Guia Matemática Fraccion generatriz

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LICEO NACIONAL DE FORMACIÓN CULTURAL 
PARA LAS ARTES ESTÍLITA OROZCO 
 
GUÍA DE EJERCICIOS Y ACTIVIDADES 
REVISIÓN DE MATEMÁTICAS 3er AÑO 
PROFESOR ÁNGEL CHACÓN 
 
EJERCICIOS RESUELTOS Y EXPLICADOS 
 
FRACCIÓN GENERATIZ 
Los números reales no enteros pueden expresarse de forma decimal (83,356) o de forma de una 
fracción 
5
3
, pudiéndose cambiar o transformar de una forma a la otra. 
Un número decimal puede ser de tres tipos: exacto, periódico puro y periódico mixto 
a) Decimal exacto: 5,2356 (no tiene período) 
b) Decimal periódico puro: 1, 35̂ (todos los decimales son período) 
c) Decimal periódico mixto: 21,5475̂ (tiene anteperíodo “54” y período “75”) 
 
Para transformar un número fraccionario en uno decimal, simplemente se resuelve la división, 
numerador entre denominador. Ejemplo 
Transformar las siguientes fracciones en números decimales: 
𝑎) 
4
16
; 𝑏)
5
3
 
Solución: 
a) Se divide el numerador (4) entre el denominador (16) 
4 16 
40 0,25 Por lo tanto 
 80 
 0 
 4
16
= 0,25 
 
b) Se divide el numerador (5) entre el denominador (3) 
5 3 
20 
 20 
 20 
1,666 Se forma un ciclo en donde el resto siempre será “2”, 
Como el 6 se repite constantemente es el período. 
Por lo tanto 
 5
3
= 1,66666 = 1, 6̂ 
 
Por otro lado, para transformar un número decimal en fracción se resuelve alguno de los siguientes 
procedimientos, dependiendo el tipo de decimal: 
a) Decimal exacto: 5,2356 (no tiene período) 
Se copia en la parte del numerador toda la cantidad sin coma, en la parte del denominador se coloca 
el número uno seguido por ceros (tantos como la cantidad de decimales existen), el número a 
transformar “5,2356” tiene 4 decimales, por lo tanto se colocará “10000” 
5,2356 =
52356
10000
 {𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑} 
5,2356 =
52356
10000
=
26178
5000
=
13089
2500
 
b) Decimal periódico puro: 1, 35̂ (todos los decimales son período) 
Se copia en la parte del numerador toda la cantidad sin coma y se le resta la parte entera, y en el 
denominador se colocan tantos “9” como cantidades tenga el período 
1, 35̂ =
135 − 1
99
=
134
99
 
 
c) Decimal periódico mixto: 21,51475̂ (tiene anteperíodo “54” y período “75”) 
Se copia en la parte del numerador toda la cantidad sin coma y se le resta toda la cantidad que está 
antes del período, y en el denominador se colocan tantos “9” como cantidades tenga el período 
seguidos por tantos “0” como cantidades tenga el anteperíodo. 
 
21,51475̂ {21 parte entera; 514 anteperíodo (3 cifras); 75 período (2 cifras)} 
 
21,51475̂ =
2151475 − 21514
99000
=
2129961
99000
{𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑐𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎} =
709987
33000
 
 
RADICACIÓN 
√𝒂𝒃
𝒏
 𝒆𝒏 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 "n" 𝒆𝒔 𝒆𝒍 í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒂í𝒛 𝒚 "𝒂𝒃" 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒔𝒖𝒃𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍 
 
1. Extracción de elementos de una raíz con índice n. 
 Para extraer un elemento de la raíz, el exponente de la cantidad subradical debe ser igual o 
mayor al índice de la raíz. Se divide el exponente entre el índice, el resultado de la división representa 
al exponente con el que sale el elemento y el residuo de la división será el exponente con el que queda 
el elemento dentro de la raíz. En caso de que la división sea exacta, el elemento sale completo. 
 Si dentro de la raíz hay algún número grande, este se descompone en sus números primos con 
sus respectivos exponentes y se realiza el procedimiento explicado anteriormente. 
Ejemplo: Extraiga los elementos que se puedan de las siguientes raíces: 
𝟏) √
𝟒𝟎𝟓𝟎𝟎𝒂𝟓𝒃𝟕
𝒄𝟑𝒅𝟒
𝟑
 
