SEMANA12 (1)

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INGENIERÍA ECONÓMICA – SEMANA 12
Mg. Ing. Víctor Rodríguez Gallegos 
Al finalizar la unidad el estudiante 
conocerá en que consiste el costo de 
oportunidad y en que momento se 
integra para calcular el capital propio y 
el financiado, igualmente conocerá la 
metodología para medir para la toma 
de decisiones
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 
• Conocer en que consiste el costo de 
oportunidad de capital.
• Costo de capital propio y costo de capital 
financiado
• Metodo de medir
Costo de oportunidad
El costo de oportunidad es el valor de la opción que NO se ha tomado. Dicho de otra forma, es
el valor de la opción a la que se renuncia por hacer algo.
Imagina que tienes unos kilos de más, necesitas ponerte en forma y estás convencido de que
debes empezar mañana a hacer deporte…Llega mañana y tienes dos opciones: irte a hacer
deporte o quedarte en casa.
Si decides quedarte en casa, el coste de oportunidad es el valor que te hubiese aportado el
haberte ido a hacer deporte.
Pero y si…. ¿el haberte quedado en casa también te reporta valor?
Este matiz hay que tenerlo en cuenta y por lo tanto influye en el valor del coste de oportunidad.
Por lo tanto podemos concluir que:
El coste de oportunidad es la diferencia entre el valor de la opción que has tomado y el valor de
la opción que NO has tomado.
opciones, decisiones que tomamos.
¿Y cuál es ese valor?, ¿se podrá cuantificar? Esto te lo explico un poco más adelante.
Cuándo aparece el costo de oportunidad
Aparece siempre que estés delante de la posibilidad de tomar una decisión entre hacer 
una cosa o la otra, entre realizar una inversión u otra.
Tal y como indica en un estudio realizado por la Universidad de Oviedo: “…desde un punto de 
vista económico, se parte de la idea de que los recursos son escasos y, en su
Por lo tanto tenemos que elegir.
Habremos elegido una opción y siempre habremos rechazado otra opción.
Si comparamos el valor de la opción que hemos seleccionado con el 
valor de la opción que hemos rechazada es cuando aparece 
Costo oportunidad en la vida diaria
En la vida diaria aparece en muchísimas ocasiones el concepto de coste de oportunidad, algunas de ellas son estas
que te expongo:
Costo de oportunidad en un proceso de selección
Imagínate que estás buscando trabajo y presentas tu candidatura en varias empresas.
Estás en la fase final de tres procesos de selección y por suerte para ti, dos empresas, la empresa A y la empresa B 
quieren contratarte. ¿Cuál eliges?
Sin quererlo estarías analizando tu coste de oportunidad porque tu mente de forma rápida
empezará a comparar el valor que te aportará las distintas condiciones de un puesto de trabajo y otro.
Quizás valores: salario, ambiente de trabajo, flexibilidad horaria, posibilidad de 
promocionar, afinidad con el puesto de trabajo, experiencia previa, etc.
Cuando comparas y les pones valor a estas variables para cada uno de los puestos de trabajo estáshaciendo esto:
Costo de Oportunidad (Puesto empresa A) = Valor de la Opción NO tomada (Puesto empresa B)
– Valor de la Opción SÍ tomada (Puesto empresa A)
Costo de Oportunidad (Puesto empresa B) = Valor de la 
Opción NO tomada (Puesto empresa A) – Valor de la 
Opción SÍ tomada (Puesto empresa B)
Comparas el valor que te aportaría un puesto de trabajo con el 
otro y en base a ello tomas una decisión.
Si has hecho este análisis se supone que has tomado la decisión 
más óptima pero no siempre es así.
Costo de oportunidad en una decisión emprendedora
Ahora imagínate que has terminado tus estudios y te planteas 
si trabajar para una empresa o por el contrario crear tu 
propia empresa.
Si decides trabajar para una empresa entonces el coste de 
oportunidad sería el siguiente:
Costo de Oportunidad (trabajar para otro) = Valor de la 
Opción NO tomada (trabajar para mí) – Valor de la Opción 
SÍ tomada (trabajar para otro)
Costo de oportunidad a la hora de adquirir una propiedad
En el caso de que estés buscando una casa para vivir 
te podrías plantear dos opciones: alquilar una 
vivienda o comprar una vivienda.
Si decides alquilar la vivienda, entonces el coste de oportunidad sería el siguiente:
Costo de Oportunidad (Alquilar) = Valor de la Opción NO tomada (Comprar) – Valor de la Opción SÍ 
