teoria y problemas fisica (21)

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Escribir las ecuaciones para ambos ejes 
𝑥 = 𝑣-(𝑐𝑜𝑠60)𝑡 
𝑡 =
𝑥
𝑣-𝑐𝑜𝑠60
 
𝑦 = 𝑣-(𝑠𝑒𝑛60)𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
 Relacionar alturas 
−40 = −�⃗� − ℎ.⃗ 
 Reemplazar 
−40 = −𝑣-(𝑠𝑒𝑛60)𝑡 +
1
2𝑔𝑡
C − ℎ.⃗ 
 Reemplazando t de la primera ecuación: 
−40 = −𝑣-(𝑠𝑒𝑛60)
𝑥
𝑣-𝑐𝑜𝑠60
+
1
2𝑔
𝑥C
𝑣\C𝑐𝑜𝑠C60
− ℎ 
−40 = −𝑥𝑡𝑎𝑛60 + 5
𝑥C
900𝑐𝑜𝑠C60 − ℎ 
 De la geometría del problema, relacionar x con y 
𝑡𝑎𝑛30 =
𝑦
𝑥 ⟹ 𝑥 =
𝑦
𝑡𝑎𝑛30 =
40
𝑡𝑎𝑛30 = 69.3
[𝑚] 
−40 = −69.3𝑡𝑎𝑛60 + 5
(69.3)C
900𝑐𝑜𝑠C60 − ℎ 
ℎ = −120 + 106.7 + 40 = 26.7[𝑚] 
por tanto, no le pega 
Ejemplo 2.40. ¡Trata de resolver! Dos proyectiles A y B son lanzados 
formando ángulos de 370 y 530, respectivamente, y experimentan 
iguales alcances máximos horizontales. El proyectil A alcanza una 
altura máxima de 4.5[m]. Determinar la altura máxima que alcanza el 
proyectil B. 
Estrategia de Resolución. Plantear las ecuaciones de movimiento 
en ambos ejes para cada uno de los proyectiles y combinarlas 
adecuadamente. 
 Escribir las ecuaciones para ambos ejes 
Para A: 
𝑥 = 𝑣-J(𝑐𝑜𝑠37)t 
𝑡 =
𝑥
𝑣-J𝑐𝑜𝑠37
 
𝑦J = 𝑣-J(𝑠𝑒𝑛37)𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
Para B: 
𝑥 = 𝑣-�(𝑐𝑜𝑠53)𝑡 
𝑡 =
𝑥
𝑣-�𝑐𝑜𝑠53
 
𝑦� = 𝑣-�(𝑠𝑒𝑛53)𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
 Igualar las ecuaciones de x, puesto que el valor de x para 
ambos proyectiles es el mismo, al igual que el tiempo: 
𝑣-J(𝑐𝑜𝑠37)𝑡 = 𝑣-�(𝑐𝑜𝑠53)𝑡 
𝑣-� =
𝑣-J(𝑐𝑜𝑠37)
(𝑐𝑜𝑠53) = 1.25𝑣-J 
 Sabiendo que ambas alturas son máximas, plantear las 
ecuaciones correspondientes: 
 
 
𝑣JC = 𝑣\JC 𝑠𝑒𝑛C53 − 2𝑔𝑦J 
𝑝𝑒𝑟𝑜	𝑣JC = 𝑂	 
Entonces: 
𝑣-J = `(20)𝑠𝑒𝑛C53(4.5) = 15.8[𝑚 𝑠⁄ ] 
Por tanto: 
𝑣-� = (1.25)(15.8) = 19.7[𝑚 𝑠⁄ ] 
 Calcular yB: 
𝑣�C = 𝑣\�C 𝑠𝑒𝑛C37 − 2𝑔𝑦� 
𝑝𝑒𝑟𝑜	𝑣�C = 𝑂	 
𝑦� =
𝑣\�C 𝑠𝑒𝑛C37
2𝑔 = 19.4
[𝑚] 
 
2.4.3. MOVIMIENTO	CIRCULAR	
 
Es el movimiento de una partícula alrededor de un círculo de radio r 
determinado, como se muestra en la figura 2.51. 
 
