teoria y problemas fisica (93)

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Siendo A la “Amplitud”, es decir el desplazamiento máximo respecto 
a la posición de equilibrio. El argumento (wt + j) es la “fase del 
movimiento” y j es la “constante de fase”. Para un solo sistema 
oscilante, j = 0. 
 
 
7.2.1. DOS SISTEMAS 
OSCILANTES CON DIFERENTES 
FASES 
 
Si se tiene dos sistemas oscilantes con la misma amplitud y 
frecuencia, pero con fases diferentes, se podrá elegir j = 0 para uno 
de ellos. En este caso, las ecuaciones serán: 
 
 
Si no hay diferencia de fase o, si esa diferencia es un número entero 
de 2p, entonces d = 0 y , en este caso, se dice que los 
sistemas están en fase. 
Sabemos que la velocidad en el movimiento armónico simple es: 
 
 
 
Y la aceleración del movimiento armónico simple: 
 
 
Entonces: 
 
pero: 
 
Igualando ambas ecuaciones: 
 
 
 
Las funciones seno y coseno repiten su valor cuando la fase se 
incrementa en 2p. 
 
Se puede concluir que la frecuencia aumenta cuando la constante de 
rigidez del resorte k se hace mayor, y disminuye cuando aumenta la 
masa. 
 
Fig. 7.3 
 
Ejemplo 7.1. Un cuerpo de 2[kg] está unido a un resorte horizontal 
sujeto a una pared. K = 196[N/m]. El cuerpo se mantiene a una 
distancia de 5[cm] de la posición de equilibrio y se deja en libertad en 
el tiempo t = 0. (a) Hallar la frecuencia angular w, la frecuencia f y el 
periodo T; (b) Expresar x en función del tiempo. 
 
 
Estrategia de resolución. Se deberá calcular w, con la que se 
determinará la frecuencia y el periodo y luego, determinar A y d en 
las condiciones iniciales. 
 
1. Calcular w. 
 
 
2. Calcular f: 
 
 
3. Calcular T: 
( )
( )jw
w
+=
=
tAx
tAx
cos
cos
2
1
21 xx =
( )jww +-= tsenAv
( )jww +-= tAa cos2
xa 2w-=
x
m
ka -=
m
k
=w
[ ]
[ ] [ ]s
radm
N
kgm
k 9.9
2
196
===w
[ ]Hzf 58.1
2
9.9
2
===
pp
w
 
	
 
 
 
4. Determinar A y d a partir de las condiciones iniciales 
 
 
5. Expresar x en función de los resultados: 
 
 
 
 
Ejemplo 7.2. Un objeto oscila con frecuencia angular w = 8,0 rad/s. 
En t = 0, el objeto se encuentra en x0 = 4 cm con una velocidad 
inicial v0 = -25 cm/s. (a) Determinar la amplitud y la constante de 
fase para este movimiento. 
 
Estrategia de resolución. La posición y velocidad iniciales expresan 
dos ecuaciones a partir de las cuales se determinan la amplitud A y la 
constante de fase. 
La posición y velocidad iniciales están relacionadas con la amplitud y 
la constante de fase: 
 
 
 
Dividir estas ecuaciones para eliminar A: 
 
Reemplazando valores: 
 
La amplitud será: 
 
Ejemplo 7.3.Un oscilador armónico simple está descrito por la 
ecuación 
𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(0.1𝑡 + 0.5) 
donde todas las cantidades están expresadas en el Sistema 
Internacional. Encontrar (a) la amplitud, el período, la frecuencia y la 
constante de fase inicial del movimiento; (b) la velocidad y la 
aceleración; (c) y la posición, velocidad y aceleración para t = 5[s]. 
Estrategia de resolución. Existen parámetros que se leen 
directamente de la ecuación, tales como la amplitud, la frecuencia 
angular y la constante de fase, con ellas se puede determinar las 
ecuaciones para la velocidad y la aceleración para, con ellas 
determinar estos valores para el tiempo determinado. 
1. De la ecuación, la amplitud es: 
𝐴 = 4[𝑚] 
2. Calcular el periodo: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔 =
2𝜋
0.1 = 20𝜋 = 62,8
[𝑠] 
3. La frecuencia será: 
𝑓 =
1
𝑇 =
1
62,8 = 0.015
[𝐻𝑧] 
4. De la ecuación se tiene que la constante de fase es: 
𝜑 = 0.5 
5. Las ecuaciones para la velocidad y aceleración son: 
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 4
(0.1)𝑐𝑜𝑠(0.1𝑡 + 0.5) 
[ ]s
f
T 63.0
58.1
11
===
0
5
=
=
j
A
( )tx 9.9cos5=
jcos0 Ax =
jwAsenv -=0
jw tan
0
0 -=
x
v
( )( )
rad66.0
48
25tan
=
=
j
j
[ ]cmxA 06.5
cos
0 ==
j
 
