ejercicio de fisica propuestos (23)

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15 .- Dado el campo vectorial A (x,y) = (x+y) i + xyj, calcular fA- dr sobre los siguientes 
recorridos:
a) y=x, desde el punto (0,0) hasta el (1,1).
b) A través de la línea quebrada que une los puntos (0,0) - (1,0) - (1,1).
c) A través de la línea quebrada que une los puntos (0,0) - (0,1) - (1,1).
d) y=x?, desde el punto (0,0) hasta el (1,1).
e) Sobre la trayectoria cerrada definida por las curvas y=x2 y x=y2. ¿Es conservativo el 
campo vectorial A ?.
Los recorridos descritos en los apartados a), b) y c) se han representado en la gráfica adyacente.
El producto escalar A- dr resulta igual a,
A - dr = (x + y} dx + xydy
Donde dr = (dx, dy) representa un desplazamiento infinitesimal a lo largo de una determinada trayectoria.
Tenga en cuenta que las componentes "dx" y "dy" del vector dr tendrán valores diferentes según sea la trayectoria que se elija. Así, según el primer apartado, si nos desplazamos a través de la recta y = x, un desplazamiento dr implicará una cambio en la dirección "x" de valor dx, y un cambio en la dirección "y" de valor dy, de forma tal que dy = dx (ya que dy/dx = 1, para cualquier punto de la recta y = x).. Sin embargo, si el desplazamiento se produce según la trayectoria y = x2, se cumplirá que dy = 2xdx (pues dy/dx = 2x dx), valor que depende del punto de la trayectoria (x) en que nos encontremos. Tenemos entonces que, aunque "dx" y "dy" sean términos "muy pequeños", serán diferentes según la trayectoria considerada.
Para resolver este ejercicio veremos una forma alternativa a la llevada a cabo en el ejercicio anterior.
a) La integración de A entre los puntos (0,0) y (1,1) quedará como,
(1,1) x=l y=lJ A • dr = j (x + y) dx + xy dy
(0,0) y=x x=0 y=0
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Pero si seguimos la recta mencionada, se cumplirá que y = x, y que dy = dx, por lo que las integrales anteriores, expresándolas en función de la variable "x" quedarán como,
(1,1) X = 1
f A • dr = y 2 x dx
(0,0) y=x x = 0
x 2 dx
2 Jo 3 Jo
£3
Donde se ha hecho uso de que x+y = 2x, y que Ay = xy = x2.
b) Ahora vamos a dividir la integración en dos trayectos: el primero será el que va de (0,0) hasta (1,0), y el segundo desde (1,0) hasta (1,1).y A • dr = y A • dr + y A • dr
( 0,0) - ( 1,0) - ( 1,1 ) (0,0)~(l,0) (l,0)-(l,l)
Realicemos la primera integración,
(1,0)f A • dr - í A- {dx, 0) = [X1 {x + y) dx = f^xdx =
J J Jx=0 Jx=0
(0,0)-(l,0) (0,0)
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En este trayecto los desplazamientos dr son horizontales, por lo que no se produce cambio en la coordenada "y", y se cumplirá que dy=O. Entonces la integración se reduce a la variable x, tomando "y" el valor 0 (pues nos movemos horizontalmente desde el punto (0,0) al (1,0)).
Para la segunda, procediendo de forma similar tendremos,
(i,i)f A • dr = f A - {0, dy) = {xy) dy = í^ydy =
J J J y=Q J y=0
(l,0Hbl) (1,0)
i.2
Donde se ha tenido en cuenta que los desplazamientos a lo largo de la recta que une los puntos (1,0) y (1,1) serán verticales, por lo que dr = (0, dy); esto significa que x permanece constante, con un valor igual a 1 (de ahí que xy=y).Sumando los resultados, concluimos que / A- dr = 1/2 +1/2=1.
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c) Este apartado será muy similar al anterior.
Procediendo entonces de la misma forma, planteamos las siguientes integraciones,
(0,1)f A • dr = f (A , A ) • (0, dy) = [y=1 (xy) dy = [y“0 dy = 0
J J x y Jy=0 Jy=0
(0,0H0,l) (0,0)
(1,1)f A • dr = [ (A , A ) • (dx, 0) = fx l (x + y) dx = f (x + 1) dx =
J J x y j^o J x=o
(0,lH(l,l) (0,1)3
2
Así, en este caso, JA- dr = 3/2.
d) Integramos ahora a lo largo de la curva y=x2.
Cuino sabemos, los desplazamientos dr serán tan­gentes a dicha curva, por lo que no serán verticales u horizontales como antes, sino que cambiarán de dirección..Los recorridos definidos por las curvas y=x2, y x^, se han representado en la figura anterior.
La integración a realizar queda como sigue,
(1,1) X=1 y=ly A • dr = I Axdx + J" Ay dy =
(o,o) y=x2 x=0 y=0
x=l
f (x+y)
x = 0
y=l
dx + y xy dy
y=0
Ahora la variable "y" no permanece constante en la primera integral. Lo mismo ocurre con la variable "x" en la segunda. La dependencia entre las mismas vendrá dada por la ecuación y=x2. Entonces, dy/dx = 2x , por lo que dy = 2x dx.Si sustituimos dichas dependencias, y resolvemos,
X=1
dx + J* ( x 
x=0
x2 ) 2 xdx =
3730
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