Consideremos el movimiento de la partícula desde el punto A hasta 
el punto B, se puede observar ella recorrió una arco ds, es decir, 
tiene una posición lineal. Al mismo tiempo, ha barrido un ángulo 
dq, lo que significa que tiene una posición angular. Si el ángulo es 
lo suficientemente pequeño, la figura se asemeja a un verdadero 
triángulo y se verifica que sendq = dq. La posición angular es el 
lugar donde se encuentra una partícula en la superficie de un círculo 
de radio R, es decir, es el ángulo que se forma entre el punto donde 
está ubicada la partícula y el origen de un sistema de referencia. 
 
𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃 = �¦
°
(2.23) 
pero sendq@dq, entonces: 
𝑑𝜃 =
𝑑𝑠
𝑅 
𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜃 (2.24) 
Integrando la ecuación se tiene: 
� 𝑑𝑠
¦
\
= � 𝑅𝑑𝜃
Ì
\
= 𝑅� 𝑑𝜃
Ì
\
 
𝑠 = 𝑅𝜃																																										(2.25) 
Puesto que la partícula está girando alrededor del círculo de radio R, 
en el punto B tendrá una velocidad lineal (v) tangente a la 
trayectoria, asociada a la posición lineal y, una velocidad angular, 
relacionada con la velocidad angular (w).Se define a la velocidad 
angular como la variación de la posición angular respecto del tiempo, 
es decir: 
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡 
La ecuación que relaciona ambas velocidades puede ser deducida 
de la ecuación 2.25, derivando ambas posiciones en función del 
tiempo. 
𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 𝑅
𝑑𝜃
𝑑𝑡 
Se sabe que la variación de la posición en función del tiempo es la 
velocidad, por tanto: 
 
 
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡 
Reemplazando estas dos ecuaciones en la anterior se tiene: 
�⃗� = 𝑅𝜔..⃗ (2.26) 
Lo mismo ocurre con la aceleración, existe aceleración angular que 
se define como la variación de la velocidad angular de un cuerpo en 
rotación con respecto al tiempo. Para relacionar ambas 
aceleraciones, se derivará la ecuación anterior en función del tiempo. 
𝑑�⃗� = 𝑅𝑑𝜔..⃗ 
𝑑�⃗�
𝑑𝑡 = 𝑅
𝑑𝜔..⃗
𝑑𝑡 
Conociendo que: 
�⃗� =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡 
�⃗� =
𝑑𝜔..⃗
𝑑𝑡 
Reemplazando en la ecuación anterior se tiene: 
�⃗� 	= 𝑅�⃗� (2.27) 
Puede observarse, entonces, que hay seis variables cinemáticas, 
relacionadas entre sí mediante el radio R: 
 
Variable Lineal Angular 
Posición X [m] q [rad] 
Velocidad V [m/s] w [rad/s] 
aceleración a[m/s2] a [rad/s2] 
 
Las unidades están expresadas en el Sistema Internacional (SI). 
Suponiendo que la partícula se mueve desde el punto A hasta el 
punto B con velocidad lineal tangencial constante, por ejemplo, de 
5[m/s], ¿será realmente constante esa velocidad?, la respuesta es 
no, debido a que la velocidad es un vector que tiene magnitud, 
dirección y sentido, por tanto, para que la velocidad sea constante no 
debe variar ni en magnitud, ni en dirección, ni en sentido. 
En el movimiento circular (o en cualquier otro tipo de movimiento que 
no sea rectilíneo) la velocidad es tangente a la trayectoria 
¡SIEMPRE!, por tanto, aunque mantenga constante su magnitud, su 
dirección irá cambiando a cada instante, por ello no existe 
velocidad constante en el movimiento circular, lo único que puede 
permanecer constante es la rapidez. 
Por tanto, debido al cambio de dirección de la velocidad, se 
presentará una aceleración dirigida al centro del círculo, denomina 
aceleración centrípeta (ac) o aceleración normal (aN), 
considerando que ambos términos son semejantes. 
 
Para deducir la aceleración centrípeta, utilizaremos la figura 2.54. 
Para restar �⃗�C − �⃗�C geométricamente, deben llevarse los dos 
vectores al mismo origen, como se muestra en la figura 2.54.a; en 
ella observamos que∆�⃗� = �⃗�C − �⃗�C se dirige al centro del círculo. 
 
Suponiendo que la rapidez no cambia, tendremos que𝑣U = 𝑣C =
𝑐𝑡𝑒. En este caso, y en el límite cuando P2®P1, es decir, cuando 
Dq®0, ∆�⃗�se hace perpendicular a �⃗�(figura 2.54.b), se tendrá: 
D𝑣 = 𝑣Dq