Primero se descompone el número 40500 en sus primos, de la siguiente manera: 
40500 
20250 
10125 
3375 
1125 
375 
125 
25 
5 
1 
2 {mitad} 
2 
3 {tercera} 
3 
3 
3 
5 {quinta} 
5 
5 
Descomposición: se coloca una vez cada número primos obtenido y 
como exponente se pone el número de veces que se repite cada uno. 
2 {dos veces} 3 {cuatro veces} 5{tres veces} 
 
𝟒𝟎𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟒 ∙ 𝟓𝟑 
√
𝟒𝟎𝟓𝟎𝟎𝒂𝟓𝒃𝟕
𝒄𝟑𝒅𝟒
𝟑
= √
𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟒 ∙ 𝟓𝟑𝒂𝟓𝒃𝟕
𝒄𝟑𝒅𝟒
𝟑
 
 Los exponentes mayores o iguales al índice dentro de la raíz son: {3, 4, 5 y 7} 
 Cada uno de estos se dividen entre el índice de la raíz {3} 
3 3 4 3 5 3 7 3 
0 1 1 1 2 1 1 2 
 
El divisor siempre es el mismo para todas las divisiones {el índice de la raíz que en este caso es 3} 
Se resuelve la división sin decimales, el número rojo representa el resultado de la división y será el 
exponente con el que sale el elemento correspondiente. Los números azules representan los residuos 
de las divisiones y corresponden al exponente con el cual quedará el elemento dentro de la raíz: 
𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟒 ∙ 𝟓𝟑𝒂𝟓𝒃𝟕
𝒄𝟑𝒅𝟒
 
22: no sale porque su exponente “2” es menor al índice 
53 y c3: salen una vez y no quedan dentro de la raíz 
 
34 y d4: salen una vez y quedan una vez en la raíz 
 
 a5: sale una vez y queda dos veces en la raíz 
 
b7: sale dos veces y queda una vez en la raíz 
 
√
𝟒𝟎𝟓𝟎𝟎𝒂𝟓𝒃𝟕
𝒄𝟑𝒅𝟒
𝟑
= √
𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟒 ∙ 𝟓𝟑𝒂𝟓𝒃𝟕
𝒄𝟑𝒅𝟒
𝟑
=
𝟑𝟏 ∙ 𝟓𝟏𝒂𝟏𝒃𝟐
𝒄𝟏𝒅𝟏
√
𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟏𝒂𝟐𝒃𝟏
𝒅𝟏
𝟑
 
Los elementos con exponente “1” no es necesario colocar el número, se sobreentiende. 
Los valores numéricos se resuelven las potencias y luego las multiplicaciones 
𝟑𝟏 ∙ 𝟓𝟏 = 𝟑 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟓 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟏 = 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟐 
√
𝟒𝟎𝟓𝟎𝟎𝒂𝟓𝒃𝟕
𝒄𝟑𝒅𝟒
𝟑
=
𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐
𝒄𝒅
√
𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃
𝒅
𝟑
 
 
𝟐) √
𝟖𝟐𝟔𝟖𝟕𝟓𝒂𝟒𝒙𝟏𝟏
𝒚𝟔𝒛𝟓
𝟒
 
Primero se descompone el número 826875 en sus primos, de la siguiente manera: 
826875 
275625 
3 {tercera} 
3 
3 {tres veces} 5 {cuatro veces} 7{dos veces} 
 
3 3 
0 1 
4 3 
1 1 
5 3 
2 1 
7 3 
1 2 
91875 
30625 
6125 
1225 
245 
49 
7 
1 
3 
5 {quinta} 
5 
5 
5 
7 {séptima} 
7 
𝟖𝟐𝟔𝟖𝟕𝟓 = 𝟑𝟑 ∙ 𝟓𝟒 ∙ 𝟕𝟐 
 
√
𝟖𝟐𝟔𝟖𝟕𝟓𝒂𝟒𝒙𝟏𝟏
𝒚𝟔𝒛𝟓
𝟒
= √
𝟑𝟑 ∙ 𝟓𝟒 ∙ 𝟕𝟐𝒂𝟒𝒙𝟏𝟏
𝒚𝟔𝒛𝟓
𝟒
 
 Los exponentes mayores o iguales al índice dentro de la raíz son: {4, 5, 6 y 11} 
 Cada uno de estos se dividen entre el índice de la raíz {4} 
 
