangente que cumple las condiciones que 
nos pide el resultado. 
Vamos a resolver otro ejercicio de este estilo, un poco más complicado. 
Recta normal a una curva en un punto 
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de 
la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí. Así que la 
opuesta de la inversa de la derivada de la función, nos da también la pendiente de la recta 
normal. 
Formula 
 
 
Procedimiento 
Siguiendo un procedimiento análogo al de la recta tangente tenemos: 
1. La pendiente de la recta normal en x=a es m=-1/f'(a) 
2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en 
la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n 
Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos: 
y=−1f'(a) m⋅x+f(a)−f'(a)⋅a n⇒y−f(a)=−1f'(a)⋅(x−a) 
Recuerda que si dos rectas son perpendiculares, se cumple que el producto de sus 
pendientes vale -1: 
https://www.fisicalab.com/apartado/rectas-perpendiculares
m1⊥m2⇒m1⋅m2=−1 
Donde: 
• m1 y m2 son las pendientes de las rectas consideradas 
Ejemplo 
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x² + x + 1 que paralela a la 
bisectriz del primer cuadrante. Encuentra también la ecuación de la recta normal en dicho 
punto. Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva 
 en el punto de abscisa: . 
Queremos la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva en el 
punto , y puesto que entonces 
 
Por otra parte, la ecuación de la recta tangente es de la forma 
 
En nuestro caso y para encontrar la pendiente 
calculamos la primera derivada de utilizando la regla de la cadena, 
 
y entonces 
 
 
Para la recta normal tenemos que entonces 
Ecuación recta normal: 
 
 
Función creciente 
Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable 
independiente crece el valor de la función. 
Formula 
La función es creciente si para todo x1< f(x2) 
Procedimiento 
1. Derivar la función, obteniendo f ’(x). 
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0. 
 
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’. 
Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es 
decir, en (-∞,+∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a 
estudiar serían (-∞,1) , (1,3) y (3,+∞) . 
4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, 
de manera que: 
 
Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de (1,3), entonces 
la función es decreciente en dicho intervalo. 
5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y 
decrecimiento. 
 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
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Función decreciente 
Diremos que una función es decreciente cuando a medida que el valor de la variable 
independiente aumenta el valor de la función disminuye. 
 
Formula 
La función es decreciente si para todo x1f(x2) 
Procedimiento 
1. Derivar la función, obteniendo f’(x). 
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0. 
 
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f’. 
Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es 
decir, en (-∞, +∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a 
estudiar serían (-∞,1), (1,3) y (3, +∞). 
4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, 
de manera que: 
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/
 
Por ejemplo, si f’ (2) < 0, que es un punto interior de (1,3), entonces 
la función es decreciente en dicho intervalo. 
5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y 
decrecimiento. 
 
Ejemplo 
Sea la función f definida en los números reales (intervalo (-∞, +∞)): 
 
Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento ydecrecimiento que tiene. 
 
1. Derivamos la función, obteniendo f’(x). 
 
2. Hallamos las raíces de la derivada: 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
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3. Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f’ serán: 
 
4. Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de 
cada intervalo, por ejemplo, en el -1, el 1 y el 3: 
 
5. Hallamos que: 
o f es creciente en (-∞,0) y en (2, +∞). 
o f es decreciente en (0,2). 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/
Concavidades y puntos de inflexión. 
Un punto de inflexión de la gráfica de una función. F es un punto donde 
la segunda derivada f″ es. Tenemos que esperar un minuto para aclarar el significado 
geométrico de esto. 0 
Una parte de la gráfica de es cóncava hacia arriba si la curva se 'dobla' hacia arriba. Por 
ejemplo, la parábola popular es cóncava hacia arriba en su totalidad. Fy = x2 
Una parte de la gráfica de es cóncava hacia abajo si la curva se 'dobla' hacia abajo. Por 
ejemplo, una versión 'invertida' de la parábola popular es cóncava hacia abajo en su 
totalidad. F 
 
Formula 
 
Procedimiento 
Sea f una función para el cual se puede calcular f´´ sobre el intervalo (a, b). 
 • Si f´´ (x) > 0 para toda x ∈ (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre 
el intervalo (a, b). 
• Si f´´ (x) < 0 para toda x ∈ (a, b) entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre 
el intervalo (a, b). 
Ejemplo 
Hallar los puntos de inflexión de 
 
1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. 
 
 
 
 es la única raíz de 
 
2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el valor que toman en ella los ceros de 
derivada segunda 
 
 
 
3 Como es diferente de cero, tenemos un punto de inflexión. 
 
4 Calculamos la imagen del punto de inflexión. 
 
 
 
