SEMANA 3

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RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y CONVERSIÓN DE TASAS: NOMINAL, EFECTIVA, SIMPLE, COMPUESTA
INGENIERÍA ECONÓMICA – SEMANA 3
Mg. Ing. Víctor Rodríguez Gallegos 
LOGRO DE LA UNIDAD
Al finalizar la unidad el estudiante interpreta los conceptos financieros básicos y el valor de dinero en el tiempo que lo lleva a tomar decisiones de inversión. 
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 
Determinar el método correcto para realizar cálculos de equivalencia para diferentes periodos de pago y de capitalización.
Considerar tasas de interés que varían con el tiempo cuando se llevan a cabo cálculos de equivalencia. 
Hacer cálculos de equivalencia para periodos de pago iguales o mayores que el periodo de capitalización
SIMBOLOGÍA A EMPLEAR
I	= Interés acumulado o ganado en “n” periodos. (en moneda)
P = Valor presente. (Por lo general en el momento hoy). Valor que ocurre una sola vez en el tiempo.
F = Valor futuro. (Valor del dinero en un tiempo futuro). Valor que ocurre una sola vez en el tiempo.
n = Número de períodos (meses, años, etc.).
i = Tasa de interés por período (porcentaje por mes, porcentaje por año, etc.).
R = Serie uniforme y consecutiva de dinero en varios periodos. Ocurre en cada período con un mismo valor.
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Año 1
Año 5
Tiempo
Un diagrama de flujo de caja es simplemente una representación gráfica de un flujo de caja en una escala de tiempo. La fecha 0 es considerada el presente y la fecha 1 es el final del período 1.
DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA
5
3
2
1
0
A fin, de poder representar las ingresos y egresos en el flujo de caja; cuando la dirección de las flechas en el flujo de caja es hacia arriba indicará un flujo de caja positivo (ingresos, beneficios o ganancias), si la flecha indica hacia abajo el flujo de caja es negativo (gastos, costos, pagos, perdidas).
Ingresos, utilidades o beneficios
Egresos, pérdidas o costos
COMPARACIÓN ENTRE LA DURACIÓN DEL PERIODO DE PAGO Y DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN (PP VERSUS PC)
En los cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalización de los intereses. 
La duración del PC es de un trimestre, mientras que la duración del PP es de un mes.
Cuando solamente existen pagos únicos, no hay periodo de pago PP definido en sí por los flujos de efectivo. La duración del PP, por lo tanto, queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de interés
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
El método que se emplea requiere de cálculos mediante la fórmula para el factor, ya que la tasa de interés efectiva que resulta no constituye un entero. Se puede utilizar dos métodos:
Método 1: Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de composición PC, y se iguala n al número de periodos de composición entre P y F. Las relaciones para calcular P y F son:
EJEMPLO: 
Suponga que la tasa establecida de una tarjeta de crédito es una tasa efectiva de 15% anual, compuesto mensualmente. En este caso, PC es igual a un mes. 
Para calcular P o F a lo largo de un periodo de dos años, se calcula la tasa mensual efectiva de 15%/12 = 1.25% y el total de meses de 2(12) = 24. 
Así, los valores 1.25% y 24 se utilizan para el cálculo de los factores P/F y F/P.
Se puede utilizar cualquier periodo para determinar la tasa de interés efectiva; sin embargo, el PC constituye el mejor fundamento
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RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
Método 2: Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la tasa nominal, y sea n igual al número total de periodos utilizando el mismo periodo. 
Las fórmulas de P y F son las mismas, salvo que el término i% efectiva por t se sustituye por la tasa de interés. 
En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa de interés efectiva durante un año y los valores n son:
EJEMPLO: 
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RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Cuando se incluyen series gradiente o uniformes en la sucesión de flujo de efectivo, el procedimiento es esencialmente el mismo que el del método 2 antes expuesto, salvo que ahora PP queda definido por la frecuencia de los flujos de efectivo. 
Por ejemplo, si los flujos de efectivo son trimestrales, el PP es de un trimestre y, por consiguiente, se necesita una tasa de interés efectiva trimestral. El valor n es el número total de trimestres. 
Ejemplos de valores de n e i, donde PP = PC o PP > PC 
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EJEMPLO: 
El Scott and White Health Plan (SWHP) compró un sistema robotizado de prescripción de recetas médicas, para atender con mayor rapidez y exactitud al paciente, con medicación estable en forma de píldoras. Los pacientes tienen problemas crónicos de salud, como diabetes, tiroides y presión alta. 