4 4 5 5 6 4 11 4 
0 1 1 1 2 1 3 2 
 
√
𝟖𝟐𝟔𝟖𝟕𝟓𝒂𝟒𝒙𝟏𝟏
𝒚𝟔𝒛𝟓
𝟒
= √
𝟑𝟑 ∙ 𝟓𝟒 ∙ 𝟕𝟐𝒂𝟒𝒙𝟏𝟏
𝒚𝟔𝒛𝟓
𝟒
=
𝟓𝟏𝒂𝟏𝒙𝟐
𝒚𝟏𝒛𝟏
√
𝟑𝟑 ∙ 𝟕𝟐𝒙𝟑
𝒚𝟐𝒛𝟏
𝟒
 
 
Los elementos con exponente “1” no es necesario colocar el número, se sobreentiende. 
Los valores numéricos se resuelven las potencias y luego las multiplicaciones 
𝟓𝟏 = 𝟓 𝟑𝟑 ∙ 𝟕𝟐 = 𝟐𝟕 ∙ 𝟒𝟗 = 𝟏𝟑𝟐𝟑 
√
𝟖𝟐𝟔𝟖𝟕𝟓𝒂𝟒𝒙𝟏𝟏
𝒚𝟔𝒛𝟓
𝟒
=
𝟓𝒂𝒙𝟐
𝒚𝒛
√
𝟏𝟑𝟐𝟑𝒙𝟑
𝒚𝟐𝒛
𝟒
 
 
2. Sumas y restas de radicales. 
 Para poder sumar o restar radicales entre sí, estos deben ser exactamente iguales, tanto los 
índices como las cantidades subradicales, Se unifican en una sola raíz sumando o restando entre sí los 
coeficientes {el número que multiplica a la raíz} 
Ejemplo: resuelva las siguientes sumas y restas entre radicales 
𝟏) 𝟓√𝟓𝒙𝟑
𝟒
− 𝟑√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ 𝟕√𝒂𝒃𝟐 + 𝟏𝟏√𝒂𝒃𝟐 − 𝟔√𝟓𝒙𝟑
𝟒
+ √𝒂𝒃𝟐
𝟓
− 𝟓√𝒂𝒃𝟐 
Primero se verifica cuales raíces son idénticas {tanto en el índice como en la cantidad subradical} 
La primera es igual a quinta, la segunda es igual a la sexta. Y la tercera, la cuarta y la última son 
iguales entre sí. {Se parecen a las anteriores pero los índices son diferentes} 
𝟓√𝟓𝒙𝟑
𝟒
− 𝟑√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ 𝟕√𝒂𝒃𝟐 + 𝟏𝟏√𝒂𝒃𝟐 − 𝟔√𝟓𝒙𝟑
𝟒
+ √𝒂𝒃𝟐
𝟓
− 𝟓√𝒂𝒃𝟐 
Se copia cada raíz una sola vez, y delante de ellas se colocan entre paréntesis sus respectivos 
coeficientes con todo y signo, en caso de no haber ningún número se sobre entiende que es el uno. 
(𝟓 − 𝟔)√𝟓𝒙𝟑
𝟒
+ (−𝟑 + 𝟏)√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ (𝟕 + 𝟏𝟏 − 𝟓)√𝒂𝒃𝟐 
Se resuelven las sumas y restas: 
(−𝟏)√𝟓𝒙𝟑
𝟒
+ (−𝟐)√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ (𝟏𝟑)√𝒂𝒃𝟐 
−√𝟓𝒙𝟑
𝟒− 𝟐√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ 𝟏𝟑√𝒂𝒃𝟐 
 
𝟐) − 𝟑√𝟔𝒃𝟐 − 𝟔√𝒙𝟑𝒚𝟓
𝟑
+ 𝟓√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ 𝟖√𝒙𝟑𝒚𝟓
𝟑
− 𝟑√𝒂𝒃𝟐
𝟓
− 𝟖√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ 𝟔√𝟔𝒃𝟐 
Primero se verifica cuales raíces son idénticas {tanto en el índice como en la cantidad subradical} 
−𝟑√𝟔𝒃𝟐 − 𝟔√𝒙𝟑𝒚𝟓
𝟑
+ 𝟓√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ 𝟖√𝒙𝟑𝒚𝟓
𝟑
− 𝟑√𝒂𝒃𝟐
𝟓
− 𝟖√𝒂𝒃𝟐
𝟓
+ 𝟔√𝟔𝒃𝟐 
Se unifican las raíces iguales 
(−𝟑 + 𝟔)√𝟔𝒃𝟐 + (−𝟔 + 𝟖)√𝒙𝟑𝒚𝟓
𝟑
+ (𝟓 − 𝟑 − 𝟖)√𝒂𝒃𝟐
𝟓
 
