ELEC-121 - E_Clase 01

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ELEC-121 
SISTEMAS DE 
CONTROL 
AUTOMÁTICO 1
Estabilidad
• Concepto de estabilidad.
• Características de un sistema estable.
• Diagrama de polos y ceros
• Criterio de estabilidad de Routh-
Hurwitz
Elaborado por:
Ejemplo#01
Instrucciones:
• Para la siguiente ecuación, 
obtenga:
a) El diagrama de polos y 
ceros de la función.
b) Determine si el sistema 
corresponde a un sistema 
estable, críticamente 
estable o inestable. 
Justifique su respuesta.
Condiciones:
• 𝑁/𝐴.
( )
( )
( )4
3
2 +
+
=
s
s
sF
Ejemplo#01
Solución:
a) Primeramente, se 
procede a factorizar el 
denominador:
• 𝑠2 + 4 = 0
• 𝑠2 + 0𝑠 + 4 = 0
➢ 𝑠1 = +2𝑗
➢ 𝑠2 = −2𝑗
Entonces se reescribe la 
ecuación como:
• 𝐹 𝑠 =
𝑠+3
𝑠+2𝑗 𝑠−2𝑗
( )
( )
( )( )jsjs
s
sF
22
3
−+
+
=
Ejemplo#01
Solución:
Seguidamente se encuentran 
los factores que hacen cero 
(anulan) los distintos factores 
en cada paréntesis:
• 𝑠 + 3 = 0 → 𝑠 = −3.
• 𝑠 + 2𝑗 = 0 → 𝑠 = 0 − 2𝑗.
• 𝑠 − 2𝑗 = 0 → 𝑠 = 0 + 2𝑗.
A continuación, se ubican los 
puntos anteriores en la gráfica. 
En este caso: 
➢ Si el valor de “s” anula un valor en 
el numerador, se indica como “O” 
en la gráfica.
➢ Si el valor de “s” anula un valor en 
el denominador, se indica como 
“X” en la gráfica.
Ejemplo#01
Solución:
b) Debido a que el sistema 
presenta polos en el eje 
“y”, el sistema 
corresponde a un sistema 
críticamente estable.
Ejemplo#02
Instrucciones:
• Para el siguiente diagrama 
de polos y ceros, determine:
a) La ubicación de los polos y 
los ceros
b) El tipo de estabilidad del 
sistema (estable, 
críticamente estable o 
inestable). Justifique su 
respuesta.
c) La función de transferencia 
del sistema G 𝑠 .
Condiciones:
• 𝑁/𝐴.
Ejemplo#02
Solución:
a) Primeramente se observa 
que el sistema posee: 
➢Un cero en 𝑠1 = −2.
➢Un cero en 𝑠2 = +1.
➢Un polo en 𝑠3 = +1𝑗.
➢Un polo en 𝑠4 = −1𝑗.
Ejemplo#02
Solución:
b) Contemplando lo 
anteriormente descrito, el 
sistema presenta polos en 
el eje “y”, el sistema 
corresponde a un sistema 
críticamente estable.
Ejemplo#02
Solución:
c) Ubicando los polos y ceros 
anteriormente encontrados, 
obtenemos la función de 
transferencia:
• G 𝑠 =
𝑠−𝑠1 𝑠−𝑠2
𝑠−𝑠3 𝑠−𝑠4
• G 𝑠 =
𝑠− −2 𝑠− +1
𝑠− +1𝑗 𝑠− −1𝑗
• 𝐺 𝑠 =
𝑠+2 𝑠−1
𝑠−𝑗 𝑠+𝑗
Multiplicando los factores:
• 𝐆 𝒔 =
𝒔𝟐+𝒔−𝟐
𝒔𝟐+𝟏
Ejemplo#03
Instrucciones:
• Para el siguiente diagrama 
de polos y ceros, determine:
a) La ubicación de los polos y 
los ceros
b) El tipo de estabilidad del 
sistema (estable, 
críticamente estable o 
inestable). Justifique su 
respuesta.
c) La función de transferencia 
del sistema G 𝑠 .
Condiciones:
• 𝑁/𝐴.
Ejemplo#03
Solución:
a) Primeramente se observa 
que el sistema posee: 
➢Un cero en 𝑠1 = −1.
➢Un cero en 𝑠2 = +1.
➢Un polo en 𝑠3 = −1 + 1𝑗.
➢Un polo en 𝑠4 = −1 − 1𝑗.
Ejemplo#03
Solución:
b) Contemplando lo 
anteriormente descrito, el 
sistema sólo posee polos
en el semiplano izquierdo 
de la gráfica, por lo que se 
considera un sistema 
estable.