tomada (Alquilar)
En esta ocasión es posible que valores: sentimiento de propiedad, libertad para cambiar de domicilio, 
desembolso económico inicial, revalorización del precio de la vivienda, etc.
Como ves el valor de cada opción no es fácil de cuantificar y medir.
No obstante más adelante intentaré ofrecerte más detalles para que puedas valorar cada opción lo mejor 
posible.
Costo de oportunidad en el mundo empresarial
El mundo empresarial no se queda al margen de ese concepto. Existen numerosas situaciones que 
hacen aparecer este concepto que estamos estudiando.
Costo de oportunidad en el lanzamiento de un producto o servicio
Los empresarios, en su apuesta por mantenerse en el mercado, están en constante desarrollo de nuevos 
productos y/o servicios.
Pero muchas veces se encuentran en la tesitura sobre si lanzar al mercado un producto A o un 
producto B.
Imagina que el empresario decide finalmente lanzar al 
mercado el producto B, entonces el coste de oportunidad sería 
el siguiente:
Costo de Oportunidad (producto B) = Valor de la Opción NO 
tomada (producto A) –
Valor de la Opción SÍ tomada (producto B)
Esta decisión la habrá valorado el empresario en base a estas
posibles variables: precio de venta, precio de coste, público 
objetivo, canales de venta, problema que se resuelve, posibilidad
de vender producto anexos, etc.
Costo de oportunidad en la aceptación de un encargo
En ocasiones un cliente solicita un encargo a una empresa que 
no suele ser habitual y que por complejidad técnica o capacidad 
deba hacer ciertas modificaciones en la estructura de su 
organización para poder entregar ese producto o servicio que se le 
ha encargado.
Pero, ¿valdría la pena realizar ese esfuerzo para entregar ese 
producto o servicio o es mejor no aceptar ese encargo?
Imagina que la empresa SÍ decide aceptar el encargo.
Si lo analizamos desde el punto de vista del Costo de oportunidad tendríamos:
Coste de Oportunidad (Aceptar encargo) = Valor de la Opción NO tomada (No aceptar encargo) – Valor de la Opción SÍ tomada 
(producto B)
Esta decisión se habrá valorado en base a estas posibles variables: precio de venta, precio de coste, volumen del pedido, ajustes en 
la estructura de trabajo y la producción, posibilidad de fallar al tratarse de un encargo especial no realizado periódicamente, etc.
Cómo cuantificar el coste de oportunidad:
Hemos definido el Coste de oportunidad como:
Al tratarse de una diferencia de valores, el resultado podrá salir con signo positivo o con signo negativo.
Teniendo presente la fórmula del Coste de Oportunidad, podemos tener:
Coste de Oportunidad > 0 → Decisión NO óptima ya que el valor de la Opción
NO tomada es mayor que el valor de la Opción Sí tomada.
Coste de Oportunidad = 0 → No existe coste de oportunidad entre las dos
opciones a elegir.
Coste de Oportunidad < 0 → Decisión óptima ya que el valor de la Opción NO
tomada es menor que el valor de la Opción Sí tomada.
Por lo tanto, lo importante es poder calcular los valores de cada opción.
Problemas a la hora de calcular los costes de oportunidad
Pero esto no es algo sencillo ya que a la hora de valorar una opción nos podemos encontrar con:
Valores cuantitativos: son valores fácilmente cuantificables como una inversión, valor monetario, horas 
de trabajo dedicadas.
Valores cualitativos: son valores más subjetivos e intangibles y por lo tanto más difíciles de cuantificar. 
La satisfacción, sentimientos, afinidades, percepciones.
Todos estos valores son los que están detrás de la valoración de una opción u otra y por tanto del coste de 
oportunidad.
El reto para conseguir cuantificar un coste de oportunidad en cualquier situación es poder cuantificar losvalores cualitativos que están detrás de la valoración de una opción.
Si bien los valores más complejos de calcular son los cualitivativos, no todos los valores cuantitativos 
son sencillos en la obtención de su cálculo.
Existen ocasiones en las que el valor cuantitativo y beneficio de una opción se presenta en un futuro o a lo largo de unos años.
Eso significa que si queremos calcular el valor de esa opción a día de hoy debemos usar una tasa de descuento para cuantificar esos 
ingresos futuros a día de hoy.