Se resuelven las sumas y restas: 
(𝟑)√𝟔𝒃𝟐 + (𝟐)√𝒙𝟑𝒚𝟓
𝟑
+ (−𝟔)√𝒂𝒃𝟐
𝟓
 
𝟑√𝟔𝒃𝟐 + 𝟐√𝒙𝟑𝒚𝟓
𝟑
− 𝟔√𝒂𝒃𝟐
𝟓
 
 
3. Multiplicación y división de radicales con índices iguales y diferentes. 
a. Para multiplicar o dividir raíces con igual índice, simplemente se unifican en una sola raíz, 
uniendo sus elementos y aplicando las propiedades de multiplicación o división de 
potencias de igual base. Ejemplo: Unifique las siguientes raíces en una sola: 
 
𝒂. 𝟏) 
√𝟓𝒙𝟑𝒂𝟑𝒚
𝟑
∙ √𝟒𝒙𝟔𝒃𝟑𝒚𝟓
𝟑
√𝟐𝒙𝟐𝒃𝟓
𝟑 
Como los índices son iguales entre sí, se copia todo dentro de una raíz, respetando las posiciones 
originales 
√𝟓𝒙𝟑𝒂𝟑𝒚
𝟑
∙ √𝟒𝒙𝟔𝒃𝟑𝒚𝟓
𝟑
√𝟐𝒙𝟐𝒃𝟓
𝟑 = √
𝟓𝒙𝟑𝒂𝟑𝒚𝟒𝒙𝟔𝒃𝟑𝒚𝟓
𝟐𝒙𝟐𝒃𝟓
𝟑
 
Los elementos que están en una misma línea se están multiplicando entre sí, se aplica la propiedad de 
multiplicación de potencias de igual base, se copia una sola vez la base y se suman los exponentes 
entre sí 
𝟓𝒙𝟑𝒂𝟑𝒚𝟒𝒙𝟔𝒃𝟑𝒚𝟓 = 𝟓 ∙ 𝟒𝒙𝟑𝒙𝟔𝒂𝟑𝒚𝒚𝟓𝒃𝟑 = 𝟐𝟎𝒙𝟑+𝟔𝒂𝟑𝒚𝟏+𝟓𝒃𝟑 = 𝟐𝟎𝒙𝟗𝒂𝟑𝒚𝟔𝒃𝟑 
√
𝟓𝒙𝟑𝒂𝟑𝒚𝟒𝒙𝟔𝒃𝟑𝒚𝟓
𝟐𝒙𝟐𝒃𝟓
𝟑
= √
𝟐𝟎𝒙𝟗𝒂𝟑𝒚𝟔𝒃𝟑
𝟐𝒙𝟐𝒃𝟓
𝟑
 
Se unifican los elementos que tienen la misma base entre sí, como están dividiendo, se aplica la 
propiedad de división de potencias de igual base, se copia una sola vez la base y se restan los 
exponentes. El resultado se coloca con exponente positivo en la posición del mayor. Las cifras 
numéricas se dividen si es posible, o se simplifican 
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 
𝒙𝟗
𝒙𝟐
= 𝒙𝟗−𝟐 = 𝒙𝟕 
𝒃𝟑
𝒃𝟓
= 𝒃𝟑−𝟓 = 𝒃−𝟐 {𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒄𝒂 𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐} 
√
𝟐𝟎𝒙𝟗𝒂𝟑𝒚𝟔
𝟐𝒙𝟐𝒃𝟓
𝟑
= √
𝟏𝟎𝒙𝟕𝒂𝟑𝒚𝟔
𝒃𝟐
𝟑
 
