ejercicio de fisica propuestos (29)

Vista previa del material en texto

Y en componentes,*(0 = x(t0) + x(/0)(/-/0) + lx(/-/0)2 = x(t0) + vx(t0)(t-t0) + |a(Z-/0)2
Las ecuaciones vectoriales obtenidas serán válidas para aquellos movimientos de aceleración constante. Sin embargo, las ecuaciones en componentes serán válidas para el caso particular de movimientos rectilíneos (en los que se ha hecho coincidir la dirección de la trayectoria con el eje "x").
Describiremos el movimiento de los objetos de este ejercicio desde un sistema de referencia cartesiano XY, para el que el eje "x" coincide con la horizontal (hacia la derecha), y el eje "y" con la vertical hacia arriba. Los objetos realizarán movimientos rectilíneos con aceleración a = g = (0, - g, 0), siendo g la aceleración de la gravedad (cuyo valor podemos aproximar a 10 m/s2, para mayor sencillez en las operaciones).Note que el movimiento de los cuerpos será rectilíneo porque su velocidad inicial tiene la misma dirección que la aceleración que sufren (dirección vertical).Entonces, para el objeto lanzado en primer lugar podemos plantear la siguiente ecuación,
7,(0 = 7,(0) + 7,(°)' + -jV = 4 + 22, - Lo,2
Donde y] (t) es la componente vertical del vector de posición del objeto" 1", para el instante t, tiempo que se contabiliza desde el momento de lanzamiento del objeto (instante inicial, t = t0 = 0).Para el segundo objeto se tendrá, de forma análoga que,
72(Z) =7,(3) + 72(3)(í-3) + ±^0-3/ = 15(<-3) - |10(/-3)2
Aquí, el tiempo (t) se contabiliza desde que se lanzó el primer objeto, por lo que el comienzo del movimiento del segundo objeto tiene lugar cuando t = t0= 3 s. Es decir, este lanzamiento tiene un retraso de tres segundos respecto al lanzamiento del primero.
El encuentro tendrá lugar cuando ambos objetos se hallen en el mismo punto de la vertical. Eso equivale a que yj = y2. Igualando,4 + 22 r - 5/2 = 15 (/- 3) - 5 (r - 3)2
Donde t será el instante (contabilizado desde el lanzamiento del primer objeto) en el que se produce el encuentro. Resulta entonces una ecuación de primer grado, cuya única solución resulta ser, t = 94 / 23 “ 4'1 s.
76
Sustituyendo, la altura donde se encuentran es, 94 V23, 10'4 m
En la figura adyacente, se han representado las componentes yj e y2, frente al tiempo (t). El punto designado a través de un círculo blanco, es el punto de encuentro de los objetos((4 1 , 10'4)).La representación de las gráficas se ha realizado evaluando puntos característicos de las mismas, como son su altura máxima (igualando dy/dt = 0), y puntos llegada al suelo (y=0).Observe cómo la gráfica de y2 como función del tiempo t, se halla desplazada tres segundos hacia la derecha respecto a la de y,.Esto es debido al retraso en el lanzamiento. En los laterales de la gráfica, se han representado las trayectorias (aproximadas) de ambos objetos, desde el instante inicial hasta el instante en que se encuentran.
6 .- Una linea de tren de 25 Km de longitud tiene dos paradas intermedias en los 
kilómetros 8 y 20. De los extremos de la linea salen al mismo tiempo dos trenes cada 
media hora. Pueden acelerar y frenar como máximo a 1 m/s2, y alcanzar una velocidad 
máxima de 72 Km/h. En cada estación deben esperar 3 minutos. Determinar dónde se debe 
colocar una vía doble con el objeto de que los trenes puedan cruzarse sin problemas 
durante su recorrido, a la vez que se consigue un tiempo de viaje lo más corto posible.
En este ejercicio se verá un movimiento que puede considerarse como composición de otros más simples (uno MRU y otro MRUA).
Llamemos A al tren que parte del extremo izquierdo y B al que lo hace del extremo derecho de la línea. Dado que se desea hacer los viajes en el menor tiempo posible, consideraremos los movimientos con un máximo de velocidad (72 Km/h) y aceleración (1 m/s2).
77
Dividiremos el movimiento de los trenes en dos fases. La primera (I) corresponde al trayecto que realizan desde que inician el viaje, hasta que paran por primera vez. La segunda (II) corresponde al trayecto que realizan desde que reinician su movimiento hasta que se cruzan. Ambas fases se han representado en la figura anterior.Las posiciones de los trenes se especificarán con respecto al sistema de referencia cartesiano especificado en la misma figura.
Comencemos evaluando la duración del tramo I para el tren A.En este tramo, el tren acelerará aumentando su velocidad Im/s cada segundo (es decir, con su máxima aceleración posible de 1 m/s2), hasta llegar a la velocidad máxima de 72 Km/h (ó 20 m/s). Este movimiento durará por tanto 20 segundos, dado que el tren parte del reposo. A la velocidad máxima permanecerá un cierto tiempo (que denominaremos "t"), para luego frenar con deceleración de - 1 m/s2, y pararse a los 8 Km de recorrido. Evidentemente se tendrá también que el movimiento de frenado durará 20 segundos, que es el tiempo necesario para eliminar la velocidad de 20 m/s, con la aceleración de frenado indicada.Entonces, podemos plantear la siguiente ecuación:
1-1-202 + 20-/ + 20-20 - —-1-202 = 8000m 2 2Donde el primer término es el espacio recorrido en los 20 primeros segundos (movimiento rectilíneo con aceleración de 1 m/s2); el segundo término es el espacio recorrido durante el intervalo "t" (de movimiento a velocidad máxima constante, de 20 m/s); el tercer y cuarto términos representan el espacio recorrido en el movimiento de frenado (con velocidad inicial de 20 m/s, y deceleración de -1 m/s2).La ecuación anterior nos permite evaluar el tiempo "t".Despejando, „ 8000 - 400 mt =----------------------- = 380 520 mis
De esta forma, el tiempo invertido en el trayecto I por el tren A (tiempo que denominaremos tAI, será igual a: tAI = 20 +1 + 20 = 420 s. Y, para el tren A, se cumplirá que, xA (t^ ) = 8000 m.
En la figura adjunta, se ha representado la evolución de la velocidad del tren A en función del tiempo.
78