Ejemplo#03
Solución:
c) Ubicando los polos y ceros 
anteriormente encontrados, 
obtenemos la función de 
transferencia:
• G 𝑠 =
𝑠−𝑠1 𝑠−𝑠2
𝑠−𝑠3 𝑠−𝑠4
• G 𝑠 =
𝑠− −1 𝑠− +1
𝑠− −1+1𝑗 𝑠− −1−1𝑗
• 𝐺 𝑠 =
𝑠+1 𝑠−1
𝑠+1−𝑗 𝑠+1+𝑗
Multiplicando los factores:
• G 𝑠 =
𝑠+1 𝑠−1
𝑠+1 −𝑗 𝑠+1 +𝑗
• G 𝑠 =
𝑠+1 𝑠−1
𝑠+1 2− 𝑗 2
• 𝐆 𝒔 =
𝒔𝟐−𝟏
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟐
Ejemplo#04
Instrucciones:
• Para la siguiente ecuación 
característica, determine:
a) Si el sistema corresponde o no a 
un sistema inestable.
b) El rango de valores para el cual 
el sistema es estable (si el 
sistema es estable) y/o el 
número de raíces inestables del 
sistema (si el sistema es 
inestable).
Condiciones:
• Utilice el criterio de Routh-
Hurwitz.
• El inciso b) es sólo aplicable si el 
sistema cumple con las 2 
condiciones previas al criterio 
anteriormente mencionado.
0542 34 =+++ sss
Ejemplo#04
Solución:
a) Primeramente se analizan 
las condiciones previas:
Existe(n) término(s) nulo(s) 
(0𝑠2).
✓No existe cambio de signo 
entre términos (todos son 
positivos).
Al existir una violación en 
una de las condiciones, se 
dice que el sistema es 
inestable.
0542 34 =+++ sss
Ejemplo#04
Solución:
b) N/A
0542 34 =+++ sss
Ejemplo#05
Instrucciones:
• Para la siguiente ecuación 
característica, determine:
a) Si el sistema corresponde o no a 
un sistema inestable.
b) El rango de valores para el cual 
el sistema es estable (si el 
sistema es estable) y/o el 
número de raíces inestables del 
sistema (si el sistema es 
inestable).
Condiciones:
• Utilice el criterio de Routh-
Hurwitz.
• El inciso b) es sólo aplicable si el 
sistema cumple con las 2 
condiciones previas al criterio 
anteriormente mencionado.
05432 234 =++−+ ssss
05432 234 =++−+ ssss
Ejemplo#05
Solución:
a) Primeramente se analizan 
las condiciones previas:
✓No existen término(s) 
nulo(s). 
Existen 2 cambios de signo 
entre términos (2 cambios 
detectados).
Al existir una violación en 
una de las condiciones, se 
dice que el sistema es 
inestable.
05432 234 =++−+ ssss
Ejemplo#05
Solución:
b) N/A.
Ejemplo#06
Instrucciones:
• Para la siguiente ecuación 
característica, determine:
a) Si el sistema corresponde o 
no a un sistema inestable.
b) El rango de valores para el 
cual el sistema es estable (si 
el sistema es estable) y/o el 
número de raíces inestables 
del sistema (si el sistema es 
inestable).
Condiciones:
• Utilice el criterio de Routh-
Hurwitz.
• El último inciso es sólo 
aplicable si el sistema no es 
inestable.
05432 234 =++++ ssss
Ejemplo#06
Solución:
a) Primeramente se analizan 
las condiciones previas:
✓No existen término(s) 
nulo(s). 
✓No existe cambio de signo 
entre términos (todos son 
positivos).
Al no existir una violación en 
una de las condiciones, el 
sistema puede ser estable, 
por lo que se procede a 
realizar el arreglo con los 
términos:
05432 234 =++++ ssss
Ejemplo#06
Solución:
b) Seguidamente, se calculan los 
valores de los demás 
coeficientes:
• 𝑏1 =
2∙3 − 1∙4
2
= 1
• 𝑏2 =
2∙5 − 1∙0
2
= 5
• 𝑏3 =
2∙0 − 1∙0
2
= 0
• 𝑐1 =
1∙4 − 2∙5
1
= −6
• 𝑐2 =
1∙0 − 0∙2
1
= 0
• 𝑐3 =
1∙0 − 0∙2
1
= 0
Ejemplo#06
Solución:
• 𝑑1 =
−6∙5 − 0∙1
−6
= 5
• 𝑑2 =
−6∙0 − 0∙1
−6
= 0
• 𝑑3 =
−6∙0 − 0∙1
−6
= 0
Debido a que existe un signo (-) 
en la primera columna, se dice 
que:
1. El sistema es inestable.
2. Existen 2 cambios de 
signo en esta columna, 
por lo que hay 2 raíces 
inestables. 