 
𝒂. 𝟐) 
√𝟑𝒙𝟒𝒚𝟓𝒛
𝟒
∙ √𝟐𝒙𝟐𝒛𝟒𝒚𝟒
𝟒
√𝟒𝒚𝟔𝒛𝟐
𝟒
∙ √𝟓𝒙𝒛𝟔𝒚𝟐
𝟒
 
√𝟑𝒙𝟒𝒚𝟓𝒛
𝟒
∙ √𝟐𝒙𝟐𝒛𝟒𝒚𝟒
𝟒
√𝟒𝒚𝟔𝒛𝟐
𝟒
∙ √𝟓𝒙𝒛𝟔𝒚𝟐
𝟒
= √
𝟑𝒙𝟒𝒚𝟓𝒛𝟐𝒙𝟐𝒛𝟒𝒚𝟒
𝟒𝒚𝟔𝒛𝟐𝟓𝒙𝒛𝟔𝒚𝟐
𝟒
= √
𝟑 ∙ 𝟐𝒙𝟒𝒙𝟐𝒚𝟓𝒚𝟒𝒛𝒛𝟒
𝟒 ∙ 𝟓𝒙𝒚𝟔𝒚𝟐𝒛𝟐𝒛𝟔
𝟒
= √
𝟔𝒙𝟒+𝟐𝒚𝟓+𝟒𝒛𝟏+𝟒
𝟐𝟎𝒙𝒚𝟔+𝟐𝒛𝟐+𝟔
𝟒
 
= √
𝟔𝒙𝟔𝒚𝟗𝒛𝟓
𝟐𝟎𝒙𝒚𝟖𝒛𝟖
𝟒
 → 
𝟔
𝟐𝟎
=
𝟑
𝟏𝟎
; 
𝒙𝟔
𝒙
= 𝒙𝟔−𝟏 = 𝒙𝟓; 
𝒚𝟗
𝒚𝟖
= 𝒚𝟗−𝟖 = 𝒚; 
𝒛𝟓
𝒛𝟖
= 𝒛𝟓−𝟖 = 𝒛−𝟑 
√𝟑𝒙𝟒𝒚𝟓𝒛
𝟒
∙ √𝟐𝒙𝟐𝒛𝟒𝒚𝟒
𝟒
√𝟒𝒚𝟔𝒛𝟐
𝟒
∙ √𝟓𝒙𝒛𝟔𝒚𝟐
𝟒
= √
𝟑𝒙𝟓𝒚
𝟏𝟎𝒛𝟑
𝟒
 
 
b. Para multiplicar o dividir raíces con diferentes índices, se determina el mínimo común 
múltiplo de todos los índices, se establece una nueva raíz cuyo índice es el mcm 
determinado, se colocan todas las cantidades subradicales dentro de la raíz pero encerrados 
entre paréntesis y se les coloca como exponente a cada paréntesis, el resultado de la 
división entre el mcm y cada índice respectivo, posteriormente se resuelven las potencias 
de potencias y se unifican las potencias de igual base. Ejemplo: unifique en una sola raíz 
las siguientes raíces 
𝒃. 𝟏) 
√𝟑𝒙𝟒𝒂𝟐𝒚
𝟑
∙ √𝒙𝟐𝒂𝟑𝒃𝟒𝒚𝟑
𝟒
√𝟒𝒙𝟑𝒃𝟐
 
Los índices de las raíces son 3, 4 y 2, respectivamente, se determina el mcm entre ellos: 
 
2 
1 
3 
1 
4 
2 
1 
2 mcm=22.3=4.3=12 
2 12÷2=6 12÷3=4 12÷4=3 
3 
 
√𝟑𝒙𝟒𝒂𝟐𝒚
𝟑
∙ √𝒙𝟐𝒂𝟑𝒃𝟒𝒚𝟑
𝟒
√𝟒𝒙𝟑𝒃𝟐
= √
(𝟑𝒙𝟒𝒂𝟐𝒚)𝟒(𝒙𝟐𝒂𝟑𝒃𝟒𝒚𝟑)𝟑
(𝟒𝒙𝟑𝒃𝟐)𝟔
𝟏𝟐
 
Se resuelve la potencia de una potencia, multiplicando ambos exponentes, en caso de que algún 
elemento no tenga exponente, el de afuera será su nuevo exponente 
 
