teoria y problemas fisica (19)

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Hallar la distancia x recorrida porel autito: 
𝑥J = 𝑥³ − 𝑥� = 8.0 − 5,1 = 2.9[𝑚] 
 La velocidad del autito será: 
𝑣� =
𝑥J
𝑡 =
2.9
0.57 = 5.1
[𝑚 𝑠⁄ ] 
Ejemplo 2.31. ¡Trata de resolver! Wilmar, docente de electrónica, 
campeón de raquet, se encuentra a 4[m] de una pared vertical, lanza 
contra ella una pelota, si ésta sale de la raqueta a 2[m] por encima 
del suelo con una velocidad inicial 𝑣\ = (10�̂� + 10𝚥̂)[𝑚 𝑠⁄ ]. 
Cuando la pelota choca en la pared, se invierte la componente 
horizontal de su velocidad, mientras que su componente vertical 
permanece invariable ¿Dónde caerá la pelota al suelo? 
 
Estrategia de Resolución. Calcular el tiempo en que la pelota tarda 
en llegar a H, que también será encontrada; el tiempo servirá para 
hallar la velocidad en y en el momento que llegó a H. Asimismo, se 
determinará la altura máxima a partir del punto H, que servirá para 
determinar la altura total, con la que se podrá tener el tiempo total, 
para luego hallar la distancia horizontal recorrida en ese tiempo. En 
cuanto a la velocidad inicial 𝑣\ = (10�̂� + 10�̂�)[𝑚 𝑠⁄ ], significa que 
una componente de 10[m/s] en x y 10[m/s] en y, ya que son iguales, 
el ángulo será de 45º. 
 Determinar el tiempo en que la pelota llega a H (t1), mediante X: 
𝑋 = 𝑣\(𝑐𝑜𝑠45)𝑡U 
𝑡U =
𝑋
𝑣\(𝑐𝑜𝑠45)
=
4
10𝑐𝑜𝑠45 = 0.06
[𝑚] 
 Calcular la altura H: 
𝐻 − 𝑦\ = 𝑣\(𝑠𝑒𝑛45)𝑡U −
1
2𝑔𝑡U
C = 2.38[𝑚] 
 Hallar v0y en el punto H: 
𝑣\US = 𝑣\S − 𝑔𝑡U = 10𝑠𝑒𝑛45 − 10(0.06) = 6.50[𝑚 𝑠⁄ ] 
𝑣\UT = −10[𝑚 𝑠⁄ ] 
 Determinar Hmax: 
0 = 𝑣\USC − 2𝑔𝐻y¥T 
𝐻y¥T =
(6.50)C
2(10) = 2.12
[𝑚] 
 Calcular Htotal: 
𝐻³¸³ = 𝐻 +𝐻y¥T = 2.38 + 2.12 = 4.50[𝑚] 
 Hallar el tiempo de H a G: 
−𝐻³¸³ = 𝑣\US𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
5𝑡C − 6.5𝑡 − 4.5 = 0 
𝑡 = 1.8[𝑠] 
 Calcular X1: 
−𝑋U = −𝑣\UT = −10(1.8) 
𝑋U = 18[𝑚] 
Como el movimiento fue considerado desde la pared, la distancia 
recorrida por la pelota es de 18[m] de la pared. Los signos negativos 
tomados en la última ecuación indican que se ha trabajado en el eje 
x negativo. 
Ejemplo 2.32. ¡Trata de resolver! Miguel se encuentra en la parte 
superior de un plano inclinado a 30º, como muestra la figura. Desde 
ese punto patea su pelota de fútbol con una velocidad inicial v0 que 
 
 
forma un ángulo de 45º con la horizontal. Si la altura del plano es de 
2[m]. (a) Calcular la velocidad inicial de la pelota. 
Estrategia de Resolución. Puesto que se está trabajando en un 
plano inclinado, se tomarán los ejes inclinados a 30º. Como el vector 
gravedad es siempre vertical y dirigido hacía abajo, en este caso se 
deberá descomponer el mencionado vector en su componente en x y 
en y, por tanto, ambos movimientos serán acelerados. La sombra de 
la pelota en el eje x se moverá con una velocidad v0cos75º y su 
aceleración gx = gsen30º, en tanto que la sombra de la pelota en y 
tendrá un movimiento con velocidad v0sen75, con gY = gcos30º 
 
 Calcular ts en función de v0, sabiendo que la vY = 0 y queen 
ese tiempo llegó a la alturamáxima respecto al plano: 
0 = 𝑣\𝑠𝑒𝑛75 − 𝑔(𝑐𝑜𝑠30)𝑡¦ 
𝑡¦ =
𝑣\𝑠𝑒𝑛75
10𝑐𝑜𝑠30 = 0.11𝑣U 
 Calcular Rmax, utilizando elteorema de los senos: 
𝑠𝑒𝑛30
𝐻 =
𝑠𝑒𝑛90
𝑅y¥T
 