La función tiene un punto de inflexión en 
 
Velocidad y aceleración y su relación con la expresión de la derivada 
Se sabe que el cambio de posición con respecto al tiempo representa una magnitud 
denominada velocidad, que de acuerdo con los conceptos ya vistos de cálculo escribimos 
como: 
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
, es decir: la velocidad representa la derivada (cambio) de la posición (s) con 
respecto al tiempo (t). 
De manera similar, se denomina “Aceleración” a la variación de la velocidad (v) con 
respecto al tiempo, por lo que para calcular dicha magnitud se debe derivar la función 
velocidad. Esto es: 
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 esto significa que la aceleración es la segunda derivada de la posición con 
respecto al tiempo, o bien es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo: 𝑎 =
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
=
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
Ejemplo 
un cuerpo se mueve con respecto a la ecuación: f(t) = t3 − 9𝑡2 + 24t siendo “t” en 
segundos 
Determine a) la posición y velocidad de dicho cuerpo cuando han transcurrido 5 segundos 
de tiempo 
b) la velocidad en t= 6 segundos. 
c) la aceleración cuando “t” = 4 segundos 
La solución, primero la expresión permite determinar la posición para cualquier valor de 
“t” por lo que para t= 5 segundos tenemos: 
X(t) = t3 − 9t2 + 24t = (5)3 – 9(5)2 + 24(5) = 20 metros 
Luego para determinar la velocidad, sabemos que la derivada de la posición representa 
la velocidad, por lo que para “t” = 6 se tiene: primero la derivada es: 
En este caso la primera derivada es: 
Df(t)
𝑑𝑡
 = 3t2 − 18 t + 24 y por lo tanto la velocidad para “t” = 6 
df(t) 
𝑑𝑡
= V = 3(6)2 − 18(6) + 24 = 24 m/ seg 
Ahora la aceleración es el cambio de la velocidad respecto al tiempo por lo que entonces 
se debe obtener la segunda derivada, es decir: 
d f 2( t
𝑑𝑡2
) = a = 6t – 18 = 6(4) − 18 = 6 m/ seg2 
 
 
Referencias 
https://www.fisicalab.com/apartado/rectas-tangente-normal 
https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt4/docs/estudiantes/aulas/mescrito/cuarto/matutino/
calculo/1.pdf 
https://mathinsight-
org.translate.goog/inflection_points_concavity_upward_downward_refresher?_x_tr_sl=e
n&_x_tr_tl=es&_x_tr_hl=es-419&_x_tr_pto=nui,sc 
https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/16694/LECT126.
pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=v%20%3D%20ds%20%2C%20es%20decir%20
%3A,debe%20derivar%20la%20funci%C3%B3n%20velocidad. 
 
https://www.fisicalab.com/apartado/rectas-tangente-normal
https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt4/docs/estudiantes/aulas/mescrito/cuarto/matutino/calculo/1.pdf
https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt4/docs/estudiantes/aulas/mescrito/cuarto/matutino/calculo/1.pdf
https://mathinsight-org.translate.goog/inflection_points_concavity_upward_downward_refresher?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=es&_x_tr_hl=es-419&_x_tr_pto=nui,sc
https://mathinsight-org.translate.goog/inflection_points_concavity_upward_downward_refresher?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=es&_x_tr_hl=es-419&_x_tr_pto=nui,sc
https://mathinsight-org.translate.goog/inflection_points_concavity_upward_downward_refresher?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=es&_x_tr_hl=es-419&_x_tr_pto=nui,sc
https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/16694/LECT126.pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=v%20%3D%20ds%20%2C%20es%20decir%20%3A,debe%20derivar%20la%20funci%C3%B3n%20velocidad
https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/16694/LECT126.pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=v%20%3D%20ds%20%2C%20es%20decir%20%3A,debe%20derivar%20la%20funci%C3%B3n%20velocidad
https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/16694/LECT126.pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=v%20%3D%20ds%20%2C%20es%20decir%20%3A,debe%20derivar%20la%20funci%C3%B3n%20velocidad
 
Cálculo Diferencial 
Ingeniería en Energías Renovables 
Rúbrica para evaluar trabajos de investigación 
Docente: Dr. Jesús Manuel Lugo Quintal 
 
ASPECTO A 
EVALUAR 
NIVEL DE DESEMPEÑO 
EXCELENTE 
100% 
BUENO 
90% 
REGULAR 
70% 
INSUFICIENTE 
0% 
 
Formato 
5 puntos 
Presenta tipo de letra Arial 12, justificado, 
márgenes de 2.5 por lado, interlineado de 
1.5 puntos. 
Títulos y subtítulos en negritas. Paginado 
al centro. 
Le falta algún rubro solicitado. 
Le faltan 2 de los rubros 
solicitados. 
No presenta el formato solicitado. 
5 puntos 4 puntos 2 puntos 0 puntos 
 
Contenido 
5 puntos Contiene Título del trabajo, 
Datos de los Autores, Resumen en inglés, 
Introducción, Desarrollo, Conclusiones y 
Referencias. 
Tiene 1 ó 2 pequeños errores al 
presentar los apartados solicitados 
Tiene 3 ó 4 pequeños errores al 
presentar los apartados 
solicitados 
Tiene 5 ó más errores al presentar 
los apartados solicitados 
5 puntos 4 puntos 2 puntos 0 puntos 
 
Calidad 
de la información 
20 puntos 
Contiene la revisión y análisis de al menos 
3 libros, relevantes, pertinentes y en 
inglés, debidamente citados 
en formato APA. 
Presenta la revisión y análisis de 
sólo 2 artículos científicos actuales 
y relevantes. 
Presenta la revisión y análisis de 
sólo 1 artículos científicos 
actuales y relevantes. 
El trabajo no tiene la calidad ni 
pertinencia suficiente. 
20 puntos 10 puntos 5 puntos 0 puntos 
 
Entrega del reporte 
5 puntos 
 
 
El reporte se entrega de manera digital, en 
tiempo y forma en las fechas establecidas, 
con la debida limpieza, formalidad y por las 
vías señaladas. 
Se entrega de manera digital, con 
la debida limpieza, formalidad y 
por las vías señaladas, pero dos 
horas después. 
Se entrega de manera digital, con 
la debida limpieza, formalidad y 
por las vías señaladas, pero un 
día después. 
No se entrega en los tiempos 
establecidos, ni en las condiciones 
solicitadas. 
5 puntos 4 puntos 2 puntos 0 puntos