Ejemplo#07
Instrucciones:
• Para el siguiente diagrama, determine:
a) La función de transferencia a lazo 
cerrado.
b) La ecuación característica del sistema. 
c) Si el sistema corresponde o no a un 
sistema inestable.
d) El rango de valores para el cual el 
sistema es estable (si el sistema es 
estable) y/o el número de raíces 
inestables del sistema (si el sistema es 
inestable).
Condiciones:
• Utilice el criterio de Routh-Hurwitz.
• El último inciso es sólo aplicable si el 
sistema no es inestable.
• 𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2
• 𝐻 𝑠 = 1
Ejemplo#07
Solución:
a) Primeramente, se aplica la 
fórmula:
•
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝐺 𝑠
1±𝐺 𝑠 𝐻 𝑠
• 𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2
• 𝐻 𝑠 = 1
Entonces:
•
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2
1+
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2
∙1
Ejemplo#07
Solución:
Simplificando:
•
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2
1+
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2
•
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2 +𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2
•
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2 +𝐾
•
𝑪 𝒔
𝑹 𝒔
=
𝑲
𝒔𝟒+𝟑𝒔𝟑+𝟑𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝑲
Ejemplo#07
Solución:
b) La ecuación característica 
corresponde al 
denominador de la 
ecuación anterior:
• 𝟎 = 𝒔𝟒 + 𝟑𝒔𝟑 + 𝟑𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝑲
Ejemplo#07
Solución:
c) Se analizan primeramente 
las 2 condiciones:
✓No existen término(s) 
nulo(s). 
✓No existe cambio de 
signo entre términos 
(todos son positivos).
Al no existir una violación en una 
de las condiciones, el sistema 
puedeser estable, por lo que se 
procede a realizar el arreglo con 
los términos:
Ejemplo#07
Solución:
d) Seguidamente, se calculan los 
valores de los demás 
coeficientes:
• 𝑏1 =
3∙3 − 1∙2
3
=
7
3
• 𝑏2 =
3∙𝐾 − 1∙0
3
= 𝐾
• 𝑏3 =
3∙0 − 1∙0
3
= 0
• 𝑐1 =
7
3
∙2 − 3∙𝐾
7
3
= 2 −
9
7
𝐾
• 𝑐2 =
7
3
∙0 − 3∙0
7
3
= 0
• 𝑐3 =
7
3
∙0 − 3∙0
7
3
= 0
Ejemplo#07
Solución:
• 𝑑1 =
𝑐1∙𝐾 −
7
3
∙0
𝑐1
= 𝐾
• 𝑑2 =
𝑐1∙0 −
7
3
∙0
𝑐1
= 0
• 𝑑3 =
𝑐1∙𝐾 −
7
3
∙0
𝑐1
= 0
Debido a que la constante “K” 
puede ser cualquier valor, se 
debe establecer un rango 
donde tanto 𝑐1como 𝑑1
conserven el mismo signo de los 
demás términos de la primera 
columna del arreglo.
Ejemplo#07
Solución:
Para este caso, 𝑐1y 𝑑1deben de 
ser positivos:
• 𝑐1 > 0 𝑑1 > 0
• 2 −
9
7
𝐾 > 0 𝑲 > 𝟎
• 2 >
9
7
𝐾
•
𝟏𝟒
𝟗
> 𝑲
Para que se deben cumplir 
ambas condiciones, por lo tanto: 
El sistema es estable siempre 
que 𝟎 < 𝑲 < Τ𝟏𝟒 𝟗.
Ejemplo#08
Instrucciones:
• Para la siguiente ecuación 
característica, determine:
a) Si el sistema corresponde o 
no a un sistema inestable.
b) El rango de valores para el 
cual el sistema es estable (si 
el sistema es estable) y/o el 
número de raíces inestables 
del sistema (si el sistema es 
inestable).
Condiciones:
• Utilice el criterio de Routh-
Hurwitz.
• El último inciso es sólo 
aplicable si el sistema no es 
inestable.
02623 234 =++++ ssss
Ejemplo#08
Solución:
a) Se analizan primeramente 
las 2 condiciones:
✓No existen término(s) 
nulo(s). 
✓No existe cambio de 
signo entre términos 
(todos son positivos).
Al no existir una violación en 
una de las condiciones, el 
sistema puede ser estable, 
por lo que se procede a 
realizar el arreglo con los 
términos:
Ejemplo#08
Solución:
b) Seguidamente, se calculan 
los valores de los demás 
coeficientes:
• 𝑏1 =
3∙2 − 1∙6
3
= 0
• 𝑏2 =
3∙2 − 1∙0
3
= 2
• 𝑏3 =
3∙2 − 1∙6
3
= 0
En este caso, se observa que el 
primer termino de la columna 
es “0”, lo que corresponde al 
caso especial#1 . Para este caso, 
sustituimos 0 = 𝜀 únicamente 
en la primera columna.