Suponga que el sistema de alto volumen tiene un costo de $3 millones de instalación y un costo estimado de $200 000 anuales para materiales, operación, personal y mantenimiento. 
La vida esperada es de 10 años. Un ingeniero biomédico del SWHP desea calcular el total de ingresos que se requieren por cada periodo semestral para recuperar la inversión, los intereses y los costos anuales. Determine este valor semestral A, si los fondos están evaluados a 8% anual utilizando dos diferentes periodos de composición: 
8% anual, compuesto semestralmente. 
2. 8% anual, compuesto mensualmente.
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Solución: 
Durante los 20 periodos semestrales, los costos anuales se presentan cada dos periodos (un periodo sí y otro no); se busca la serie de recuperación de capital para cada periodo de 6 meses. Este esquema vuelve algo engorrosa la solución a mano si se utiliza el factor P/F, en lugar del factor P/A, para determinar P en el caso de los 10 costos anuales de $200 000. 
Solución (tasa 1): Se resumen los pasos para calcular el valor semestral A: PP = PC a 6 meses; se calcula la tasa de interés efectiva por cada periodo semestral
Tasa de interés efectiva semestral i = 8%/2 = 4% por 6 meses, con un periodo de composición semestral. Número de periodos semestrales n = 2(10) = 20.
Se calcula P, utilizando el factor P/F para n = 2, 4,..., 20 periodos ya que los costos son anuales, no semestrales. Después se utiliza el factor A/P a lo largo de los 20 periodos para determinar el valor semestral de A.
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Solución: 
Conclusión: se requiere un ingreso de $318 778 cada 6 meses para cubrir los costos y un interés de 8% anual, con periodo de composición semestral.
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Solución: 
Solución (tasa 2): El PP es semestral; en cambio, el PC ahora es mensual; por lo tanto, PP > PC. Para calcular la tasa semestral efectiva, la tasa de interés efectiva, ecuación [4.8], se aplica con r = 4% y m = 6 meses por cada periodo semestral
Ahora se requieren $320 064, es decir, $1 286 más cada 6 meses para cubrir la capitalización más frecuente de 8% de interés anual. Observe que todos los factores P/F y A/P deben calcularse con las fórmulas de los factores al 4.067%.
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RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP < PC
Si un banco le cobra a una persona intereses el día 15 del mes en sus pagos de la tarjeta de crédito, y si la persona hace el pago completo el día primero, ¿reduce la institución financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado? La respuesta común es no. Sin embargo, si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir un préstamo bancario de $10 millones, con un interés compuesto trimestral, el ejecutivo de finanzas de la empresa probablemente insistiría en que el banco redujera la cantidad de intereses, basándose en el pago anticipado. Éste es un ejemplo de PP < PC
EJEMPLO: 
Rob es el ingeniero de coordinación de obra en Alcoa Aluminum, donde se encuentra una mina en renovación, en la cual un contratista local ha instalado un nuevo equipo de refinamiento de materiales. Rob desarrolló el diagrama de flujo de efectivo en la figura1 en unidades de $1 000 desde la perspectiva del proyecto. El diagrama incluye los pagos al contratista que Rob autorizó para el año en curso y los anticipos aprobados por las oficinas centrales de Alcoa. Rob sabe que la tasa de interés sobre proyectos de campo de equipo como éstos es de 12% anual, compuesto trimestralmente, y que Alcoa no va a insistir en la capitalización interperiódica de los intereses. ¿Se encontrarán o no las finanzas del proyecto de Rob en números “rojos” al final del año? ¿Por cuánto?
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Solución: 
Sin considerar algún interés entre periodos, la figura 2 refleja el traslado de los flujos de efectivo. El valor futuro después de 4 trimestres requiere F a una tasa de interés efectiva trimestral de 12%/4 = 3%. La figura 2 muestra todos los flujos de efectivo negativos (pagos al contratista) trasladados al final del trimestre respectivo, y todos los flujos de efectivo positivos (ingresos de las oficinas centrales) trasladados al principio del trimestre respectivo. Calcule el valor de F al 3%.
Figura 1
Figura 2
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Solución: 
Conclusión: Rob puede concluir que las finanzas del proyecto en la obra se encontrarán en números rojos por alrededor de $357 600 al final del año.
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CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL A TASA EFECTIVA
m  Número de capitalizaciones
n  plazodela tasa efectiva en días periodo capitalizable en días
Ejemplos
1. Convertir una TNA de 12.5% capitalizable bimestralmente en una TET.
90
60
12.5%
6