No quiero entrar en tanto detalle para explicarte este concepto por lo tanto no voy a tener en cuenta esta tasa de descuento en lo que 
resta de este artículo.
Mi objetivo es que entiendas bien el concepto y ponerte algunos ejemplos aunque no sean 100% exactos los números los números 
que te expondré.
Ejemplo : invertir en un software de gestión o no.
A partir de cierto volumen de trabajo y sobretodo en ciertos sectores las empresas deben plantearse el trabajar con un sistema de 
gestión (ERP, CRM o similar).Pero no todas las empresas llevan a cabo esta inversión.
En este ejemplo vamos a suponer que NO se realiza la inversión y por tanto no se invierte en un software de gestión.
Coste de Oportunidad (NO invertir) = Valor de la Opción NO tomada (SÍ invertir) –
Valor de la Opción SÍ tomada (NO invertir)
Dado que se trata de llevar a cabo una inversión alta, vamos ahora a calcular cuantitativamente cada opción para un ciclo de 3 
años completos
Calculamos cada opción cuantitativamente
== Valor de la Opción NO tomada ==
Valor de la Opción NO tomada (SÍ invertir) = coste de adquisición e implementación del software + coste de 
capacitación al personal + costes de mantenimiento del software
+ costos de calidad (costes de prevención + costes de evaluación + costes de los fallos internos + costes de los 
fallos externos).
Costes de adquisición e implementación del software: 5.600€ (importe a puesto a modo
de ejemplo didáctico)
Costes de capacitación al personal: 0€
Costes de mantenimiento del software por dos años adicionales: 1.780€
Costes de calidad de los tres años:
prevención: 2.250€
evaluación: 1.800€
fallos internos: 3.750€
fallos externos: 8.250€
 Total costes de calidad: 16.050€
Los costes de calidad que he indicado son completamente inventados a modo de ejemplo didáctico (no he realizado ningún
estudio para llegar a esta conclusión). Obviamente estos costes dependerán del tipo de actividad que realice la organización
y el volumen de pedidos que ésta tenga.
Por lo tanto el Valor de la Opción NO tomada es:
Valor de la Opción NO tomada (SÍ invertir) = 5.600€ + 1.780€ + 16.050€ = 23.430€
== Valor de la Opción SÍ tomada ==
Valor de la Opción SÍ tomada (NO invertir) = 0 euros en inversión + costes de calidad (costes de prevención + costes de 
evaluación + costes de los fallos internos + costes de los fallos externos).
Al no trabajar con un sistema de gestión todos estos costes de calidad serán mayores a los que incurriríamos si trabajásemos
con un sistema de gestión tipo ERP, CRM.
Costes de calidad de los tres años:
 prevención: 3.375€
 evaluación: 2.700€
 fallos internos: 5.625€
 fallos externos: 12.375€
Total : 24.075€
Los costos de calidad que expuestos anteriormente los he considerado un 50% más elevado que los 
anteriores (en los que sí existía la inversión en software). Para ello me he basado en que esos 
controles y costes, al no 
existir un software de gestión, se deben hacer manualmente, de forma más rudimentaria, muy poco 
automatizada y probablemente con muchos más errores.
Valor de la Opción SÍ tomada (NO invertir) = 24.075€
Costo de Oportunidad
Y por fin, el Coste de Oportunidad:
Costo de Oportunidad (NO invertir) = Valor de la Opción NO tomada (SÍ invertir) –
Valor de la Opción SÍ tomada (NO invertir)
Costo de Oportunidad (NO invertir) = 23.430€ – 24.075€ = -645€ < 0; por tanto ⇒
decisión óptima
Si estos datos estuvieses basado en estudios reales de costes de la organización NO valdría la pena 
invertir en un software.
COSTO DEL CAPITAL: 
ASPECTOS A CONSIDERAR
• JUSTIFICACIÓN
• IDENTIFICACIÓN
• DEFINICIÓN
• MEDICIÓN
• REGISTRACIÓN
COSTO DEL CAPITAL: 
JUSTIFICACIÓN
• ESCASEZ DEL CAPITAL
• HUMANIDAD CADA VEZ MÁS EXIGENTE
• RECURSOS NATURALES CADA VEZ MÁS 
ESCASOS
• COSTO MÁS ALTO DEL AVANCE TECNO-
LÓGICO
• ECONOMÍAS CADA VEZ MÁS SENSIBLES
COSTO DEL CAPITAL: 
IDENTIFICACIÓN 1
• UBICACIÓN
– CAMPO
• DECISIONES DE INVERSIÓN
• DECISIONES DE FINANCIAMIENTO
• DECISIONES DE DISTRIBUCIÓN DE DIVI-
DENDOS
• DECISIONES DE EVALUACIÓN DEL RIESGO
• DECISIONES DE VALUACIÓN ORGANIZA-
CIONES
COSTO DEL CAPITAL: 
IDENTIFICACIÓN 2
• UBICACIÓN:
– OBJETIVOS
• MAXIMIZACIÓN UTILIDADES
• MAXIMIZACIÓN PATRIMONIO NETO
• MAXIMIZACIÓN VALOR DE MERCADO DE 
LA EMPRESA
• MAXIMIZAR VALOR ECONÓMICO 
AGREGADO
