teoria y problemas fisica (97)

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Si integramos la ecuación que contiene el arco s, tendremos: 
 
 
 
 
Integrando obtenemos: 
 
 
 
Independientemente del tiempo y dependiente solamente del estado 
inicial. 
 
Podemos ver que: 
 
 
donde y es la altura a la que se encuentra la masa m sobre el punto 
de equilibrio O. Entonces, se puede escribir también. 
 
 
 
 
Para la velocidad deducimos: 
 
 
 
Al igual que en el caso del resorte, existe un límite para s, y por tanto, 
también hay un límite para el ángulo , más allá del cual 
no hay movimiento; ducho límite está dado por el mínimo valor del 
coseno de a, por debajo del cual la raíz es imaginaria. 
 
 
 
El ángulo amax se llama amplitud de la oscilación. Depende de las 
condiciones iniciales s0, v0 y es independiente de la masa del péndulo 
(puesto que sólo interviene la longitud L. 
 
Cuando las oscilaciones son muy pequeñas, es decir, las amplitudes 
son pequeñitas, ocurre que: 
 
 
 
y la ecuación de la aceleración toma la forma: 
 
 
 
Esta última ecuación tiene la forma de la ecuación 7.2. Por tanto, el 
movimiento de un péndulo es armónico simple para amplitudes 
pequeñas. 
 
Por otra parte se tiene: 
 
 
 
Puesto que el periodo está dado por: 
 
 
 
El período de oscilación de un péndulo simple será: 
 
 (7.11) 
 
 
7.2.6. EL PÉNDULO FÍSICO 
 
aa sen
L
g
dt
d
-=2
2
÷
ø
ö
ç
è
æ== 2
2
1 v
ds
d
ds
dvva
L
sgsena 0-=
L
smgLmv
L
smgLmv 020
2 cos
2
1cos
2
1
-=-
yL
L
sL -=cos
Emgymvmgymv =+=+ 0
2
0
2
2
1
2
1
÷
ø
öç
è
æ -+= L
s
L
sgLvv 020 coscos2
Ls=a
gL
v
L
s
L
s
2
coscoscos
2
00max
max -==a
L
s
L
ssen @
s
L
g
dt
sd
-=2
2
L
g
L
g
=Þ= ww 2
w
p2
=T
g
LT p2=
 
	
 
Un péndulo físico es un cuerpo rígido cualquiera colgado de un punto 
diferente al centro de masa que oscila cuando se desplaza de su 
posición de equilibrio. 
 
Fig. 7.6 
 
En la figura podemos ver un cuerpo plano suspendido de un punto 
situado a una distancia D del centro de masa y desplazado de su 
posición de equilibrio un ángulo j. El torque respecto al punto de 
suspensión es MgDsenj y tiende a disminuir el ángulo. Recordemos 
la segunda ley de Newton aplicada a la rotación: 
 
 
 
pero 
 
. 
 
Reemplazando la última ecuación en la anterior: 
 
 
 
El movimiento es armónico simple siempre y cuando j sea muy 
pequeño, de modo que , y, por analogía, sabemos que 
 entonces, la ecuación anterior tendrá la forma: 
 
 
 
 
Por tanto, el periodo de oscilación en este caso será: 
 
 (7.12) 
 
Ejemplo 8.5. Determinar el período de oscilación de una varilla de 
3[kg] de masa y longitud L = 2[m], suspendida del punto A, el mismo 
que se encuentra al medio de la varilla y uno de los extremos de la 
misma. 
 
 
Estrategia de Resolución. El centro de masa se encuentra en el 
centro de la varilla. La distancia entre el centro de masa y el punto A 
es 1/4L. El momento de inercia deberá calcularse respecto del punto 
A. 
 
Plantear la ecuación para el periodo: 
 
 
 
Plantear la ecuación del momento de inercia respecto al cm: 
 
 
 
Hallar I utilizando el teorema de Steiner: 
 
Calcular D: 
2
2
dt
dII jat ==
jt MgDsen-=
jj sen
I
MgD
dt
d
-=2
2
jj @sen
IMgD=2w
jwjj 22
2
-=-==
I
MgD
dt
d
MgD
Ip
w
pt 22 ==
MgD
Ipt 2=
( ) [ ]2
2
2
0 112
23
12
1 kgmMLI ===
[ ]2
2
0
25.125.01
4
1
kgmI
MLII
=+=
+=
 
	
 
 
 
Reemplazar datos en T: 
 
 
 
 
7. 3. OSCILACIONES 
AMORTIGUADAS 
 
 
Seguramente notaste que las oscilaciones de un columpio se hacen 
cada vez menores llegando finalmente al reposo. Lo mismo ocurre 
tanto en un resorte como un péndulo simple, ¿a qué se deberá que 
esto ocurra?, pues a que la energía mecánica se disipa por efecto de 
las fuerzas externas tales como las fuerzas de rozamiento. El 
fenómeno mencionado se llama “amortiguamiento” y el movimiento 
correspondiente se denomina “movimiento amortiguado”. Cuando 
el amortiguamiento es pequeño, el sistema oscila con una amplitud 
que va decreciendo progresivamente con el tiempo, esto está 
mostrado en la figura 8.8. ¿Recuerdas que la energía es proporcional 
al cuadrado de la amplitud?, bueno, entonces si la amplitud va 
decreciendo, también lo hace la energía en forma “proporcional”; es 
decir, ambos disminuyen una determinada fracción constante en un 
intervalo de tiempo: esto significa que, el movimiento es exponencial. 
 
Fig. 7.8 
 
La fuerza ejercida sobre un oscilador amortiguado, por ejemplo, el 
que se muestra en la figura, puede ser representado por la ecuación 
empírica: 
 
 
Donde b es una constante. En vista de que la fuerza amortiguadora 
se opone al desplazamiento, ella realiza un trabajo negativo (fuerza 
opuesta al movimiento) y es la causa de que la energía mecánica del 
sistema disminuya. 
 
 
Fig.7.9 
 
 
El movimiento de un sistema amortiguado puede ser deducido a partir 
de la segunda ley de Newton; si se considera un cuerpo de masa m 
que actúa sobre un resorte de constante de rigidez k, la fuerza neta 
será: 
 
Pero: 
 
Igualando las dos últimas ecuaciones se tiene: 
 
 
 
que es la ecuación de un oscilador amortiguado. Su solución exacta 
puede determinarse de la siguiente forma: 
 
[ ]mLD 5.0
4
2
4
===
( )( )( ) [ ]sT
MgD
IT
81.1
5.0103
25.12
2
==
=
p
p
bvFd -=
dt
dxbkxF --=
maF =
2
2
dt
xdm
dt
dxbkx =--