TET 	1 
1  3.141219965%




Con la tasa nominal anual
Calcule el monto compuesto devengado en 30 meses por una inversión de
$ 32950 depositada con una TNA del 12.5% capitalizable bimestralmente.
Con la tasa efectiva trimestral
30
6

12.5%  2
S  32950 1



S  $ 44892.94
30
S  32950 1 3.141219965 3
S  $ 44892.94
s  p 1 i n

j  n
s  p 1


m 
¿PERO PARA QUÉ NOS SIRVE ESTA TASA OBTENIDA?
¿Qué tasa efectiva debe imponerse a un capital de S/. 9565.50, depositado en una entidad financiera durante 15 meses con una TNA de 9% capitalizable semestralmente?
Calcule la TEC que producirá una 
TNC	de	5%	con	capitalización
mensual.
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DE TASA EFECTIVA A TASA EFECTIVA (T. EQUIVALENTE)
i	 1 i n	1
 	plazot.equiv.endías 	 plazodetasaefectivaendías
i  Tasaequivalente
n 
Ejemplos
1. Convertir una TEA de 9.85% en una TEB.
60
TEB  1  9.85%360 1  1.578082468%
Sumarle1acadaunodelastasas eigualarlos :
1 TEA  1 TEB
Potenciarlos deacuerdoalaunidad mayor :
1 TEA1  1 TEB6
Re emplazamoslatasa del dato :
1 9.85%1  1 TEB6 Operamos :
TEB  1.578082468
EN ESTE CASO DE CONVERSIÓN TAMBIÉN PODEMOS UTILIZAR EL SIGUIENTE MÉTODO:
2. Convertir una TEM de 0.85% en una TET.
90
TET  1  0.55%30 1  1.659091638%
2do método
1 TEM   1 TET 
1 TEM 3  1 TET 1
1 0.55%3  1 TEB1
TEB  1.659091638%
3. Un préstamo de $ 85000 devenga una TEA de 18.09%, si el prestamista desea trabajar con una TEC, encuentre el porcentaje de esta tasa.
120
TEC  1  18.09%360 1  5.699039507%
2do método
1 TEA  1 TEC 
1 TEA  1 TEC 3
118.09%  1 TEC 3 TEB  5.699039507%
Ejercicios propuestos
Convertir una TNT de 3.01% capitalizable mensualmente en una TEA. R=12.72713785.
Calcule la TES que originará una TNC de 2.75% con capitalización bimestral. R=4.181978711%
Una persona depositó $ 15000 con una TNM de 0.75% capitalizable bimestralmente. Calcule la TEA que originará el mismo interés que la TNM. R=9.344326394%
Convertir una TEQ de 0.44% en una TET. R=2.669210931%
Convertir una TEA de 8.04% en una TEB. R=1.297197259%
Un préstamo de 20000 um, devenga una TEB de 2.55%, si este préstamo se utilizó durante 125 días, ¿qué tasa efectiva debe aplicarse? R=5.385930582%