ejercicio de fisica propuestos (22)

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12 .- La altura de una montaña viene dada por la expresión: h(x,y) = 2000 + x2 - 2X3 + y 
+ lOy2, donde las coordenadas (x,y) representan a los puntos de la base de la montaña. 
Al expresar x e y en Km, h resulta en metros. En definitiva, h asigna a cada punto de la 
base, su altura. Calcule el gradiente de altura en los puntos de coordenadas A(2,6) y 
B(8,8).
Para tener una idea de cómo es la montaña, vamos a representar algunas líneas de igual altura. Observe que, en este caso, las super­ficies equiescalares resultan ser líneas, dado que la ecuación matemática h(x,y) = cte, representa para cada valor de la cte, una curva del plano XYLa representación aproximada de la situación real, se ha expuesto en la figura adjunta.Se han trazado las líneas a intervalos de unos 2 metros de altura.
Podemos observar cómo la zona de mayores pendientes corresponde a la superior derecha del recuadro, mientras las zonas de menor pendiente se dan en la inferior izquierda. Esto se deduce del hecho de que para conseguir una misma elevación debemos recorrer más espacio en la zona inferior izquierda que en la superior derecha, lo que es indicativo de mayores pendientes en esta última zona. Entonces, el valor del módulo del gradiente de h en la zona derecha debe salimos superior a su valor en la izquierda. Vamos a comprobarlo a continuación.
I \dh dh
k dx ' dy t
(2x-6x2 , 20y+l)
Entonces, los valores del gradiente de h en los puntos A y B serán,
VÍÍA = Víl,2.6, = (-2°. 121> - l™J - 122 -64
= V\8,8I = <-368- 161< - l^l - «i
Lo que confirma lo que se razonó con anterioridad analizando las superficies equiescalares (líneas de igual altura).Igualmente, al representar los vectores gradiente en los puntos considerados, obser­varíamos cómo sus direcciones son perpendiculares a las superficies equiescalares que pasan por cada punto.
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dtp
í \ 
< dy,
13 .- Siendo v un campo vectorial v(x,y)=yi + xj, encontrar una función (p tal que 
grad (p^v.
Para resolver este ejercicio, vamos a expresar las ecuaciones que se desprenden de la igualdad vectorial v = V<J>.
= y (^4>)y = ydx
y
= x (d$)x = xdy
X
Sumando (integrando) se llega a plantear lo siguiente,4) (x, y) = yx + f (y)4> (x, y) = xy + g(x)
Es decir, cuando "y" varía, la dependencia de <|) con "y" viene dada por el término xy de la segunda ecuación Como cuando "y" se halla fijo, la variación de 4> con x es, según la primera ecuación, explicada también por el término xy, podemos concluir que f y g serán funciones constantes, y que toda la dependencia de con las variables "x" e "y", se halla recogida en el término xy. Entonces, 4>(x,y) = xy + cte.
El que exista una <|) tal que v = V<|), implica que v es un campo vectorial conservativo.
14 .- Hallar
(i,i) 
í 
(0,0),r=y=x2
[ yi + xj ] dr
Podemos hallar esta integral de dos maneras diferentes.La primera de ellas consiste en integrar directamente, considerando la curva T de integración. O sea,
da)
(0,0), y=x2
(y dx + x dy) = fx2dx . [^dy-- I . | 
0 o
1
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Donde se ha tenido en cuenta que el vector desplazamiento dr a lo largo de la curva tendrá como componentes cartesianas (dx, dy).
Igualmente, la variable "y" no permanece constante en la primera de las integrales (f ydx), sino que varia, siendo su dependencia con x la definida por la curva; es decir: y=x2.De la misma forma, en la segunda integración (f xdy), la variable "x" tampoco permanece constante, variando (conforme nos desplazamos a lo largo de la curva) según: x^y.
Otra manera de resolver el ejercicio consiste en considerar que el vector yi + xj coincide con el gradiente de una función escalar 4>, y determinar (si es posible) dicha función, tal y como se hizo en el ejercicio anterior. Una vez hecho esto la integral se determinaría evaluando la función entre los límites de integración.
Esto se resume en lo siguiente,V0 = yi + xj =» 4>(x,y) = xy + cte
(i,i)J V$ • dr = 
(0,0) , r
(i,D
f d^ = 0(1,1) -0(0,0) = 1 , 
(0,0)
Observe que si no existiera una función (j) tal que v = V4>, se tendría que v- dr * V4>- dr = d<|). En definitiva, v dr no sería igual a la diferencial exacta de una función escalar (d(J>), por lo que la suma de los productos v dr a lo largo de un trayecto determinado, no podría expresarse como el cambio de una función entre los puntos inicial y final del trayecto. La integración dependería entonces de cuál fuese el trayecto o camino.
La ventaja de este segundo método de integración, siempre que sea posible abordarlo (es decir, siempre que exista una 4> tal que v = V<J> =► v conservativo), estriba en que la integración se hace independiente del camino o curva que une los límites de integración. Aunque en este ejemplo no se aprecia con claridad dicha ventaja, dada la escasa dificultad de la integral, en otros casos es evidente.
Esa será una de las ventajas que se presentarán para aquellas magnitudes vectoriales conservativas (como puede ser un determinado tipo de fuerza) que puedan expresarse como gradiente de una función (magnitud) escalar.¿Podría decir a qué tipo de magnitud correspondería el producto v dr, en el caso de que 
v representara a una fuerza?.
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