ME2-2021-II - Clase 23-24 - Modelo Matemático Máquina Síncrona

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Clase 23-24
Modelo Matemático Máquina Síncrona
Máquinas Eléctricas II
Ricardo Bolaños
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería
2021-II
25/03/2022
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Modelo Matemático Máquina Síncrona
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Devanados amortiguadores
Consisten en barras de cobre cortocircuitadas, y su función es la de reducir las
oscilaciones mecánicas del rotor hasta la velocidad sincrónica que es la
determinada por el número de polos de la máquina y la frecuencia del sistema de
alimentación al que está conectada. La disposición de los devanados
amortiguadores, cumple una función similar a la motor de inducción jaula de
ardilla y facilita el arranque de la máquina síncrona.
Video: https://www.youtube.com/watch?v=8FbVTKdPdcs
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Modelo Matemático Máquina Síncrona
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
En condiciones de estado estable, solo existe la corriente directa en los bobinados de campo (Rotor).
En condiciones dinámicas las corrientes de Eddy se inducen en la superficie del rotor, en las paredes
de las ranuras, cuñas y arrollamientos amortiguadores.
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Arranque de Motores Síncronos
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Problemas en el arranque del motor
Tres métodos básicos para arrancar motores sincrónicos:
1. Reducir la velocidad del campo magnético giratorio en
el estator, lo suficiente bajo para que el rotor se pueda
acelerar.
2. Usar un motor primario externo, que impulse el motor
en vacío hasta la velocidad sincrónica, en ese instante
se conectar el campo de la máquina.
3. Usar bobinados amortiguadores, que permiten el
arranque autónomo del motor.
Diagrama simplificado que presenta 
embobinados amortiguadores.
Muestra de embobinados 
amortiguadores en la cara polar.
Problema: el par alterna rápidamente en magnitud y 
dirección, por lo que el par de arranque neto es cero.
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Arranque de Motores Síncronos
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Arranque usando bobinados amortiguadores
Desarrollo de un par unidireccional con devanados de amortiguamiento 
en un motor síncrono.
Arranque usando bobinado amortiguadores
En resumen, si una máquina tiene devanados de
amortiguamiento, se puede encender siguiendo el
procedimiento que se describe a continuación:
1. Desconectar los devanados de campo de su fuente de
potencia de cd y que estén en cortocircuito.
2. Aplicar un voltaje trifásico al estator del motor y dejar que
el rotor acelere hasta llegar casi a velocidad síncrona. El
motor no debe tener ninguna carga en su eje para que su
velocidad se pueda aproximar tanto como sea posible a
nsinc.
3. Conectar el circuito de campo de cd a su fuente de
potencia. Una vez que esto se lleva acabo, el motor se fija
a velocidad síncrona y se le pueden añadir cargas a su eje.
𝜏 = 𝑘𝑩𝑹 × 𝑩𝒏𝒆𝒕
𝑒 = 𝒗 × 𝑩 𝒍
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Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Eje directo y en cuadratura
Los circuitos magnéticos como los
arrollamientos del rotor son siempre simétricos
a dos ejes. Con el propósito de identificar más
sencillamente las características de la máquina
sincrónica, se definen dos eje.
1. Eje Directo “d”, centrado con el eje del Polo
Norte Magnético.
2. Eje en Cuadratura “q” ubicado a 90° del eje
directo y en posición de retraso considerando
como positiva a la dirección horaria.
é á
é á
𝑝: 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
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Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Debido a una Bobina
Debido a un Número de Bobinas
𝐵 = 𝐾𝑖 cos 𝛾 + 𝐾𝑖 cos 𝛾 −
2𝜋
3
+ 𝐾𝑖 cos 𝛾 +
2𝜋
3
𝑖 = 𝐼 cos 𝜔 𝑡 𝑖 = 𝐼 cos 𝜔 𝑡 −
2𝜋
3
𝑖 = 𝐼 cos 𝜔 𝑡 +
2𝜋
3
𝜔 = 2𝜋𝑓
Campo Magnético Total en un Sistema Trifásico
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𝑖
𝑖
𝑖
𝐵 = 𝐾𝐼 cos 𝜔 𝑡 cos 𝛾 + cos 𝜔 𝑡 −
2𝜋
3
cos 𝛾 −
2𝜋
3
+ cos 𝜔 𝑡 +
2𝜋
3
cos 𝛾 +
2𝜋
3
𝑩𝑻 =
𝟑
𝟐
𝑲 𝑰𝒎𝒄𝒐𝒔 𝜸 − 𝝎𝒔𝒕
HW: Usando identidades 
trigonométricas, demostrar:
cos 𝑥 cos 𝑦 =
1
2
cos(𝑥 − 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦) cos 𝑥 ± 𝑦 = cos 𝑥 cos 𝑦 ∓ sen 𝑥 sen 𝑦
Recordar:
Campo Magnético Giratorio
Reemplazando el sistema trifásico de corrientes, se obtiene:
𝑖 = 𝐼 cos 𝜔 𝑡
𝑖 = 𝐼 cos 𝜔 𝑡 +
2𝜋
3
𝑖 = 𝐼 cos 𝜔 𝑡 −
2𝜋
3
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Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Se realizan las siguientes simplificaciones para el desarrollo de las ecuaciones:
1. Las bobinas del estator se distribuyen sinusoidalmente a lo largo del entrehierro,
en lo que respecta los efectos mutuos del rotor.