Ejemplo#08
Solución:
Seguidamente, 
• 𝑐1 =
𝜀∙6 − 3∙2
𝜀
=
6𝜀−6
𝜀
• 𝑐2 =
𝜀∙0 − 3∙0
𝜀
= 0
• 𝑐3 =
𝜀∙0 − 3∙0
𝜀
= 0
• 𝑑1 =
𝑐1∙2 − 𝜀∙0
𝑐1
= 2
• 𝑑2 =
𝑐1∙0 − 𝜀∙0
𝑐1
= 0
• 𝑑3 =
𝑐1∙0 − 𝜀∙0
𝑐1
= 0
Debido a 𝜀 > 0, el valor de 𝑐1es negativo. 
Por lo tanto, se deduce que el sistema es 
inestable.
Ejemplo#09
Instrucciones:
• Para la siguiente ecuación 
característica, determine:
a) Si el sistema corresponde o 
no a un sistema inestable.
b) El rango de valores para el 
cual el sistema es estable (si 
el sistema es estable) y/o el 
número de raíces inestables 
del sistema (si el sistema es 
inestable).
Condiciones:
• Utilice el criterio de Routh-
Hurwitz.
• El último inciso es sólo 
aplicable si el sistema no es 
inestable.
01287242 23456 =++++++ ssssss
Ejemplo#09
Solución:
a) Se analizan primeramente 
las 2 condiciones:
✓No existen término(s) 
nulo(s). 
✓No existe cambio de 
signo entre términos 
(todos son positivos).
Al no existir una violación en 
una de las condiciones, el 
sistema puede ser estable, 
por lo que se procede a 
realizar el arreglo con los 
términos:
Ejemplo#09
Solución:
b) Seguidamente, se calculan los 
valores de los demás coeficientes:
• 𝑏1 =
2∙4 − 1∙2
2
= 3
• 𝑏2 =
2∙7 − 1∙8
2
= 3
• 𝑏3 =
2∙12 − 1∙0
2
= 12
• 𝑏4 =
2∙0 − 1∙0
2
= 0
• 𝑐1 =
3∙2 − 2∙3
3
= 0
• 𝑐2 =
3∙8 − 2∙12
3
= 0
• 𝑐3 =
3∙0 − 2∙0
3
= 12
• 𝑐4 =
3∙0 − 2∙0
3
= 0
Ejemplo#09
Solución:
En este caso, se observa que la fila 
completa es “0”, lo que 
corresponde al caso especial#2.
Ecuación auxiliar:
• 𝐴𝑢𝑥 = 3𝑠4 + 3𝑠2 + 12
Seguidamente derivamos:
•
𝜕 𝐴𝑢𝑥
𝜕𝑠
=
𝜕 3𝑠4+3𝑠2+12
𝜕𝑠
•
𝜕 𝐴𝑢𝑥
𝜕𝑠
= 12𝑠3 + 6𝑠1 + 0
Esta última ecuación sustituirá la 
fila de 0’s.
Ejemplo#09
Solución:
Se procede a calcular los valores de los 
demás coeficientes:
• 𝑑1 =
12∙3 − 3∙6
12
=
3
2
• 𝑑2 =
12∙12 − 3∙0
12
= 12
• 𝑑3 =
12∙0 − 3∙0
12
= 0
• 𝑑4 =
12∙0 − 3∙0
12
= 0
• 𝑒1 =
𝑑1∙6 − 12∙12
𝑑1
= −90
• 𝑒2 =
𝑑1∙0 − 12∙0
𝑑1
= 0
• 𝑒3 =
𝑑1∙0 − 12∙0
𝑑1
= 0
• 𝑒4 =
𝑑1∙0 − 12∙0
𝑑1
= 0
Ejemplo#09
Solución:
• 𝑓1 =
−90∙12 − 𝑑1∙12
−90
= 12
• 𝑓2 =
−90∙0 − 12∙0
𝑑1
= 0
• 𝑓3 =
−90∙0 − 12∙0
𝑑1
= 0
• 𝑓4 =
−90∙0 − 12∙0
𝑑1
= 0
Debido a que existe un signo (-) en 
la primera columna, se dice que:
1. El sistema es inestable.
2. Existen 2 cambios de signo 
en esta columna, por lo 
que hay 2 raíces 
inestables. 
		2022-06-09T01:55:49-0600
	Mauricio Armas Sandi