teoria y problemas fisica (6)

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2.4.1.		PROPIEDADES	DE	LA	SUMA	DE	
VECTORES	
 
Sean 𝐴. 𝐵.⃗ 𝑦𝐶, vectores. La suma de vectores tiene las siguientes 
propiedades: 
i) 𝐴 + 𝐵.⃗ = 𝐵.⃗ + 𝐴(Propiedad conmutativa) 
ii)𝐴 + @𝐵.⃗ + 𝐶A = @𝐴 + 𝐵.⃗ A + 𝐶(Propiedad asociativa) 
iii) 𝐴 − 𝐵.⃗ = 𝐴 + @−𝐵.⃗ A(Resta de vectores) 
La resta de vectores puede considerarse una suma, siempre y 
cuando al vector se le cambie el sentido, como se observa en la 
figura 2.21: 
 
Fig. 2.7 
 
2.4.2.	MÉTODO	DEL	PARALELOGRAMO	
 
Este método se basa en colocar los vectores 𝐴𝑦𝐵.⃗ a ser sumados en 
el origen de un sistema de ejes coordenados, trazar líneas paralelas 
a ambos vectores, de tal manera que se forme un paralelogramo. La 
diagonal del paralelogramo será la resultante de la suma, como se 
muestra en la figura 2.8Para demostrar lo que acabo de decirte, 
vamos a graficar los vectores�⃗�, 𝐵.⃗ 𝑦𝑅.⃗ de la sección anterior: 
 
 Fig. 2.8 Fig. 2.9 
Como se muestra en la figura 2.8, la resultante de la suma es la 
diagonal del paralelogramo formado por los vectores𝐴𝑦𝐵.⃗ . A esta 
manera gráfica de sumar vectores se le denomina el “Método del 
paralelogramo”; por supuesto, es posible sumar más de dos 
vectores mediante este método, obteniendo resultantes para cada par 
de vectores hasta obtener la resultante final. ¿Te diste cuenta que 
todos los vectores (tanto los que van a ser sumados como la 
resultante de la suma) parten del mismo origen? 
 
2.4.3.	MÉTODO	DEL	POLÍGONO	
 
Otra forma de sumar vectores es usando el “método del polígono” 
que consiste en colocar el origen del segundo vector𝐵.⃗ , en el extremo 
del primero, como muestra la figura. Usando este método se pueden 
sumar más de dos vectores, colocando simplemente el origen del 
siguiente (por ejemplo𝐶) en el extremo de𝐵.⃗ y así sucesivamente. La 
resultante será la unión del origen del primero con la flecha del último. 
 
Fig. 2.10 
 
 
 
2.4.4.		MÉTODO	ANALÍTICO	DE	LA	
SUMA	DE	VECTORES	
 
Es posible obtener la magnitud o tamaño de la suma de dos vectores 
sin tener que recurrir a gráficas, utilizando el método analítico de la 
suma de vectores. Si se tienen dos vectores 𝐴𝑦𝐵.⃗ , se sabe que la 
suma es la diagonal del paralelogramo formado por ambos vectores. 
 
Fig. 2.11.a 
 
Fig. 2.11.bFig. 2.11.c 
La figura 2.25.a muestra que, adicionando las cantidades C y D 
pueden obtenerse dos triángulos rectángulos, el de la figura 2.25.b y 
el de la figura 2.25.c; para el primero, usando el teorema de Pitágoras 
se tiene: 
𝑅C = (𝐵 + 𝐶)C + 𝐷C(2.2) 
																														𝑅C = 𝐵C + 2𝐵𝐶 + 𝐶C + 𝐷C																								(2.3) 
Para el segundo triángulo: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = I
J	
																																			(2.4) 
Reemplazando las dos últimas ecuaciones en la primera se obtiene: 
𝑅C = 𝐵C + 𝐴C + 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃																					(2.5) 
La magnitud de la resultante de la suma puede encontrarse 
analíticamente a condición de conocer el valor de la magnitud de los 
dos vectores a ser sumados y el ángulo que ellos forman entre sí. 
 
Fig. 2.12 
Para determinar la dirección de la resultante, se utiliza el “teorema de 
los senos” que relaciona las magnitudes con los ángulos opuestos. 
Recordémoslo, si se tiene un triángulo cualquiera, como en la figura 
2.12, se usa dicho teorema que tiene la siguiente forma: 
𝐴
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝐵
𝑠𝑒𝑛𝛽 =
𝐶
𝑠𝑒𝑛𝛾 
Para el caso que nos ocupa, hallaremos la dirección de la resultante 
a partir de la figura 2.11.b, si nos remitimos a ella, hallaremos: 
𝑅
𝑠𝑒𝑛90 =
𝐷
𝑠𝑒𝑛𝜑 
es decir: 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
𝐷
𝑅 
Por otra parte, de la figura 2.25.c se tiene: 
𝐷
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝐴
𝑠𝑒𝑛90 
𝐷 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 
Reemplazando la última ecuación en la anterior: 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅 
Además: 
 
 
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝐵 + 𝐶
𝑅 
Pero:																																										𝐶 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 
Entonces: 
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝐵 + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅 
Hallamos la tangente: 
𝑡𝑎𝑛𝜑 =
𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐵 + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑅S
𝑅T
 
Ejemplo 2.1. Una pelota pateada por un niño recorre una distancia 
de 3[m] en dirección horizontal, la pelota choca contra un árbol y se 
desvía, formando un ángulo de 60º con la horizontal, recorriendo una 
distancia de 2[m]. Calcular el desplazamiento de la pelota. 
Estrategia de Resolución.Se encontrará la magnitud del vector 
desplazamiento usando el método analítico de la suma y 
posteriormente se determinará su dirección utilizando el teorema de 
los senos. 
 
1. Plantear la ecuación: 
𝐷C = 𝑑UC + 𝑑CC + 2𝑑U𝑑C𝑐𝑜𝑠𝜃 
2. Reemplazar valores: 
𝐷C = (3)C + (2)C + 2(2)(3)𝑐𝑜𝑠60º 
3. Efectuar los cálculos: 
𝐷 = √9 + 4 + 6 = √19 = 4.4[𝑚] 
4. Calcular la dirección 
𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑑C
=
𝑠𝑒𝑛60
𝐷 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
2𝑠𝑒𝑛60
4.4 = 0.4					 
𝜑 = 23.4º 
Ejemplo 2.2. ¡Trata de resolver! Un automóvil se desplaza 30[m] por 
una ruta que forma un ángulo de 30º con la horizontal y luego vira 
formando un ángulo de 45º, desplazándose una distancia de 30[m]. 
Calcular el vector desplazamiento del automóvil. 
Estrategia de Resolución. Puesto que se tienen dos vectores que 
deben ser sumados, la magnitud de la resultante puede ser obtenida 
por el método analítico. Para facilitar la resolución, vamos a inclinar el 
eje x en 30º, como muestra la figura. 
 
 Plantear la ecuación: 
𝐷C = 𝑑CC + 𝑑UC + 2𝑑C𝑑U𝑐𝑜𝑠45 
 Reemplazar valores: 
𝐷C = (30)C + (30)C + 2(30)(30)𝑐𝑜𝑠45 
𝐷 = 55.4[𝑚] 
 Calcular la dirección: 
𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑑C
=
𝑠𝑒𝑛45
𝐷