• MINIMIZAR COSTO SOCIAL
COSTO DE CAPITAL
Pasivo Activo
Financiamiento Inversiones
Costo del capital RendimientoKo < r
Costo Capital
Tasa Marginal 
Rendimiento
AAceptación Rechazo Soles
%
COSTO DEL CAPITAL: 
IDENTIFICACIÓN 3
• FUNCIÓN:
• TASA DE CORTE
• RENDIMIENTO MÍNIMO
• COSTO DE OPORTUNIDAD
• ESTÁNDAR FINANCIERO
• TASA DE COSTO ECONÓMICO
• TASA DESEADA
COSTO DEL CAPITAL: 
CONCEPTO
• “ ES LA TASA QUE MIDE EL PRECIO 
QUE EFECTIVAMENTE LE SUPONE A 
UNA APLICACIÓN O INVERSIÓN DE 
FONDOS, UTILIZANDO UNA DETER-
MINADA ESTRUCTURA DE FINAN-
CIAMIENTO “.
COSTO DEL CAPITAL: 
SIGNATURAS
• Ko = Costo del capital promedio ponde-
rado
• Ke = Costo del capital propio
• Ki = Costo del capital ajeno
COSTO DEL CAPITAL: 
Fórmulas 1
• (1) AT = CP + CA
• (2) Uo = Un + I
• Uo = Ko * AT (3)Ko = Uo / AT
• (4) I = Ki * CA Ki = I / CA
• (5) Un = Ke * CP Ke = Un / CP 
– si reemplazamos en (3) por (1) y (2)
• (6)Ko = (Un + I) / (CA + CP)
COSTO DEL CAPITAL: 
Fórmulas 2
• Si reemplazamos en (6) por (4) y (5)
• (7) Ko = ((ke*CP) + (ki*CA))/(CA + CP)
• si distribuimos en denominador en el numerador, 
obtenermos la:
• FORMULA GENERAL
– Ko = Ke * (CP/AT)+ Ki * (CA/AT) 
COSTO DEL CAPITAL: 
MEDICIÓN 1
• ENTORNO:
– POSIBILIDADES DE INVERSIÓN
• CON LIMITACIONES
• SIN LIMITACIONES
– MERCADOS FINANCIEROS
• PERFECTOS
• IMPERFECTOS
– CON MAYOR DESARROLLO
– MENOS DESARROLLADOS
COSTO DEL CAPITAL: 
MEDICIÓN 2
• ENTORNO:
– SISTEMAS DE INFORMACIÓN
• CERTEZA
• RIESGO
• INCERTIDUMBRE
– CARACTERÍSTICAS CONTINGENTES
• HORIZONTE DE PLANEAMIENTO
• CONPORTAMIENTO ORGANIZACIONAL
• FORMAS ESPECÍFICAS QUE REVISTAN 
LAS VARIABLES
COSTO DEL CAPITAL: 
MEDICIÓN 3
• PROPIAMENTE DICHA
– CAPITAL PROPIO
• EXTERNO
• INTERNO
– CAPITAL AJENO
– USO COMBINADO DE FUENTES DE 
FINANCIAMIENTO
– FUENTES SUBSIDIADAS
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 1.- Ganancia empresas comparables
– 2.- Modelos de valuación
– 3.- Adicional por riesgo
– 4.- Modelo valoración de títulos (CAPM)
– 5.- Teoría valoración por arbitraje (APT)
– 6.- Costo de oportunidad
– 7.- Flujo de fondos descontados
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 1.- Ganancia empresas comparables
– Consiste en definir el costo del capital propio por compa-
ración con el de empresas semilares, calculando la tasa de 
rendimiento del capital propio contable.
– PROBLEMA: Definir empresas comparables y que la de-
terminación por valores contables no es compatible con 
criterio de la administración financiera de operar con va-
lores de mercado.
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 2.- Modelos de valuación
• Define el costo del capital como la tasa de descuento 
que iguala los flujos de fondos esperados con el pre-
cio actual
– Dn/(1+ko)^n = Precio
– Ke = ( Dn/Precio ) + g g= tasa de crecimiento
• PROBLEMAS: La tasa g es difícil de determinarse, 
además dificultad para determinar dividendosfutu-
ros
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 3.- Adicional por riesgo
• Consiste en tomar la tasa de rendimiento de un bono 
de largo plazo con vencimiento similar al estimado 
para la organización y adicionarle un % que repre-
sente el riesgo propio de la empresa.
• PROBLEMAS: es difícil determinar el riesgo propio 
de la empresa y separarlo del riesgo del mercado.
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 4.- Modelo valoración de títulos (CAPM)
• Supone que los precios están determinados por in-
versores con carteras bien diferenciadas y que el 
riesgo que interesa es el del mercado, medido a tra-
vés de “ß”. ß es el riesgo del mercado que es la sen-
sibilidad de una acción a cambios del mercado.
• Se define el costo del capital como el rendimiento 
esperado del título “X”, en un período determinado.
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 4.- Modelo valoración de títulos (CAPM)
• VENTAJAS: Es un enfoque objetivo s/mercado en 
el cual tomamos empresas similar o la misma y se 
estudia comportamiento con respecto a las demás 
del mercado.
• PROBLEMAS: Sirve para empresas que cotizan en 
Bolsa y hay que tener un buen conocimiento de las 
evoluciones futuras del mercado
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 5.- Teoría valoración por arbitraje (APT)
• Es una generalización del CAPM . El costo del capi-