𝑅y¥T =
𝐻
𝑠𝑒𝑛30 =
2
𝑠𝑒𝑛30 
𝑅y¥T = 4[𝑚] 
 Expresar Rmax en función del tiempo de subida y hallar 
lavelocidad inicial: 
𝑅y¥T = 𝑣\𝑐𝑜𝑠75(2𝑡¦) +
1
2𝑔𝑠𝑒𝑛30
(2𝑡¦)C 
 Reemplazando valores y despejando v 
𝑣\ = 5.48[𝑚 𝑠⁄ ] 
Otra forma de resolver, la más aconsejable puesto que es más corta, 
se trata de tomar como sistema de referencia a los ejes horizontal (x) 
y vertical (y), en este caso, el movimiento en x es uniforme, en tanto 
que, el movimiento en y es acelerado por g, para ello, se hará un 
esquema del nuevo sistema: 
 
 
 
 
 
 
De la figura se deduce que: 
𝑥 = 𝑅y¥T cos 30 
𝑦 = 𝑅y¥T𝑠𝑒𝑛30 
1. Escribir la ecuación para el movimiento horizontal 
𝑥 = 𝑣-𝑡 = (𝑅y¥T cos 30) = 𝑣-𝑡 
𝑡 =
𝑅y¥T cos 30
𝑣-
 
2. Escribir la ecuación para el movimiento vertical 
𝑦 =
1
2𝑔𝑡
C 
3. Reemplazar t 
 
 
𝑦 =
1
2𝑔
𝑅y¥TC cosC 30
𝑣-C
 
4. Hallar vo: 
𝑣- = �
𝑅y¥TC 	(𝑐𝑜𝑠C30)𝑔
2𝑦 = 5.48[𝑚 𝑠
⁄ ] 
Ejemplo 2.33. ¡Trata de resolver! Durante las erupciones volcánicas 
pueden ser expulsadas por el volcán pedazos de roca o bloques 
volcánicos, como muestra la figura. (a) ¿A qué velocidad inicial 
tendría que ser arrojado de la boca A del volcán uno de estos 
bloques, formando 35º con la horizontal, con objeto de caer en el pie 
B del volcán?; (b) Cuál es el tiempo en que dicho bloque se 
encuentra en el aire?. Las coordenadas del punto B son: (9400 m; 
3300 m). 
 
Estrategia de resolución. Se tomará el origen del sistema de 
referencia en el punto donde se inicia el movimiento del bloque, por 
tanto, la altura será negativa. Para hallar la velocidad inicial, debe 
usarse la ecuación de la trayectoria, cuya deducción consiste en 
plantear las ecuaciones para x y para y, despejar el tiempo en 
ambas e igualar esas ecuaciones puesto que el tiempo es el mismo 
para x e y. 
 Plantear las ecuaciones de x e y: 
−𝑌 = 𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
𝑋 = 𝑣\𝑐𝑜𝑠𝜑𝑡 
𝑡 =
𝑋
𝑣\𝑐𝑜𝑠𝜑
 
 Combinar esas ecuaciones: 
−𝑌 = 𝑋𝑡𝑎𝑛𝜑 −
1
2𝑔
𝑋C
𝑣\C𝑐𝑜𝑠C𝜑
 
 Despejar v0: 
𝑣\ = �
𝑔𝑋C
2(𝑋𝑡𝑎𝑛𝜑 + 𝑌)𝑐𝑜𝑠C𝜑 = 258.1
[𝑚] 
 Calcular t: 
𝑡 =
𝑋
𝑣\𝑐𝑜𝑠𝜑
=
9400
258.1𝑐𝑜𝑠35 = 33.5
[𝑠] 
Ejemplo 2.34. Un carrito de rodamientos se mueve con velocidad 
constante de 40[m/s]. Se dispara una lata desde el carrito, de tal 
forma que éste regrese al carrito cuando se haya desplazado 120[m]. 
¿A qué velocidad relativa al carrito y con qué ángulo respecto a la 
horizontal debe ser disparada la lata? 
 
 
 
 
 
 
 
Estrategia de Resolución. Se deberá elegir el origen del sistema de 
referencia. Tener en cuenta que el tiempo que tarda la lata en 
alcanzar al carrito es el mismo que tarda el carrito en recorrer los 
100[m]. Por otra parte, el carrito le transmite a la lata su velocidad 
horizontal. 
1. Calcular el tiempo del carrito: 
𝑥 = 𝑣𝑡