√
(𝟑𝒙𝟒𝒂𝟐𝒚)𝟒(𝟐𝒙𝟐𝒂𝟑𝒃𝟒𝒚𝟑)𝟑
(𝟒𝒙𝟑𝒃𝟐)𝟔
𝟏𝟐
= √
𝟑𝟒𝒙𝟏𝟔𝒂𝟖𝒚𝟒𝒙𝟔𝒂𝟗𝒃𝟏𝟐𝒚𝟗
𝟒𝟔𝒙𝟏𝟖𝒃𝟏𝟐
𝟏𝟐
= √
𝟑𝟒𝒙𝟏𝟔𝒙𝟔𝒂𝟖𝒂𝟗𝒚𝟒𝒚𝟗𝒃𝟏𝟐
𝟒𝟔𝒙𝟏𝟖𝒃𝟏𝟐
𝟏𝟐
 
= √
𝟑𝟒𝒙𝟏𝟔+𝟔𝒂𝟖+𝟗𝒚𝟒+𝟗𝒃𝟏𝟐
𝟒𝟔𝒙𝟏𝟖𝒃𝟏𝟐
𝟏𝟐
= √
𝟑𝟒𝒙𝟐𝟐𝒂𝟏𝟕𝒚𝟏𝟑𝒃𝟏𝟐
𝟒𝟔𝒙𝟏𝟖𝒃𝟏𝟐
𝟏𝟐
= √
𝟑𝟒𝒙𝟐𝟐−𝟏𝟖𝒂𝟏𝟕𝒚𝟏𝟑𝒃𝟏𝟐−𝟏𝟐
𝟒𝟔
𝟏𝟐
 
= √
𝟖𝟏𝒙𝟒𝒂𝟏𝟕𝒚𝟏𝟑𝒃𝟎
𝟒𝟎𝟗𝟔
𝟏𝟐
 
 
INECUACIONES LINEALES 
 
Tipos de desigualdades: 
< “menor que” 
≤ “menor o igual que” 
> “mayor que” 
≥ “mayor o igual que” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
Resolver las siguientes inecuaciones despejando la variable correspondiente, graficando el resultado 
en la recta real y mostrando la solución con la notación simbólica. 
 
𝟏) 𝟑𝒙 − 𝟓 ≥ 𝟔𝒙 + 𝟕 
Se despejan los elementos que contienen la variable (x) al lado izquierdo de la inecuación y los 
términos independientes (solo números) al lado derecho, quienes suman pasan a restar y quienes restan 
pasan a sumar. 
3𝑥 − 5 ≥ 6𝑥 + 7 {6𝑥 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟; −5 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟} 
3𝑥 − 6𝑥 ≥ 7 + 5 {𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠} 
Signos iguales se suman y se mantiene el signo. Signos diferentes se restan y se coloca el signo del 
mayor 
−3𝑥 ≥ 12 {𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 (−1)} 
−3𝑥 ≥ 12 ∙ (−1) 
 {𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑒𝑙 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛} 
3𝑥 ≤ −12 {𝑒𝑙 3 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜} 
𝑥 ≤ −
12 
3
 {𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛, 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 }
12 
3
= 4 
𝑥 ≤ −4 {𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙} 
En primer lugar, se dibuja la recta real y se identifica la posición (-4), como la desigualdad incluye el 
igual (≤ menor o igual), la ubicación se remarca con un punto ●. 
 
 
 
 
Posteriormente se marca la zona que cubre la inecuación desde ese punto, hacia la derecha en caso de 
que la desigualdad sea mayor y hacia la izquierda en caso de que sea menor. Como en este resultado 
“𝑥 ≤ −4” es menor, se marca hacia la izquierda, quedando el gráfico de la siguiente forma: 
 
 
 
 
Siendo la solución, todos los números reales entre menos infinito y el menos cuatro: 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒙 ∈ ℝ/(−∞, −𝟒] 
𝟐) 𝟖𝒙 + 𝟑 > 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 
Se realizan los despejes. 
8𝑥 + 3 > 4𝑥 + 12 {4𝑥 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟; 3 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟} 
8𝑥 − 4𝑥 > 12 − 3 {𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠} 
4𝑥 > 9 {𝑒𝑙 4 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜} 
𝑥 >
9
4
 {𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙} 
{Para la representación se ubica el valor decimal correspondiente 
𝟗
𝟒
= 𝟐, 𝟐𝟓} 
Se dibuja la recta real y se identifica la posición (2,25), como la desigualdad no incluye el igual (>
 mayor que), la ubicación se remarca con una circunferencia ○. Y desde ahí se marca la zona hacia la 
derecha, quedando la gráfica de la siguiente forma: 
 
 
 