tal se determina por el valor de la acción en el mer-
cado más un adicional por los riesgos asociados con 
la misma.
• Ri = to+(sfn+afn) donde
– Ri = ren dimiento esperado del título
– to= tasa sin riesgo
– sfn= sensibilidad al factor n
– afn= adicional por riesgo del factor n
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 5.- Teoría valoración por arbitraje (APT)
• VENTAJA: toma valor objetivo del mercado y le 
adiciona todos los factores que incidan en incremen-
tar el riesgo.
• PROBLEMAS: sigue siendo un método para empre-
sas que cotizan en Bolsa. Dificultad para estimar el 
riesgo sistemático.
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 6.- Costo de oportunidad
• Cuando las empresas no cotizan en Bolsa, la alter-
nativa es evaluar para el inversor el costo adicional 
de otras inversiones alternativas y comparar sus 
riesgos y hacerlo incidir sobre la fórmula
• PROBLEMAS: determinar el costo de oportunida-
des alternativas y la comparación de los riesgos. 
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 7.- Flujo de Fondos Descontado
• Tasa explícita (s/Joel Dean)
•  Ingresos =  Egresos Buscamos Ko que iguala
– (1+Ko)^n (1+Ko)^n
• Tasa implícita
• Usar el costo de la inversión que se rechaza, como 
costo de oportunidad s/ Philippatos
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
EXTERNO
• TÉCNICAS PARA SU DETERMINACIÓN
– 7.- Flujo de Fondos Descontado
• ASPECTOS A CONSIDERAR:
– análisis de sensibilidad
– nivel de las tasas de interés
– cambios inesperados en el mercado
– cambios inesperados en la conducción organización
– variaciones en los resultados según el tiempo considerado
COSTO DEL CAPITAL PROPIO 
INTERNO
• 1.- CRITERIO DEL USO PERSONAL: es el costo de 
oportunidad para el inversor.
• 2.- CRITERIO DEL RENDIMIENTO EXTERNO: se basa 
en las posibilidades de inversión que tiene la organización
• ASPECTOS A CONSIDERAR:
– El efecto impositivo en cabeza sociedad o del inversor
– La existencia de una tasa mínima de utilidades a exigir
– La ponderación del riesgo de la organización o del 
inversor
41
METODOLOGIA DE CALCULO
Intuitivo
(nos falta estadística y tiempo)
Práctico
(queremos trabajar en el laboratorio)
42
Indice
• Medidas.
• Unidades.
• Cálculo de incertidumbres.
• Presentación de resultados.
• Otras herramientas.
• Ejercicios 
Medir
Comparar una cantidad con su
respectiva unidad, con el fin de
ave r i gu a r cua n tas veces la
segunda está contenida en la
primera.
Partes de una medida I
Si medimos el largo de una mesa ...
125,434
El resultado podría ser ?
125,434 cm
125,434 ± 17,287 cm
125 ± 17 cm
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor 
±incertidumbre
P
resen
tació
nunidades
Indice
• Medidas.
• Unidades.
• Cálculo de incertidumbres.
• Presentación de resultados.
• Otras herramientas.
• Ejercicios 
47
Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
DX Xreal
DX
48
Error e incertidumbre II
Xmedido
DX Xreal
DX
Error = Xreal –Xmedido
Xreal (Xmedido -DX, Xmedido +DX)
49
Nivel de Confianza
 DX depende de lo seguros que queramos estar
• Nivel de confianza = fracción de las veces que 
quiero acertar. 99%, 95%...
Xmedido
DX Xreal
DX
50
Tipos de medidas
• Medidas directas
• Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar 
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2 L1 
L2 
51
Tipos de errores
• Medidas directas
• Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
Errores aleatorios I
• Factores que perturban nuestra medida.
• Suma de muchas causas 
• Tienden a ser simétricos.
• Se compensan parcialmente.
• Repetir las medidas.
• Estadística
medidas
Xreal
Errores aleatorios II
• Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
• Tienden a curvas típicas
Xreal
x x
x
xx x
x
x
x
x
x x
Indice
• Medidas.
• Unidades.
• Cálculo de incertidumbres.
• Presentación de resultados.
• Otros tipos de medidas.
• Ejercicios 
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor 
±incertidumbre
P
resen
tació
nunidades
56
Tipos de errores
• Medidas directas
• Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
Cómo estimar el resultado
• Frente a errores sistemáticos.
• Frente a errores aleatorios.
• Medir correctamente
• Calibrar los aparatos
• Se compensan repetir varias veces la medida
• La media es el valor más probable