2. Las ranuras del estator no causan una apreciable variación de la inductancia del
rotor al variar su posición.
3. La histéresis magnética es despreciable.
4. Los efectos de saturación magnéticas son despreciables.
Nota: Las consideraciones 1, 2, y 3 son razonables y justificadas en la comparación de medidas de desempeño
realizadas a las máquinas. La consideración 4, es por conveniencia del análisis, permite tratar con circuitos de
acoples lineales, la superposición es aplicable.
En las ecuaciones a desarrollar se considera relaciones lineales entre flujo y corriente.
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Amortisseur
Consideración Importante: Las ecuaciones de
desempeño de la máquina sincrónica pueden ser
escritas a través de las ecuaciones de acoplamiento
entre los dos circuitos (estator y rotor) que se
mueven relativamente uno respecto del otro.
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Donde ψ es el valor instantáneo del flujo concatenado
en el tiempo 𝑡. 𝑒 es la tensión en los terminales, 𝑃 la
permeancia del material ferromagnético, Φ el flujo
magnético.
Circuito con una Sola Excitación Circuito Acoplados
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En términos de inductancias Propias:
Enlaces de flujo en termino de inductancias:
En términos de inductancias mutuas:
Permeancia del 
camino mutuo
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Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control. A. Garcés, Análisis de Estabilidad en SEP. 
Variación de la permeancia: La variación de permeancia en el camino del flujo magnético produce una
variación en la inductancia. Debido a la no uniformidad del entrehierro. Este efecto (diferencia) es mayor
en las máquinas de polos salientes en la cuales la permeancia en los dos eje es notablemente diferente.
En la ecuación, 𝜃 es la distancia angular desde el eje “d” medida a lo largo de la periferia.
Máquina de Rotor Liso Máquina de Rotor de Polos Salientes
𝑞
𝑑𝑑
𝑞
𝜃
𝜃
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Ecuaciones de las Tensiones en las Tres
Fases del Estator
Enlaces de flujo de la fase “a”
Expresiones similares se obtienen para los flujos
concatenado de los bobinados b y c.
El signo negativo esta asociado con la dirección 
que se asume para las corrientes.
Ec (1) Ec (2)
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Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Autoinductancia en el estator
La inductancia propia 𝑙 es igual a la relación entre el flujo que enlaza el devanado “a” y la corriente 𝑖 por el
devanado, suponiendo las otras dos corrientes igual a cero. La inductancia es directamente proporcional a la
permeancia antes vista. Esta inductancia 𝑙 tiene:
 un máximo para θ = 0°,
 un mínimo para θ = 90°,
 otro máximo para θ = 180°….y así sucesivamente.
Despreciando la presencia de segundos armónicos, la Fmmde la fase “a” tiene forma sinusoidal con su máximo
centrado en el eje de dicha fase (fase “a”).
El máximo de la Fmm para la fase “a” es 𝑁 𝑖 , donde “𝑵𝒂” es el número de vueltas del bobinado por fase, en este
caso del bobinado de la fase “a”.
Esta Fmm se puede dividir en una componente en eje “d” y eje “q”, así:
𝐵 = 𝑁 𝑖 cos 𝜃
𝐵 = 𝑁 𝑖 cos 𝜃 + 90° = −𝑁 𝑖 sen 𝜃
Valores máximos
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FMM principal de una Fase y sus dos componentes centradas en los Ejes (d y q) 
La razón por la cual se descompone la 𝑩𝒂 o 𝑭𝑴𝑴 o 𝑴𝑴𝑭 principal en componentes según los dos ejes, es debido
a que cada una de las FMMs actúan en un espacio específico del entrehierro.