	
 
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = −4
(0.1)+𝑠𝑒𝑛(0.1𝑡 + 0.5) 
6. Las variables cinemáticas se obtienen reemplazando el valor de t 
en las anteriores ecuaciones. 
𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(0.5 + 0.5) = 4𝑠𝑒𝑛1 = 1.92[𝑚] 
𝑣 = 0.4𝑐𝑜𝑠(0.5 + 0.5) = 0.4𝑐𝑜𝑠1 = 0.35[𝑚 𝑠⁄ ] 
𝑎 = −0.04𝑠𝑒𝑛(0.5 + 0.5) = −0.02[𝑚 𝑠+⁄ ] 
Ejemplo 7.4. Una partícula cuya masa es de 1[g] vibra con 
movimiento armónico simple de 2[mm] de amplitud. Su aceleración 
en el extremo de su recorrido es de 8.0 x 103[m/s2]. Calcular la 
frecuencia del movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa 
por la posición de equilibrio. 
Estrategia de resolución. En este problema no hay constante de 
fase puesto que el movimiento se toma en el extremo de la 
oscilación. Se deberá calcular la frecuencia angular (para determinar 
la frecuencia y la velocidad) a partir de la ecuación de la aceleración, 
las mismas que son máximas por los puntos que se consideran en el 
problema. 
1. Calcular la frecuencia angular a partir de la aceleración: 
𝑎 = −𝐴𝜔+ 
−8000 = −0.002𝜔+ 
𝜔+ = 4𝑥10W ⟹ 𝜔 = 2000[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] 
𝑓 =
𝜔
2𝜋 =
2000
2𝜋 =
1000
𝜋
[𝐻𝑧] 
2, Determinar la velocidad de la partícula cuando pasa por la 
posición de equilibrio, es decir cuando la velocidad es máxima: 
𝑣 = 𝐴𝜔 = (2𝑥10Z[)(2𝑥10[) = 4[𝑚 𝑠⁄ ] 
Ejemplo 7.5.Una partícula se mueve con movimiento armónico simple 
con amplitud de 1.5[m] y frecuencia de 100 ciclos por segundo ¿Cuál 
es su frecuencia angular? Calcular la velocidad, la aceleración y la 
constante de fase, cuando su desplazamiento es de 0.75[m]. 
Estrategia de resolución. Puesto que no se toma el movimiento en 
el extremo de la oscilación, existe una constante de fase. Se deberá 
calcular la frecuencia angular para determinar la frecuencia y con ella, 
a partir de la ecuación de movimiento, determinar la velocidad, la 
aceleración y la constante de fase. 
1. Calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋(100) = 200𝜋[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] 
2. Determinación de la velocidad y aceleración. En este caso, 
debido a que se conoce x, se planteará la ecuación para x a 
objeto de determinar 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
0.75 = 1.5𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) ⟹ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) = 0.5 
3. Considerar que el argumento del seno es el ángulo ρ, entonces: 
𝑠𝑒𝑛𝜌 = 0.53[𝑟𝑎𝑑] 
4. Reemplazar el valor anterior en la velocidad y aceleración 
𝑣 = 200𝜋(1.5)𝑐𝑜𝑠0.53 = 812,76[𝑚 𝑠⁄ ] 
𝑎 = −1.5(200𝜋)+𝑠𝑒𝑛(0.53) = −295788[𝑚 𝑠+⁄ ] 
5. Para determinar la constante de fase, se considera que t=0 
𝜌 = 200𝜋𝑡 + 𝜑 ⟹ 𝜑 = 𝜌 = 30; 
Ejemplo 7.6. Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de 
8[cm] y un periodo de 4[s]. Calcular la velocidad y la aceleración 
0.5[s] después de que la partícula pase por el extremo de su 
trayectoria. 
1. Determinar la constante de fase, considerando que, si el periodo, 
realizado en una oscilación correspondiente a 2π es de 4[s], en 
0.5[s] se habrá realizado 1/8 de oscilación, es decir π/4