n
i
i
n
X
X
1
Ejemplo 
• Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kgM 8,72
5
)7372747273(

++++

59
Incertidumbre
• Incertidumbre: Estimación del error no 
corregible
1. Incertidumbre factores sistemáticos: ES1,ES2...
Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios: EA
1. Absoluta: DX
2. Relativa:
 Se suele descomponer para medidas directas en:
 Se suele expresar como:
X r
X
E
X

D
  % 100X r
X
E en
X

D
 
60
1. Incertidumbre de precisión Es
• En casos sencillos la estimaremos como:
La mitad de la (una) división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
Incertidumbre en medidas directas
 A veces depende del experimentador
 No es fácil definir su intervalo de confianza
61
• Para n medidas
n
n
n
tEA
1
1
-
-

 s = Desviación 
típica de las 
medidas
Desviación típica 
de la media
Factor de cobertura
t de Student
Incertidumbre en medidas directas
2. Incertidumbre Aleatoria EA
62
4
Xreal
3 5
¿Medir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿Medir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?
Incertidumbre en medidas directas
 S: dispersión de los datos
2. Incertidumbre Aleatoria EA
(  (  ( 
3
2
3
543
222
2 
-+-+-

xxx
s
4X
63
• Es la distancia del valor real a la que estará más 
probablemente un nuevo dato
 Tiene las mismas unidades que el resultado
Incertidumbre en medidas directas
 S: Propiedades
2. Incertidumbre Aleatoria EA
ctes
n
 