 
Siendo la solución, todos los números reales desde 9/4 hasta el infinito positivo. El valor de 9/4 lleva 
paréntesis porque no está incluido: 
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞ 
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞ 
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6∞ 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒙 ∈ ℝ/ (
𝟗
𝟒
, ∞) 
 
𝟑) 𝟑𝒙 +
𝟏
𝟒
≥ −
𝟐
𝟓
𝒙 + 𝟕 
Se realizan los despejes. 
3𝑥 +
1
4
≥ −
2
5
𝑥 + 7 {
2
5
𝑥 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟; 
1
4
 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟} 
3𝑥 +
2
5
𝑥 ≥ 7 −
1
4
 {𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠} 
3
1
𝑥 +
2
5
𝑥 ≥
7
1
−
1
4
 {𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠} 
3 ∙ 5 + 2 ∙ 1
1 ∙ 5
𝑥 ≥
7 ∙ 4 − 1 ∙ 1
1 ∙ 4
 → 
15 + 2
5
𝑥 ≥
28 − 1
4
 → 
𝟏𝟕
𝟓
𝒙 ≥
𝟐𝟕
𝟒
 
{Para despejar 17/5, como multiplican a la x pasa a dividir y se aplica la doble C} 
17
5
𝑥 ≥
27
4
 → 𝑥 ≥
27
4
17
5
 → 𝑥 ≥
27 ∙ 5
17 ∙ 4
 → 𝑥 ≥
135
68
 
{Para la representación se ubica el valor decimal correspondiente 
𝟏𝟑𝟓
𝟔𝟖
= 𝟏, 𝟗𝟗 ≈ 𝟐} 
Se dibuja la recta real y se identifica la posición (2), como la desigualdad incluye el igual (≥ mayor o 
igual que), la ubicación se remarca con un punto ●. Y desde ahí se marca la zona hacia la derecha, 
quedando la gráfica de la siguiente forma: 
 
 
 
 
Siendo la solución, todos los números reales desde 2 hasta el infinito positivo. El valor de 2 lleva 
corchete porque si está incluido: 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒙 ∈ ℝ/[𝟐, ∞] 
 
SISTEMA DE INECUACIONES 
Cuando se presentan 2 p más inecuaciones al mismo tiempo, se deben resolver por separado, se 
grafican en una misma recta y la solución con notación simbólica viene dada por el sector en donde 
coincidan las gráficas. Por ejemplo: 
𝟏) 
𝟐𝒙 − 𝟔 < 𝟕𝒙 + 𝟑
𝟓𝒙 + 𝟑 ≤ 𝟐𝒙 + 𝟏𝟏
 } 
Se resuelven las inecuaciones por separado: 
2𝑥 − 6 < 7𝑥 + 3 
2𝑥 − 7𝑥 < 3 + 6 
−5𝑥 < 9 ∙ (−1) {𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑥 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎} 
5𝑥 > −9 
𝑥 > −
9
5
 {𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 −
9
5
= −1,8} 
5𝑥 + 3 ≤ 2𝑥 + 11 
5𝑥 − 2𝑥 ≤ +11 − 3 
3𝑥 ≤ 8 
𝑥 ≤
8
3
 {𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 
8
3
= 2,7} 
 
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞ 
Se representan ambos resultados en una misma recta Real, donde la primera se dirige hacia la derecha 
por ser mayor que, mientras que la segunda se dirige hacia la izquierda por ser menor que: 
 
 
 
 
 
El resultado final, es el sector en donde coinciden las dos gráficas. 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒙 ∈ ℝ/ (−
𝟗
𝟓
,
𝟖
𝟑
] 
 
𝟐) 
𝟕𝒙 − 𝟖 < 𝟑𝒙 + 𝟐
𝟖𝒙 +
𝟑
𝟐
≤ 𝟓𝒙 + 𝟏𝟒
 } 
Se resuelven las inecuaciones por separado: 
7𝑥 − 8 < 3𝑥 + 2 
7𝑥 − 3𝑥 < 2 + 8 
4𝑥 < 10 
𝑥 <
10
4
 {𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑} 
𝑥 <
5
2
 {𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 
5
2
= 2,5} 
8𝑥 +
3
2
≤ 5𝑥 + 14 
8𝑥 − 5𝑥 ≤ 14 −
3
2
 → 8𝑥 − 5𝑥 ≤
14
1
−
3
2
 
3𝑥 ≤
28 − 3
2
 → 3𝑥 ≤
25
2
 
𝑥 ≤
25
3 ∙ 2
 → 𝑥 ≤
25
6
 
{𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 
25
6
= 4,2} 
Se representan ambos resultados en una misma recta Real, en donde, tanto la primera como la segunda, 
se dirigen hacia la izquierda, por ser menor que. 
 
