ejercicio de fisica propuestos (19)

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7 .- Sea la magnitud escalar (f) definida a través de la expresión, fi(x,y,z) = x? + y2. Razone 
cómo serán las superficies equiescalares que representan gráficamente a dicha magnitud.
La superficie equiescalar la formarán aquellos puntos del espacio en los cuales la magnitud tome un mismo valor. Así, si la magnitud <j) representa, por ejemplo, la concentración de CO2 en una determinada región de la atmósfera, las superficies equiescalares estarán constituidas por aquellos puntos donde la concentración es la misma.
Entonces, si llamamos como C a uno de los posibles valores que puede tomar la magnitud 4>, los puntos (x,y,z) de la superficie equiescalar donde la magnitud vale C, cumplirán que,= x2 +y2 = C
Es decir, pertenecen a la superficie equiescalar (C) aquellos puntos del espacio para los que la suma de su coordenada "x" al cuadrado y su coordenada "y" al cuadrado vale la misma cantidad, indepen­dientemente de cuál sea el valor de su coordenada z.
La expresión anterior representa la ecuación de una circunferencia (en el plano XY) de radio R = \/C.Pero, si extendemos esa circunferencia verticalmente (hacia arriba y hacia abajo) generaríamos una superficie cilindrica cuyos puntos (x,y,z) cumplirían la misma ecuación.
Así por ejemplo, los puntos P(x„ yb Zj) y Q(x2, y2, z2) de la figura anterior, cumplirían que: Xi2 + y,2 = x22 + y22 = C = R2
Por tanto, la superficie equiescalar donde 4> toma el valor C, es un cilindro recto de radio R=VCComo C puede ser cualquier valor (real positivo) de los que puede tomar <|), llegamos a la conclusión de que las superficies equiescalares que representan a la magnitud (J) son cilindros rectos (Sb S2, ...).
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8 .- a) Las líneas de campo de la figura 
adjunta, representan el campo de fuerza 
electrostática ejercido por ambas cargas 
puntuales q y q'. Razone cuál será la rela­
ción que existirá entre las magnitudes de las 
fuerzas ejercidas por dichas cargas. Deter­
mine igualmente en qué punto (A ó B) será 
mayor la fuerza que se ejercerá sobre una 
carga situada en dichos puntos. Razone la 
respuesta.
Nota: Las líneas de campo representadas se 
extienden uniformemente a todo el espacio, y 
no sólo al plano representado aquí.
b) El campo vectorial representado en la figura inferior, representa la velocidad de los 
puntos de un fluido en movimiento (por ejemplo agua circulando en una tubería que se 
estrecha). ¿En qué punto (A ó B) será mayor la velocidad del fluido?
a) La relación que existirá entre la magnitud de las fuerzas que ejercen ambas cargas (sobre otra carga prueba) en puntos situados a la misma distancia de las cargas será de 3. Es decir, la fuerza ejercida por la carga q en un punto situado a una cierta distancia "d" de dicha carga, será de magnitud (o módulo) triple que la ejercida por la carga q' en un punto situado a la misma distancia (d) de q'.
¿Cómo podemos deducir esa relación de la simple observación de las líneas de campo?. Las líneas de campo (electrostático y gravitatorio) se dibujan siguiendo una serie de criterios, criterios que debemos conocer para interpretar adecuadamente la información contenida en ellas. Así, uno de los criterios a seguir es que se dibujará un número de líneas de campo por unidad de superficie (perpendicular a las líneas) proporcional a la magnitud del campo vectorial.
Supongamos entonces que tomamos una superficie esférica con centro en las cargas, primero en la carga q, y luego en la q'. Esa superficie, dada la forma radial de las líneas de campo, será atravesada perpendicularmente por ellas. Entonces, para tener una idea de la magnitud del campo en los puntos de dicha superficie, contaríamos el número de líneas que atraviesan la superficie y lo dividiríamos por su área(llamémosla S). Si hacemos esto para las cargas q y q', encontraríamos que el número de líneas que atraviesan dicha superficie para el caso de la carga q es de 12, mientras que el número de las que atraviesan q' es de 4.
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Por tanto se cumplirá que, 121*1 S _ 12
|F'| _£ 4
sEl símbolo * indica proporcionalidad; así, |F| « 12/S y |F'| « 4/S .
Respecto a la segunda pregunta, podemos razonar que el valor de la fuerza será mayor en el punto A que en el B. Si tomamos superficies esféricas con centro en la carga y de radios las distancias de la carga a los puntos, observaríamos que dichas superficies serían atravesadas por el mismo número de líneas de campo (doce). Sin embargo, la superficie que pasa por A esmenor que la que pasa por B, por lo que el número de líneas de campo por unidad de superficie (perpendicular) será menor en B que en A. Esto puede observarse con facilidadsi recurrimos a la figura.
b) Siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior, concluimos que la velocidad del fluido será mayor en el punto B que en el A, dado que la densidad de líneas de campo es mayor en el punto B que en el A. Esto es lo que sucede en los estrechamientos de conductos por los que circula un determinado fluido. Este comportamiento no es más que una consecuencia de la conservación de la masa de fluido.
9. - La magnitud escalar V viene definida a través de la función: V(x,y,z) = x2- 2xy + z, 
donde (x,y,z) representan las coordenadas cartesianas de un punto del espacio.
a) Calcule el cambio que se produce en la magnitud V (llamémoslo AV) al pasar del punto 
P(2,0,-l) al punto Q(1 '999, 0'0002, -1 001).
b) Dado que P y Q están muy próximos entre sí, se pretende aproximar el cambio AV por 
el valor dV = (dV/dx)P dx + (dV/dy)P dy + (dV/dz)P dz, donde los factores dx, dy y dz se 
aproximan a los cambios producidos en las respectivas coordenadas al ir del punto P al 
Q. ¿Cuál será entonces el error cometido en la aproximación?
a) Evaluemos el valor de V en los puntos P y Q:
V (P ) = V (2,0,-1) =3
V (Q ) = V (1 '999, 0 '0002, -1 '001) - 2 '9942014
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