64
• SI hicieramos muchos grupos de n medidas...
• La media es más precisa que cualquier dato, los errores 
aleatorios se compensan
• Pero despacio ....
• Los errores de precisiónno se compensan
Incertidumbre en medidas directas
 Dispersión de la media
2. Incertidumbre Aleatoria EA
n
s
s
X

65
• Combinaremos las incertidumbres en 
cuadratura:
Incertidumbre en medidas directas
3. Incertidumbre Total
 Propiedades
22
SA EEX +D
ASASA
SASASA
EEEEE
EEEEEE
+
++
22
22
,
,
66
Resumen medidas directas
22
SAfinal EEX +D
n
n
n
tEA
1
1
-
-


67
Tipos de errores
• Medidas directas
• Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
68
• Dependen de otras mediantes expresiones 
matemáticas
Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5  1 cm  A  25 cm2 , DA ¿?
Incertidumbre en medidas indirectas
1. Medidas indirectas
 Recordando derivadas...
L
dL
dA
A
L
A
LdL
dA
D





D
D
D
D

0
lim
69
Derivada parcial de Y respecto a X1
Incertidumbre en medidas indirectas
4. Incertidumbres para varias variables
( ,, 21 XXfY 
+





D


+





D


D
2
2
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
Y
70
Indice
• Medidas.
• Unidades.
• Cálculo de incertidumbres.
• Presentación de resultados.
– Redondeos.
– Comparación de resultados.
• Otras herramientas.
• Ejercicios 
71
1. NO tengo tanta precisión en Dr como pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de unidades...Por 
qué doy diezmilésimas en r ?
Presentación de resultados
• Los resultados se presentan redondeados
?0335,14377,3
3cm
g
r ?0,14377,3 3cm
g
r
3
)0,14,3(
cm
g
r
72
Cifras significativas
• Cifras significativas 
– Todas salvo los ceros a la izquierda
– Sobreviven a un cambio de notación
• Ejemplos:
 c.s. 3 0,670 c.s 2 0,67
c.s. 3 670 c.s. 2 67
s. c. 3 10 123 c.s. 3 0,123
c.s. 3 10 123 c.s. 3 123
3-
3




73
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
 La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
 El valor se expresa con tantos decimales como la 
incertidumbre.
 Valor e incertidumbre se expresan con las mismas 
unidades y potencia de 10.
 Redondeamos al número más cercano
 Intentamos que el valor sea un número sencillo, 
normalmente entre 1 y 10
74
Ejemplos de Redondeo I
( 1,2564 ± 0,1 ) m  ( 1,3 ± 0,1 ) m 
( 1,2438 ± 0,168 ) m  ( 1,24 ± 0,17) m 
( 1,52 108 ± 21,68 106 ) km  (1,52 ± 0,22) 108 km 
(1,52 ± 0,22) 1011 m 
( 60506079 ± 89451 ) m  ( 605,06 ± 0,89) 105 m 
( 6,0506 ± 0,0089) 107 m 
75
Indice
• Medidas.
• Unidades.
• Cálculo de incertidumbres.
• Presentación de resultados.
– Redondeos.
– Comparación de resultados.
• Otros tipos de medidas.
• Ejercicios 
76
Comparación de resultados
• Compatibilidad de medidas
 Precisión de medidas:
X1
X2
Xreal
X
XD

77
Error relativo
• Muy útil en comentarios
• Muy útil para estimar si los resultados son coherentes
• Definición:
• Adimensional
• 2 cifras significativas
• Ejemplo:
100 ± 25 → δ = 0.25 → incertidumbre del 25%
X
XD

78
Indice
• Medidas.
• Unidades.
• Cálculo de incertidumbres.
• Presentación de resultados / comparación.
• Otras herramientas.
– Media ponderada.
– Interpolación.
– Herramientas de cálculo
– Regresión lineal.
• Ejercicios 
79
Media ponderada I
• Varias medidas
• Diferentes instrumentos y/o diferentes métodos
• Errores aleatorios
22
11
XX
XX
D
D (  ( 
(  ( 22
2
1
2
2
2
2
1
1
11
XX
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D