El flujo en el entrehierro por polo según componentes del eje directo “d” y eje en cuadratura “q” es:
Autoinductancia en el estator
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Autoinductancia en el estator
El flujo total en el entrehierro debido 
a la fase “a” es:
La inductancia propia de la fase“a” 
debido al flujo en el entrehierro es:
Ec. (3)
La inductancia propia total de la
fase“a”: se obtiene adicionando a la
anterior la inductancia “ 𝑳𝒂𝒍 ” que
representa el flujo de dispersión que no
cruza el entrehierro, así:
Los arrollamientos de las fases “b” y “c”
son idénticos al de la fase “a”, pero se
encuentran, físicamente, desfasados
120° y 240° respectivamente esto,
expresado matemáticamente, queda:
La variación de 
“laa”,“lbb” y “lcc”
con la posición “θ” 
es la mostrada en 
la figura:
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Inductancia mutua en el estator
Las inductancias mutuas entre dos arrollamientos del estator también presentan una segunda componente armónica
debido a la forma del rotor.
La inductancia mutua siempre es negativa y tienen su valor máximo absoluto cuando los polos Norte y Sur se
encuentran equidistantes de los centros de los dos devanados en cuestión, por ejemplo, “𝒍𝒂𝒃” tiene su máximo
absoluto cuando θ = -30° o θ = 150°.
La inductancia mutua “𝒍𝒃𝒂” se calcula evaluando el flujo en el entrehierro “𝚽𝒈𝒃𝒂” enlazado por la fase “b” cuando se
encuentra excitada solamente la fase “a”, para calcular el flujo concatenado por la fase “b” a partir de la expresión del
flujo de la fase “a”, se debe reemplazar “θ” en la Ec (3), por “(θ -2π/3)”, con lo que queda:
Recordar:
HW: Probar.
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Inductancia mutua en el estator
La inductancia mutua
entre las fases “a” y
“b” debido al flujo en
el entrehierro, es:
La inductancia mutua 
entre las fases “a” y 
“b” debido al flujo en 
el entrehierro
considerando el flujo 
de dispersión es:
𝐿 = 𝑁
𝑃 + 𝑃
2
Haciendo el mismo análisis para las fases “b” y “c”,
tenemos:
Recordar:
Variación de la Inductancia Mutual entre dos Arrollamientos del Estator (fase a y b)
Note que de nuevo se producen armónicos de segundo 
orden por la variación de producida por la permeancia 
y que: 𝐿 = 𝐿 y 𝐿 = 𝐿 /2.
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Inductancia mutua entre el estator y rotor
Despreciando variaciones en el entrehierro debidas a las ranuras del estator, el circuito del rotor observa permeancia
constante. Las variaciones en las inductancias mutuas son debidas al movimiento relativo entre los arrollamiento.
Cuando el devanado del estator se encuentra alineado con el arrollamiento del rotor, el flujo concatenado por ambos
arrollamientos es máximo. Cuando los dos arrollamientos se encuentran desplazados 90° el flujo concatenado por
los dos arrollamientos es cero y la inductancia mutual también es cero.
Con distribución sinusoidal de la Fmm y la onda de flujo, se tienen las ecuaciones de inductancia mutua entre la fase
“a” y el circuito rotórico, debidas a los devanados de campo “f” y devanados amortiguadores “k”:
Efecto mutuo entre la fase “a” y el devanado de campo “f” del eje directo “d”.
Efecto mutuo entre la fase “a” y el devanado amortiguador “k” del eje directo “d”.
Efecto mutuo entre la fase “a” y el devanado amortiguador “k” del eje en cuadratura “q”.
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Se han obtenido todas las expresiones correspondientes a las inductancias que aparecen en la ecuación de la tensión
de estator Ec (1) .
Recordando el flujo
Ec. (4)
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Ecuaciones de Tensión del Circuito del Rotor
Los circuitos del rotor tienen una permeancia constante debido a la estructura cilíndrica del estator. Por lo tanto, la
inductancia propia y mutua no varia con la posición del rotor. Solo la inductancia mutua entre el rotor y estator varia
periódicamente con 𝜽.
Enlaces de flujo del circuito del rotor
Ec. (5)
¡Gracias!
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