 
 
 
 
El resultado final, es el sector en donde coinciden las dos gráficas, y como ambas van hacia la 
izquierda, coinciden desde -∞ hasta el primer valor (
5
2
= 2,5). 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒙 ∈ ℝ/ (−∞,
𝟓
𝟐
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞ 
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞ 
TEOREMA DE EUCLIDES 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
1) Dado el triángulo ABC, rectángulo en A, Si AB = 15 cm. y BD = 9 cm. ¿Cuánto mide AC y AD? 
 
Identificamos los lados, entendiendo que: AB es un cateto, AC es 
otro cateto, BC es la hipotenusa y CD con BD las divisiones de la 
hipotenusa. Mientras la altura es AD 
La fórmula para la altura sería: 
𝐴𝐷2 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐵𝐷 
Conocemos el valor de BD peo no el de CD 
 
 
Podemos trabajar con el teorema del cateto (#2) 
𝐴𝐵2 = 𝐵𝐷 ∙ 𝐵𝐶 
Se conocen AB y BD, entonces se despeja BC, quedando: 
𝐵𝐶 =
𝐴𝐵2
𝐵𝐷
 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒 𝐵𝐶 =
152
9
=
225
9
= 25 → 𝑩𝑪 = 𝟐𝟓 
 
Ya se conoce la hipotenusa BC, y con ella se determina CD, aplicando: 
𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 + 𝐵𝐷 → 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 − 𝐵𝐷 → 𝐶𝐷 = 25 − 9 = 16 → 𝑪𝑫 = 𝟏𝟔 
Con los valores de CD y BC se determina AC, aplicando: 
𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐵𝐶 = 16 ∙ 25 = 400 
Como AC está al cuadrado, se resuelve con raíz cuadrada. 
𝐴𝐶2 = 400 → 𝐴𝐶 = √400 → 𝑨𝑪 = 𝟐𝟎 
Por último se aplica la primera fórmula para hallar la altura (AD) 
𝐴𝐷2 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐵𝐷 = 16 ∙ 9 = 144 
Como AD está al cuadrado, se resuelve con raíz cuadrada. 
𝐴𝐷2 = 144 → 𝐴𝐷 = √144 → 𝑨𝑫 = 𝟏𝟐 
Ya se determinaron los lados solicitados 
𝑨𝑪 = 𝟐𝟎 𝒚 𝑨𝑫 = 𝟏𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
VALOR 3 PUNTOS 
 
Resolver los siguientes ejercicios en una hoja de examen, los datos del estudiante y los enunciados 
pueden escribirse a lápiz o a lapicero, pero la solución de los mismos debe ser realizada estrictamente 
a lápiz. Se deben realizar todo paso a paso y entregarlos el día lunes 10 de julio. 
 
1) Transformar las siguientes fracciones en números decimales: 
𝑎) 
5
7
; 𝑏)
17
3
 
2) Transforme los siguientes números decimales en sus fracciones generatrices correspondientes 
𝑎) 7,29; 𝑏) 1, 25̂; 𝑐)2,571̂ 
3) Extraiga los elementos que se puedan de la siguiente raíz: 
√
𝟔𝟒𝟖𝟎𝟎𝒂𝟖𝒃𝟕
𝒙𝟔𝒛𝟒
𝟒
 
4) unifique en una sola raíz las siguientes raíces 
 
√𝟓𝒙𝟑𝒂𝟑𝒚𝒃
𝟔
∙ √𝒙𝟓𝒃𝟑𝒚𝟐
𝟒
√𝟔𝒙𝟐𝒃𝟒𝒂𝟑
 
 
5) Resuelva y grafique las siguientes inecuaciones: 
𝑎) 4𝑥 −
3
5
≤ 6𝑥 + 7; 𝑏) 8𝑥 +
5
3
> 5𝑥 − 6 
 
6) Dado los siguientes triángulos, determine todos los lados faltantes, incluyendo las alturas, 
aplicando las diversas fórmulas de Euclides