80
Media ponderada II
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm 
¿ Cuanto mide ?
(  ( 
(  ( 22
2
1
2
2
2
2
1
1
11
XX
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D

(  ( 22
2
1
11
1
XX
Y
D
+
D
D
81
Media ponderada III
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm 
L = (98,0 ± 4,5) cm
 Es un valor intermedio
 Más cerca del más preciso
 Incertidumbre reducida
82
Otras herramientas
• Media ponderada
• Interpolación lineal
• Herramientas de cálculo
• Regresión lineal
83
Interpolación lineal I
• Objetivo: obtener la 
dependencia lineal 
entre dos puntos de 
valores conocidos.
 Método:
 Ecuación de la recta que 
pasa por dos puntos
 Incertidumbre asociada
84
Otras herramientas
• Media ponderada
• Interpolación lineal
• Herramientas de cálculo:
– Calculadora
– Hojas de calculo: Excel, OpenOffice, etc.
• Regresión lineal
85
Calculadoras
• Usar las memorias.
• Modo estadístico.
• Media.
• Dispersión.
• Regresión
86
Otras herramientas
• Media ponderada
• Regresión lineal
• Interpolación lineal
• Herramientas de cálculo
87
• Unidades en los ejes 
• Puntos CON incertidumbres
• NO se unen los puntos
• Representación de la recta ajustada
Gráficas I
88I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1 2 3 4 5
0.00
Gráficas II
89
• Objetivo: Suponiendo que dos variables siguen 
una relación lineal: obtener parámetros de la 
recta m y c que mejor la representan, y sus 
incertidumbres Δm y Δc
• Hipótesis:
– Fijamos una variable y medimos otra  “x” sin 
incertidumbre, las incertidumbres de las “y” todas iguales.
– ¿ Cuál es la mejor recta ?  Mínimos cuadrados
Regresión Lineal III
90I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1 2 3 4 5
m
0.00
c
y = m·x + c
Regresión Lineal II: gráficas
91
• Hipótesis:
– Existe una variable independiente (podemos darle los valores 
que queramos), X y otra dependiente Y cuyo valor nos da el 
experimento.
– X sin incertidumbre, las incertidumbres de Y son iguales en 
todas las medidas.
– La relación entre X e Y es lineal o se puede hacer lineal 
manipulando las fórmulas.
– ¿ Cuál es la mejor recta ?  Mínimos cuadrados
Regresión Lineal II
92
• Mínimos cuadrados:
– Para cada punto calculamos la distancia del punto a la recta en la 
dirección del eje y  di
– Sumamos las distancias al cuadrado
– La mejor recta es la que minimiza la suma S
Regresión Lineal III
( )( cxmyd iii +-
( 

+-
n
i
ii
n
i
i cxmydS
1
2
1
2 )(
93I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1 2 3 4 5
m
0.00
c
y = m·x + c
Regresión Lineal : IV
d5
d2
94
• ¿ Cómo minimizo la suma ?:
– S depende de la pendiente y c.
– En el cálculo en varias variables se verá que para que S sea 
mínimo es necesario que:
– Operando obtenemos las fórmulas del guión
Regresión Lineal V
( cmSS ,
00 





c
S
m
S
95
• Pasos:
– Identificar la variable independiente y la dependiente.
– Linealizar la fórmula.
– Transformar los datos
– Aplicar las fórmulas y calcular m y c
– Calcular las incertidumbres
– Comprobar el coeficiente de correlación r
Regresión Lineal VI
96
Ejemplo
Un coche viaja de Arequipa a Atico, cada cierto tiempo el piloto 
mira el cuenta kilómetros y apunta la lectura, obteniendo la 
siguiente tabla. Calcúlese la velocidad media.
Tiempo (min) Posición
00 514
20 550
40 590
60 627
80 670
97
Resolución
T (min) Pos T**2 T*Pos d d^2
0 514 0 514 1.6 2.56
20 550 400 550 -1.3 1.69
40 590 1600 590 -0.2 0.04
60 627 3600 627 -2.1 4.41
80 670 6400 670 2 4
200 2951 12000 125820 0 12.7
40 590.2 2400